桂林市2025～2026學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測高一年級數(shù)學(xué)（考試用時120分鐘，滿分150分）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級、學(xué)號和準考證號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡的“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，則（）A. B. C. D.2.下列等式成立的是（）A. B.C. D.3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.4.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，在數(shù)學(xué)學(xué)習和研究中，常用函數(shù)的解析式來推斷函數(shù)圖像的特征，則函數(shù)的大致圖像是（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)對任意都有成立，且，則（）A.8 B.4 C.0 D.27.已知不等式的解集為集合，不等式的解集為集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.某新型電池剩余電量（單位：％）與使用時間（單位：小時）的關(guān)系滿足，，，且均為常數(shù)．已知該電池使用2小時后剩余電量75%，使用8小時后剩余電量60%，則使用26小時后剩余電量為（）A.55% B.50% C.40% D.45%二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列選項中正確的有（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的定義域為C.若函數(shù)在上減函數(shù)，則D.和表示同一個函數(shù)10.某書店的書架上有6本不同類型的書，編號為1、2、3、4、5、6．隨機選一本閱讀，設(shè)事件為“選到書的編號是奇數(shù)”，事件為“選到書的編號是3或6”，事件為“選到書的編號小于4”，下列說法正確的是（）A.和是互斥事件 B.和是相互獨立事件C D.11.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則的最小值是8C.的最小值為2D.若，則的最大值為4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)2，3，5，11，x，7，8的平均數(shù)是6，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為________．13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則______．14.已知函數(shù)對于正實數(shù)，定義集合，且，則的取值范圍是________．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，（1）求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．16.為傳承和弘揚數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，某校高一年級舉辦數(shù)學(xué)文化知識競賽活動，現(xiàn)從1000名參賽的學(xué)生成績中隨機抽取100個成績進行統(tǒng)計得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）求值；（2）以每組成績的中點數(shù)值代表該組成績，估計該校高一學(xué)生平均成績；（3）從和兩組中用分層抽樣的方法共抽取了7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這兩人來自不同的組的概率．17.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，.（1）求；（2）求函數(shù)解析式；（3）若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值．18.某小區(qū)快遞柜的日均使用頻次隨小區(qū)入住天數(shù)增長而上升，物業(yè)統(tǒng)計了入住第1、2、3天的日均使用頻次如下表；入住天數(shù)123日均使用頻次（次）51441技術(shù)人員提出三種函數(shù)模型刻畫數(shù)據(jù)：①；②；③（含的項系數(shù)均不為0）．（1）從①②③中選擇最合適的函數(shù)模型（并簡要說理由）；（2）運用所選模型，求日均使用頻次關(guān)于入住天數(shù)的函數(shù)解析式，并預(yù)測入住第5天的日均使用頻次；（3）物業(yè)制定階梯收費規(guī)則：若日均使用頻次次（承載量80%），服務(wù)費元；若次，服務(wù)費元（240次內(nèi)按0.5元／次，超出部分按1.5元／次）．若物業(yè)計劃當單日服務(wù)費達到1000元時，啟動增配快遞柜預(yù)案，求最早需要在入住第幾天啟動該預(yù)案（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留整數(shù)）．19.已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中為自然對數(shù)底數(shù)．（1）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）解不等式；（3）已知函數(shù)與的圖像關(guān)于點對稱，設(shè)函數(shù)，若對，總，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．桂林市2025～2026學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測高一年級數(shù)學(xué)（考試用時120分鐘，滿分150分）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級、學(xué)號和準考證號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡的“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補集的定義得到答案；【詳解】已知全集，，則，故選：C.2.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)冪的運算法則判斷BCD.【詳解】因為，故A錯誤；因為，故B錯誤；因為，故C正確；因為，故D錯誤.故選：C3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理即可判斷出答案.【詳解】由解析式知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：B4.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因為，且，，故有.故選：D.5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，在數(shù)學(xué)學(xué)習和研究中，常用函數(shù)的解析式來推斷函數(shù)圖像的特征，則函數(shù)的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，排除選項CD，再通過計算確定答案.【詳解】設(shè)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，排除選項CD.當時，，所以排除B，選擇A.故選：A.6.已知函數(shù)對任意都有成立，且，則（）A.8 B.4 C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)賦值法計算即可.【詳解】令，則.故選：A.7.已知不等式的解集為集合，不等式的解集為集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求出集合，再根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.詳解】由，得，即，由，得，即，則，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B8.某新型電池剩余電量（單位：％）與使用時間（單位：小時）的關(guān)系滿足，，，且均為常數(shù)．已知該電池使用2小時后剩余電量75%，使用8小時后剩余電量60%，則使用26小時后剩余電量為（）A.55% B.50% C.40% D.45%【答案】D【解析】分析】根據(jù)函數(shù)模型，代入兩組數(shù)據(jù)，化簡可得、，即可得函數(shù)解析式，再代入即可.【詳解】代入兩組數(shù)據(jù)有，兩式相除：，化簡，解得或（舍），再代入求得，因此，代入，得.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列選項中正確的有（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的定義域為C.若函數(shù)在上是減函數(shù)，則D.