初中數(shù)學(xué)人教版(2024)八年級(jí)下冊(cè)第二十一章四邊形21.3.2

菱

形第2課時(shí)

菱形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理.

(重點(diǎn))2.會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.

(難點(diǎn))情境引入我們可以根據(jù)定義來判定一個(gè)四邊形是菱形.除此之外，還能找到其他的判定方法嗎?本節(jié)我們來學(xué)習(xí).、

菱形的判定定理1問題1

預(yù)習(xí)課本P74~P75思考：如圖，用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)

動(dòng)木條，這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對(duì)此你有什么猜想?提示

當(dāng)兩根木條互相垂直時(shí)，這個(gè)平行四邊形變成菱形.猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.DC知識(shí)梳理菱形的判定定理1:對(duì)角線

互相垂直

的平行四邊形是菱形.幾何符號(hào)語言：∵如圖，四邊形ABCD

是平行四邊形，且AC⊥

BD,

∴四邊形ABCD是菱形.D例1

如圖，矩形ABCD

的對(duì)角線AC

的垂直平分線與邊AD,

BC分別交于點(diǎn)E,F,求證：四邊形AFCE是菱形.證明∵四邊形ABCD是矩形，∴AE//FC,∴∠1=∠2,∵EF

垂直平分AC,∴AO=CO.又∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴EO=FO,∴四邊形AFCE

是平行四邊形.又∵EF⊥AC,∴四邊形AFCE

是菱形.跟蹤訓(xùn)練1如圖，□ABCD

的對(duì)角線AC,BDAO=4,BO=3.

求證：□ABCD是菱形.證明

∵AB=5,AO=4,BO=3,∴AB2=AO2+BO2,∴△OAB是直角三角形，∴AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.相交于點(diǎn)O,且AB=5,AB二

、

菱形的判定定理2向題2

預(yù)習(xí)課本P74~P75思考：已知線段AC,

用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD,使AC

為菱形的一條對(duì)角線.小剛的作法如下：如圖，分別以A,C

為圓心，以大于AC

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B,D,依次連接A,B,C,D

四點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形.根據(jù)小剛的作法猜想有什么條件可以判定一個(gè)四邊形是菱形?對(duì)你的猜想進(jìn)行證明.提示

猜想：四條邊都相等的四邊形是菱形.∵AB=CD,BC=AD,∴四邊形ABCD

是平行四邊形，又∵AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形.知識(shí)梳理菱形的判定定理2:

四條邊相等的四邊形是菱形.幾何符號(hào)語言：∵

如

圖

，AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形.B

C例2

如圖，順次連接矩形ABCD求證：四邊形EFGH

是菱形.證明

如圖，連接AC,BD.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵點(diǎn)E,F,G,H為各邊中點(diǎn)，∴EF=FG=GH=EH,∴四邊形EFGH是菱形.各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH,跟蹤訓(xùn)練2如圖，平移△ABC

到△BDE

的位置，且點(diǎn)D

在邊AB

的延長(zhǎng)線上，連接EC,CD,若AB=BC,那么以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形

ABEC是平行四邊形；

②四邊形BDEC是菱形；③AC⊥DC;④DC

平

分∠BDE,正確的有_

①②③④.

(填序號(hào))解析由平移的性質(zhì)可得AB//CE,AC//BE,∴四邊形ABEC是平行四邊形，故①正確；∵平移△ABC到△BDE的位置，∴AB=BD=CE,BC=DE,∵AB=BC,∴BD=CE=BC=DE,∴四邊形BDEC是菱形，故②正確；∴BE⊥CD,DC平分∠BDE,

故④正確；∵AC//BE,∴AC⊥DC,

故③正確.D菱形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用例3如圖，在△ABC

中

，D,E

分別是AB,AC

的中點(diǎn)，BE=2DE,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使得EF=BE,連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；證明

∵D,E

分別是AB,AC

的中點(diǎn)，∴DE//BC

且2DE=BC.又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF//BC,∴四邊形BCFE

是平行四邊形.又∵EF=BE,∴

四邊形BCFE

是菱形.AED-

FB

C例3如圖，在△ABC中

，D,E

分別是AB,AC

的中點(diǎn)，BE=2DE,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使得EF=BE,

連接CF.(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面積.解

∵∠BCF=120°,

∴∠EBC=60°∴△EBC

是等邊三角形.∴BC=CE=4,過點(diǎn)E作EH⊥BC

(圖略),則HE=

√42-22=2

√3,∴菱形BCFE的面積為4×2√3=8

√3.AED-

FB

C跟

蹤

訓(xùn)

練

3如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合的四邊形ABCD

是一個(gè)菱形嗎?為什么?解四邊形ABCD是菱形.理由如下：∵AB//CD,AD//BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.過點(diǎn)A分別作BC,CD邊上的高AE,AF,

如圖，由題意得AE=AF.∵SABCD=BC·AE=CDAF,∴BC=CD,∴四邊形ABCD是菱形.四條邊都相等

菱形對(duì)角線互相垂直平分

菱形對(duì)角線互相垂直

菱形平行四邊形有一組鄰邊相等

菱形四邊形菱形課堂小結(jié)課堂練習(xí)1.下列命題中正確的是A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C四條邊相等的四邊形是菱形D.四個(gè)角相等的四邊形是菱形解析A項(xiàng)，添加AB=BC,可判斷平行四邊形ABCD為菱形，不符合題意；B項(xiàng)，添加AC⊥BD,可判斷平行四邊形ABCD為菱形，不符合題意；C項(xiàng)，添加∠ABC=90°,

可判斷平行四邊形ABCD為矩形，符合題意；

D項(xiàng)，添加∠1=∠2,可判斷平行四邊形ABCD為菱形，不符合題意.課堂練習(xí)2.如圖，要使平行四邊形ABCD

成為菱形，下列添加的

條件中錯(cuò)誤的是A.AB=BCB.ACLBDBC∠ABC=90°

D.

∠1=∠2(課堂練習(xí)3.如圖

，AD

是△ABC的中線，四邊形ADCE

是平行四邊形，添加下列條

件，能判定□ADCE

是菱形的是A.∠BAC=90°

B.

∠DAE=90°C.AB=AC

D.AB=AEA.2∴平行四邊形ADCE

是菱形，選項(xiàng)A正確；添加∠DAE=90°,∵四邊形ADCE

是平行四邊形，∴四邊形ADCE

是矩形，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；課堂練習(xí)解析添加∠BAC=90°,∵AD是△ABC

的中線，·課堂練習(xí)解

析添加AB=AC,

可得到AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴四邊形ADCE是矩形，選項(xiàng)C

錯(cuò)誤；添加AB=AE,∵AE=AB,

AB不一定等于AD,∴AE

不一定等于AD,無法判斷□ADCE

是菱形，選項(xiàng)D

錯(cuò)誤.課堂練習(xí)4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