第=page11頁，共=sectionpages11頁北京市朝陽區(qū)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，共50分。1.已知集合A=xx>?2,B=xx?1x?3A.?2,?1 B.?2,?3 C.1,3 D.1,32.已知復(fù)數(shù)z滿足iz+2=2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在等比數(shù)列{an}中，若a1+a3A.6 B.9 C.15 D.814.已知m>n>0，則(

)A.mn<nm B.m+n>mn

5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的一個(gè)重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是“圓柱容球”，即當(dāng)球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高均相等時(shí)，球的體積是圓柱體積的23，且球的表面積也是圓柱表面積的23.如圖所示，在一個(gè)“圓柱容球”的模型中，若球的體積為86πA.18π B.24π C.30π D.36π6.已知拋物線C:y2=4x，直線l:ax?y?2a+3=0，若直線l與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值有A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.心理物理學(xué)中，史蒂文斯冪定律的對(duì)數(shù)形式可描述物理刺激強(qiáng)度I與主觀感知強(qiáng)度S的關(guān)系：log2S=log2k+nlog2I，其中k，n均為大于0的常數(shù).已知當(dāng)物理刺激強(qiáng)度I從16單位增加到256單位時(shí)，log2S增加8；當(dāng)物理刺激強(qiáng)度IA.4 B.6 C.8 D.108.已知數(shù)列an滿足an=nn+1n?t，則“t<5A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知兩點(diǎn)A,?B的坐標(biāo)分別為?1,?0,?1,?0，直線AM,?BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之和是2，設(shè)M的軌跡為曲線C，下面關(guān)于曲線C①曲線C是中心對(duì)稱圖形；②對(duì)任意非零實(shí)數(shù)t，直線y=t與曲線C總有兩個(gè)公共點(diǎn)；③對(duì)任意非零實(shí)數(shù)t，直線y=tx與曲線C總有兩個(gè)公共點(diǎn)；④對(duì)任意非零實(shí)數(shù)t，曲線y=tx與曲線其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④10.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，P，Q分別在邊AB，AC上，且PQ=12，則BP?CQA.[18,14] B.[二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.函數(shù)fx=1+cos2x的最小正周期是

12.已知2x?16=a6x6+a5x513.若雙曲線x2+y2m=1的離心率e∈2,?314.在△ABC中，B=π3，b=4，則asinA=

；若△ABC的內(nèi)切圓的半徑為32，則△ABC15.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在棱A1B1和CD上(包含端點(diǎn))，P為線段MN的中點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)P的軌跡是線段；

②C1P的最小值為255；

③對(duì)于給定的點(diǎn)N，總存在點(diǎn)M，使得經(jīng)過點(diǎn)M，N及C1三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.已知函數(shù)fx=(1)當(dāng)ω=2時(shí)，求fπ(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得函數(shù)fx唯一確定，求fx的解析式及在區(qū)間條件①：fx在x=π3條件②：fx的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱，且f條件③：fx在區(qū)間0,?π6注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17.某人形機(jī)器人行業(yè)協(xié)會(huì)為了解行業(yè)現(xiàn)狀，對(duì)該行業(yè)所有公司生產(chǎn)的人形機(jī)器人進(jìn)行了一次性能評(píng)估．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100家公司，統(tǒng)計(jì)其人形機(jī)器人“性能評(píng)分”(百分制，且均為整數(shù))及對(duì)應(yīng)的“行業(yè)評(píng)級(jí)”(評(píng)級(jí)越高，代表性能越優(yōu))，整理數(shù)據(jù)如下表：性能評(píng)分x行業(yè)評(píng)級(jí)公司數(shù)90≤x≤10051080≤x<904m70≤x<803n60≤x<702200≤x<60110(1)當(dāng)m=30時(shí)，在這100家公司中，(i)從性能評(píng)分不低于80分的公司中隨機(jī)抽取1家，求其行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的概率；(ii)從性能評(píng)分不低于80分的公司中隨機(jī)抽取2家，記X為這2家公司中行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的公司數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX(2)用頻率估計(jì)概率，記“從該行業(yè)所有評(píng)級(jí)為2級(jí)和5級(jí)的公司中隨機(jī)抽取2家，這2家公司的行業(yè)評(píng)級(jí)的平均值”為Y，記“上述100家公司的行業(yè)評(píng)級(jí)的平均值”為y.設(shè)“Y<y”的概率為p1，“Y>y”的概率為p2，請(qǐng)根據(jù)表中信息比較p118.在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD,?BC//AD,?∠ADC=90°,?PA=AD=CD=3,?BC=6．F,?G分別為棱PC,?PD上的點(diǎn)，(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求平面AFG與平面ABCD夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，判斷直線EF是否在平面AFG內(nèi)？并說明理由．19.已知橢圓E：x2a2+y2b2(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)Mm,?0，Nn,?0m≠n，過點(diǎn)M的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,?B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為P(P與B不重合).若mn=6，試判斷三點(diǎn)20.已知函數(shù)fx=xlnx+aa>0.曲線y=f(1)求a的值；(2)求fx(3)若0<m<1，曲線y=fx在點(diǎn)Am,fm,B?m,f?m處的切線分別與x21.設(shè)n為正整數(shù)且n≥3，若由實(shí)數(shù)數(shù)對(duì)組成的序列A:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn滿足對(duì)任意i∈1,2,?,n，均有xi+(1)已知序列A:12,12,?13(2)當(dāng)n=4時(shí)，判斷是否存在U序列A:x1,y1(3)若任意U序列A:x1,y1,x參考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.D