和表示同一個函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由奇函數(shù)的定義即可判斷；對于B，由根號下大于等于0即可判斷；對于C，由一次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于D，由相同函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】對于A：易知的定義域為，因此定義域關(guān)于原點對稱，又因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于B：由，解得，故函數(shù)的定義域為，故B正確；對于C：若函數(shù)在上是減函數(shù)，則，解得，故C正確；對于D：函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，故和不表示同一個函數(shù)，故D錯誤.故選：ABC.10.某書店的書架上有6本不同類型的書，編號為1、2、3、4、5、6．隨機選一本閱讀，設(shè)事件為“選到書的編號是奇數(shù)”，事件為“選到書的編號是3或6”，事件為“選到書的編號小于4”，下列說法正確的是（）A.和是互斥事件 B.和是相互獨立事件C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題干可得事件和可以同時發(fā)生，進而可以判斷選項A；求出事件和的概率和兩者同時發(fā)生的概率，根據(jù)獨立事件的定義即可判斷B；利用和事件的概率公式求解即可判斷選項C；找出事件同時發(fā)生的樣本點并求出概率即可判斷選項D.【詳解】選項A，由題意知，事件包含樣本點，事件包含樣本點，則事件和事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件，故A錯誤；選項B，由題意知事件發(fā)生的概率，事件包含的樣本點為，則事件發(fā)生的概率，事件和事件同時發(fā)生的樣本點為3，則事件和事件同時發(fā)生的概率，所以，和是相互獨立事件，故B正確；選項C，由選項A，B可知，，，，所以，故C正確；選項D,事件和同時發(fā)生的樣本點為，則，故D錯誤，故選：BC.11.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則的最小值是8C.的最小值為2D.若，則的最大值為4【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式逐項求解最值即可得結(jié)論.【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，故A正確；對于B，因為，，，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是8，故B正確；對于C，因為，令，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，又，故的最小值不為2，故C錯誤；對于D，因為，所以，則，當且僅當，即，時，等號成立，故最大值為4，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)2，3，5，11，x，7，8的平均數(shù)是6，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為________．【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出的值，再將這組數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義求出中位數(shù).【詳解】由已知可得，解得.將數(shù)據(jù)從小到大排序為2，3，5，6，7，8，11，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6.故答案為：6.13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則______．【答案】3【解析】【分析】將點坐標代入計算得到，計算得到答案.【詳解】的圖象過點，，則，，.故答案為：.14.已知函數(shù)對于正實數(shù)，定義集合，且，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義且，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為有實數(shù)根，利用二次函數(shù)的值域求出的范圍即可.【詳解】當時，，此時，為增函數(shù)，當時，，此時，為增函數(shù)，若，則存在，使得成立，在同一平面直角坐標系中，作的圖象由圖可知，要使得成立需滿足且，即有解，設(shè)，由知，，所以，即，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，（1）求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式得出集合，再由交集與并集的意義求解即可；（2）由題意可得，進而可得，求解即可.【小問1詳解】因為，所以，；【小問2詳解】由，又，所以，所以實數(shù)取值范圍為．16.為傳承和弘揚數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，某校高一年級舉辦數(shù)學(xué)文化知識競賽活動，現(xiàn)從1000名參賽的學(xué)生成績中隨機抽取100個成績進行統(tǒng)計得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值；（2）以每組成績的中點數(shù)值代表該組成績，估計該校高一學(xué)生平均成績；（3）從和兩組中用分層抽樣的方法共抽取了7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這兩人來自不同的組的概率．【答案】（1）0.03（2）74（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖所有小長方形面積和為1的性質(zhì)列方程計算即可.（2）找出每組中點值及對應(yīng)頻率，根據(jù)平均數(shù)公式計算即可.（3）計算兩組樣本數(shù)，確定抽樣比，得到每組抽樣人數(shù)，結(jié)合概率計算公式計算即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，，整理得，解得.【小問2詳解】每組成績的中點值為：45，55，65，75，85，95；頻率為0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，0.1，所以平均成績?yōu)?【小問3詳解】抽取100個樣本中，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為.抽樣比為，所以在中抽取的人數(shù)為，在中抽取的人數(shù)為.從中抽2人，共有10個基本事件；從中抽2人，共有1個基本事件；跨組抽共10個基本事件，故抽取方法共個基本事件.所以這兩人來自不同的組的概率為.17.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，.（1）求；（2）求函數(shù)的解析式；（3）若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）0（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)先求得，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）直接根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）結(jié)合（2）可得，，令，，則，進而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論求解即可.【小問1詳解】由題意，當時，，則，又是定義在上的偶函數(shù)，則.【小問2詳解】由題意，當時，，且是定義在上的偶函數(shù)，則時，，所以，即，所以.【小問3詳解】由（2）知，，且，則，，令，，則，函數(shù)開口向上，對稱軸為，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當時，函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.綜上所述，.18.某小區(qū)快遞柜的日均使用頻次隨小區(qū)入住天數(shù)增長而上升，物業(yè)統(tǒng)計了入住第1、2、3天的日均使用頻次如下表；入住天數(shù)123日均使用頻次（次）51441技術(shù)人員提出三種函數(shù)模型刻畫數(shù)據(jù)：①；②；③（含的項系數(shù)均不為0）．（1）從①②③中選擇最合適的函數(shù)模型（并簡要說理由）；（2）運用所選模型，求日均使用頻次關(guān)于入住天數(shù)的函數(shù)解析式，并預(yù)測入住第5天的日均使用頻次；（3）物業(yè)制定階梯收費規(guī)則：若日均使用頻次次（承載量80%），服務(wù)費元；若次，服務(wù)費元（240次內(nèi)按0.5元／次，超出部分按1.5元／次）．若物業(yè)計劃當單日服務(wù)費達到1000元時，啟動增配快遞柜預(yù)案，求最早需要在入住第幾天啟動該預(yù)案（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】（1）選②，理由見解析；（2），第5天的日均使用頻次為365次；（3）第6天.【解析】【分析】（1）將表格數(shù)據(jù)代入各模型中的參數(shù)值，結(jié)合數(shù)據(jù)的單位增長率