初中數學人教版(2024)八年級下冊第二十一章四邊形21.3.2菱形第1課時

菱形的性質學習目標1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關系.2.探索并證明菱形的性質定理.

(重點)3.應用菱形的性質定理解決相關計算或證明問題.

(難點)課堂引入前面我們學習了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到的，即當平行四邊形有一個

角是直角時，就成為了矩形.有一個角是直角

矩形平行四邊形菱形的定義及性質問題1

預習課本P72~P73思考：如果從邊的角度，將平行四邊形特殊化，內角大小保持不變，僅改變邊的長度，讓它有一組鄰邊相等，如圖所示，這個特殊的平行四邊形叫什

么呢?B

C提示

菱形.問題2預習課本P72~P73

思考：(1)將一張矩形的紙按如圖所示的方式對折、再對折，然后沿圖③中的虛線剪下，打開后你知道它是什么圖形嗎?提示

菱形.(2在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕，折疊手中的圖形(如圖),并回答以下問題：①菱形是軸對稱圖形嗎?如果是，指出它的對稱軸；提示

是，兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸.②根據上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數量上有什么關系?提示菱形的四條邊都相等；③猜想菱形的兩條對角線有什么關系?并證明你的猜想.提示菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD,

對角線AC與BD相交于點0.求證：AC⊥BD;∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.證明：∵AB=AD,∴△A

BD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD

(平行四邊形的對角線互相平分).在等腰三角形ABD中，∵OB=OD,∴AO⊥BD,AO

平分∠BAD,即AC⊥BD,∠DAC=∠BAC.同理可證∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.知識梳理1.定義：有一組

鄰邊相等

的平行四邊形叫作菱形.注意點：(1)菱形的定義有兩個要素：①四邊形是平行四邊形；②有一組鄰邊相等，二者缺一不可.(2)菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形不一定是菱形.菱形的特殊性質平行四邊形的性質(1)對稱性：是軸對稱圖形.(2)邊：四條邊都相等.(3)對角線：互相垂直，且每一條

對角線平分一組對角(1)角：對角相等.(2)邊：對邊平行且相等.(3)對角線：互相平分知識梳理2.菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質.∵AC=6

cm,BD=12cm,∴AO=3

cm,BO=6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=√AO2+BO2=√32+62=3√5(cm),:菱形的周長=4AB=4×3

√5=12

√5(cm).例

1

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD

相交于點O,BD=12cm,AC=6cm,

求菱形的周長.解

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,→D跟蹤訓練1

(1)在菱形ABCD中，已知∠A=60°,AB=5,則△ABD的周長是A.10

B.12D.20C(2如圖，菱形ABCD的周長為48cm,對角線AC,BD

相交于0點，

E是AD的中點，連接OE,則線段OE的長為

6cm.二、

菱形的面積問題3

(1)如圖，菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形的面積公式計算菱形ABCD的面積呢?提示能，過點A作AE⊥BC于點E,如圖，則

S菱形ABCD=底×高=BC

·AE.C(2)前面我們已經學習了菱形的對角線互相垂直，那么能否利用對角線來計算菱形ABCD

的面積呢?提示

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=SABc+S△ADC知識梳理菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半.例2(課本P73例3)如圖，菱形花壇ABCD

的邊長為20m,∠ABC=60°,沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC

和BD,求兩條小路的長(結果保留小數點后兩位)和花壇的面積(結果保留小數點后一位).解

設AC,BD

相交于點O.∵花壇ABCD的形狀是菱形，BO=√AB2-AO2=√202-102=10√3(m),∴花壇的兩條小路長AC=2AO=20(m),BD=2BO=20

√3≈34.64(m),花壇的面積S

(m2).在Rt△ABO中，AC⊥BD,C

反思感悟菱形面積的計算方法：(1)一邊長與兩對邊的距離(即菱形的高)的積.(2)四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的4倍).(3)兩條對角線長度乘積的一半.周長和面積.解如圖，∵四邊形ABCD

是菱形，且AC=8,BD=6,在Rt△AOB中

，AB=√AO2+BO2=√42+32=5,∴C菱形ABCD=4×5=20,跟蹤訓練2(1)已知菱形的兩對角線BD,AC

的長分別是6和8,求菱形的∴AC⊥BD,S菱形(2)如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，OA=5,OB=12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.C解

在Rt△AOB中

，OA=5,OB=12,g∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120.∵AB=√AO2+BO2=√52+122=13,又S

菱形ABCD=AB·h=13h,∴13h=120,

解得∴菱形ABCD兩對邊的距離h為D1.周長=邊長的四倍有關計算

2.面積=底×高=兩條對角線乘

積的一半1.兩組對邊平行且相等2.四條邊相等兩組對角分別相等，鄰角互補1.兩條對角線互相垂直平分2.每一條對角線平分一組對角菱形的性質及有關計算菱形

的性

質課堂小結對角線邊

角課堂練習1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是A.對角相等

B.對邊相等C.對角線互相垂直

D.對角線相等口

課堂練習2.如圖，已知菱形ABCD

的兩條對角線BD,AC

分別為6cm

和8

cm,

則這個菱形的高DE為A.2.4

cm

B4.8

cmC.5cm

D.9.6

cm課堂練習3.填空

.(1)已知菱形ABCD的周長是12cm,

那么它的邊長是3

cm;(2)菱形的一個內角為120°,平分這個內角的對角線長為11

cm,

菱形的

周長為

44

cm.課堂練習4.如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm

的菱形，其中對角線BD長10cm.求：(1)對角線AC的長度；解