6.C

7.A

8.C

9.B

10.A

11.π

12.1

；

；

；

；

；；728

13.?7(答案不唯一)

14.811

15.①③④

16.(1)依題意，fx所以當(dāng)ω=2時(shí)，fx所以fπ(2)選條件①：fx在x=π3設(shè)fx的周期為T，則2π所以T=2π32k+1所以2π32k+1=2πω選條件②：fx的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱，且f由fx=2sinωx，得πω6=π2+kπ,k∈Z又ω>0，k∈Z，所以當(dāng)k=0時(shí)，ω=3，此時(shí)fx當(dāng)x∈?π9,2π9時(shí)，綜上，fx的解析式為fx=2sin3x；當(dāng)x=?π9時(shí)，fx取得最小值選條件③：fx在區(qū)間0,π6由fx=2sinωx，由fπ當(dāng)x∈0,π6時(shí)，ωx∈0,π6ω，因?yàn)閒x在區(qū)間0,π所以當(dāng)k=1時(shí)，ω=3，此時(shí)fx當(dāng)x∈?π9,2π9時(shí)，綜上，fx的解析式為fx=2sin3x；當(dāng)x=?π9時(shí)，fx取得最小值

17.(1)解：(i)當(dāng)m=30時(shí)，可得性能評(píng)分不低于80分的公司有30+10=40家，其中行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的公司有10家，所以從中隨機(jī)抽取1家，其行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的概率為P=10由記X為這2家公司中行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的公司數(shù)，則X的可能取值為0,1,2，可得P(X=0)=C302P(X=2)=C所以隨機(jī)變量X的分布列為X012P2953所以期望為EX(2)解：由題意，可得10+m+n+20+10=100，可得m+n=60，所有公司的行業(yè)評(píng)級(jí)總和為5×10+4×m+3×(60?m)+2×20+1×10=280+m，所以y=280+m100該行業(yè)所有評(píng)級(jí)為2級(jí)和5級(jí)的公司中隨機(jī)抽取2家，則兩家的評(píng)級(jí)都為2級(jí)的概率為C202兩家的評(píng)級(jí)一家為2級(jí)，一家為5級(jí)的概率為C201C兩家的評(píng)級(jí)都為5級(jí)的概率為C102C因?yàn)閥≥2.8>2，當(dāng)且僅當(dāng)Y=2時(shí)，滿足Y<y，此時(shí)又因?yàn)閥≤3.4<3.5且y≤3.4<5，當(dāng)且僅當(dāng)Y=3.5或Y=5，滿足此時(shí)p2所以p1

18.(1)因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，PA?平面PAD，則PA⊥平面ABCD；(2)如圖過A作DC平行線交BC于L，由題設(shè)可得LC=AD=3．然后如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系．則A0,0,0,P0,0,3因PF=12FC,PG=2GD則AF=AP+則AF=1,1,2,AG=則AF?n1=x1+又易得平面ABCD的法向量為n2設(shè)平面AFG與平面ABCD夾角為θ，則cosθ=(3)由(2)可得B3,?3,0，E32則FE=假設(shè)EF?平面AFG，則E,A,F,G四點(diǎn)共面，從而存在實(shí)數(shù)x,y，使FE=x則12=?x?y?52=?x+y?1

19.(1)因?yàn)闄E圓E上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為26，所以2a=2又因橢圓E的離心率為22，所以e=c所以b2故橢圓E的方程為x2(2)依題意，直線l的斜率不能為0，故可設(shè)其方程為x=ty+m，再設(shè)Ax1,y1

聯(lián)立x26+令Δ=2tm2?4則y1+y又Nn,0，mn=6，所以n=又kPN=0?則kPN分子y=n===所以kPN?kBN=0又N為公共點(diǎn)，所以P,?B,?N三點(diǎn)共線．

20.(1)由fx則f′x=lnx+a+(2)由(1)知，fx=xln設(shè)gx=ln所以函數(shù)gx在?1,+∞上單調(diào)遞增，又g則?1<x<0時(shí)，gx=f′x<0，所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為?1,0，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞(3)由fx=xlnx+1，得而f′x=lnx+1+所以曲線y=fx在點(diǎn)Am,fm令y=0，得x=m?mlnm+1曲線y=fx在點(diǎn)B?m,f?m令y=0，得x=mln?m+1則x=m??=m?=m設(shè)hm則h′m由于0<m<1，則1<m+1<2，0<1?m<1，則m+11?m>1，即所以函數(shù)hm在0,1上單調(diào)遞增，則h即m+1ln由于0<m<1，則m2>0，由(2)知，?1<x<0時(shí)，f′x<0，x>0時(shí)，則f′m=ln所以x1

21.(1)由12+12=取λ1λ1λ1故λ1x1+λ(2)存在U序列A:x1,取x1則xi所以此時(shí)序列A:(0,1),(0,1),(0,1),(1,0)是U序列．對(duì)任意有序?qū)崝?shù)組λ1可得λ1λ1從而λ1所以序列A不是V序列．(3)若n為偶數(shù)，則n≥4．取x1則對(duì)于每個(gè)整數(shù)i,i∈{1,2,?,n}均有xi所以此時(shí)數(shù)對(duì)序列A是U序列．對(duì)任意有序?qū)崝?shù)組λ1λ1λ1所以λ1+λ所以λ1+λ所以λ1所以序列A不是V序列．若n為奇數(shù)，則n≥3．若對(duì)于一個(gè)V序列A，將其中的數(shù)對(duì)xi,y或者將xi,yi與xj所以不妨設(shè)對(duì)于任意i