集寧二中2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二年級期末考卷數(shù)學(xué)注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷.第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置.第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卡的相應(yīng)位置.答案寫在試卷上均無效，不予記分.一、單選題1.已知雙曲線方程為，則該雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.2.直線與直線之間的距離為（）A. B. C.2 D.33.經(jīng)過兩點的直線的斜率是12，則等于（）A. B. C.3 D.14.在等差數(shù)列中，，，則的值為（）A27 B.30 C.33 D.365.等差數(shù)列滿足，若為前項和，則最大時，的值為（）A.9或10 B.8 C.9 D.10或116.設(shè)和是雙曲線兩個焦點，點在雙曲線上，且滿足，則的面積為（）A.2 B.1 C. D.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，．記以為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.等比數(shù)列中，，則（）A.-4 B.2 C.4 D.4二、多選題9.設(shè)拋物線的頂點在原點，焦點到準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的方程是（）A. B. C. D.10.在等比數(shù)列{}中，，則{}的公比可能為（）A. B. C.2 D.411.已知直線：和圓：，則（）A.直線恒過定點B.直線與圓相交C.直線被圓截得的最短弦長為D.存在使得直線與直線：垂直三、填空題12.過點且斜率為的直線一般式方程為______．13.已知數(shù)列滿足，，則______．14.已知，，則______．四、解答題15.已知數(shù)列分別是等差、等比數(shù)列，且．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．16.已知點，，是平面內(nèi)一個動點，且，（1）求動點的軌跡方程；（2）圓與動點的軌跡有兩個公共點，求的范圍．17已知數(shù)列中，.（1）求的值；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式.18.已知橢圓C：(a>b>0)右焦點為F(1，0)，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線y＝x－1與橢圓交于MN兩點.求MN長度.19.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.集寧二中2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二年級期末考卷數(shù)學(xué)注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷.第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置.第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卡的相應(yīng)位置.答案寫在試卷上均無效，不予記分.一、單選題1.已知雙曲線方程為，則該雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】令,解得,故選.2.直線與直線之間的距離為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩平行線之間的距離公式求解即可.【詳解】因為，即，所以與之間的距離為，故選：A3.經(jīng)過兩點的直線的斜率是12，則等于（）A. B. C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】由斜率公式可得答案.【詳解】由題可得，由斜率公式，.故選：A4.在等差數(shù)列中，，，則的值為（）A.27 B.30 C.33 D.36【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,,則可得,再由求解即可.【詳解】由題,因為,則；因為,則；所以,所以,故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,考查等差數(shù)列的定義的應(yīng)用.5.等差數(shù)列滿足，若為前項和，則最大時，的值為（）A.9或10 B.8 C.9 D.10或11【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出，把表示為關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】，∴，關(guān)于n的二次函數(shù)，其對稱軸為，∵，∴當(dāng)或時，最大．故選：A．6.設(shè)和是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且滿足，則的面積為（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨設(shè)點在第一象限，根據(jù)雙曲線的定義得到，再由，得到，進而求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，則，因為點在雙曲線上，不妨設(shè)點在第一象限，由雙曲線的定義可得，又因為，可得，即，又由，可得，解得，所以的面積為.故選：B7.已知橢圓的左、右焦點分別為，．記以為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理分別表示出，再由離心率計算公式可求結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義，得，因為以為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點為，所以，中，，即，所以離心率，故選：A．8.等比數(shù)列中，，則（）A.-4 B.2 C.4 D.4【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解.【詳解】等比數(shù)列中，所以.又，所以或.因為，所以.因為，所以4.故選：C二、多選題9.設(shè)拋物線的頂點在原點，焦點到準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的方程是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離為p求解.【詳解】解：因為焦點到準(zhǔn)線的距離為4，所以，根據(jù)四個選項可得，滿足，故選：AB10.在等比數(shù)列{}中，，則{}的公比可能為（）A. B. C.2 D.4【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項即可求解.【詳解】因為在等比數(shù)列{}中，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，故選：.11.已知直線：和圓：，則（）A.直線恒過定點B.直線與圓相交C.直線被圓截得的最短弦長為D.存在使得直線與直線：垂直【答案】BD【解析】【分析】求得直線恒過定點，即可判斷A；判斷點在圓內(nèi)，即可判斷B；當(dāng)直線與直線垂直時，所截得的弦長最短，求出最短弦長，即可判斷C；求出的值，即可判斷D.【詳解】對于A，由，可得，令，解得，所以直線恒過定點，故A錯誤；對于B，因為直線恒過定點，且點在圓：內(nèi)，所以直線與圓相交，故B正確；對于C，當(dāng)直線與直線垂直時，所截得的弦長最短，此時圓心到直線的距離，由弦長公式可得此時弦長為，故C錯誤；對于D，因為直線的斜率為，直線的斜率為，所以當(dāng)時，直線與直線垂直，故D正確．故選：BD.三、填空題12.過點且斜率為的直線一般式方程為______．【答案】【解析】【分析】由題意寫出直線的點斜式方程，化簡即可得解．【詳解】由直線的點斜式方程，可得，整理得.故答案：.13.已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】70【解析】【分析】利用累加法，結(jié)合等差數(shù)列求和即可得到通項，從而可求解.【詳解】因為，所以，累加可得：，則．故答案為：7014.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量坐標(biāo)運算求解.【詳解】由，，得，所以.故答案為：四、解答題15.已知數(shù)列分別是等差、等比數(shù)列，且．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，求出公差和公比，進而寫出等差、等比數(shù)列通項公式.（2）根據(jù)數(shù)列分組求和的方法，對新數(shù)列進行分組，進而根據(jù)等差、等比數(shù)列前項和公式，求出新數(shù)列的前項和.【小問1詳解】設(shè)的公差為，的公比為，則，所以；所以，則，所以.【小問2詳解】由（1）可知，則.16.已知點，，是平面內(nèi)的一個動點，且，（1）求動點的軌跡方程；（2）圓與動點的軌跡有兩個公共點，求的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出點坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，根據(jù)已知條件利用向量的坐標(biāo)運算即可求解；（2）寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)兩圓位置關(guān)系列不等式求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則，，因為，可得，即所以動點的軌跡方程為.【小問2詳解】由圓，可得圓，圓心，半徑，又由圓心，半徑為3，圓與動點的軌跡有兩個公共點，即兩圓相交，所以，解得.17.已知數(shù)列中，.（1）求的值；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式.【答案】（1），（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用賦值法，可求.（2）利用等差數(shù)列的定義，證明數(shù)列是等差數(shù)列，再求數(shù)列的通項公式.【小問1詳解】因為，所以，【小問2詳解】因為，所以，即，又因為，所以數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列.所以，所以.18.已知橢圓C：(a>b>0)的右焦點為F(1，0)，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線y＝x－1與橢圓交于MN兩點.求MN長度.【答案】（1）＋＝1；（2）.【解析】【分析】（1）依題設(shè)條件求出的值，即得方程；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立消元，利用韋達定理和弦長公式即可求得弦長.【小問1詳解】由已知得c＝1，＝，所以a＝2，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.【小問2詳解】設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消去得：7x2－8x－8＝0，由韋達定理得則,即MN長度為.19.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出直線的方向向量，并求出平面的法向量，從而證明線面平行；（2）用點到面的距離公式，求出點到面的距離；（3）先求出兩平面夾角的余弦，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出二面角的正弦值.【小