廣東省潮州市2026屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；答案不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題（本題共11道小題，其中1至8小題為單項(xiàng)選擇題，9至11小題為多項(xiàng)選擇題）（一）單項(xiàng)選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）1已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A.2或0 B.2 C.0 D.3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)，則方程所有的根之和為（）A. B.1 C.5 D.75.正方體中，點(diǎn)分別為正方形及中心，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于A. B. C. D.7.從5名醫(yī)生中選擇4人參加為期三天的社區(qū)志愿服務(wù)活動(dòng)，這三天中，有一天安排兩人，另外兩天各安排一人，共有（）種安排方法A180 B.90 C.36 D.308.過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交軸于點(diǎn)，則的最小值是（）A.8 B.6 C.5 D.4（二）多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分.部分選對(duì)的得部分分.選對(duì)但不全的得部分分.有洗錯(cuò)的得0分）9.某研究所研究耕種深度（單位：）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：）的關(guān)系，所得數(shù)據(jù)資料如下表：耕種深度810121416每公頃產(chǎn)量6.07.57.89.29.5經(jīng)計(jì)算可知每公頃產(chǎn)量與耕種深度的線(xiàn)性回歸方程為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.每公頃產(chǎn)量與耕種深度呈負(fù)相關(guān) B.耕種深度的平均數(shù)為12C.每公頃產(chǎn)量的平均數(shù)為7.8 D.10.如圖，平行六面體的體積為6，點(diǎn)P為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列三棱錐中，其體積為1的有（）A.三棱錐 B.三棱錐C.三棱錐 D.三棱錐11.已知，若不等式的解集為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為C.過(guò)點(diǎn)可作一條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切D當(dāng)時(shí)，二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.13.記為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，則__________.14.若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且滿(mǎn)足，則稱(chēng)成一個(gè)“等差數(shù)列”．已知集合，則由中的三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中，“等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.三、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.一個(gè)口袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，這7個(gè)小球除顏色外其余均相同．（1）從中不放回地摸球，每次摸2個(gè)球，摸到的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球則中獎(jiǎng)，求摸兩次恰好只有第2次中獎(jiǎng)的概率；（2）每次同時(shí)摸2個(gè)球，并放回，摸到的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球則中獎(jiǎng)，連續(xù)摸4次，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.16.在中，角的對(duì)邊成公差為2的等差數(shù)列．（1）若為銳角三角形，求a的取值范圍；（2）若，求的面積．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.18.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且的面積最大值為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)，且斜率不為0的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)A，B（在的左側(cè)），設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為.①求證：定值；②設(shè)直線(xiàn)相交于點(diǎn)，求證：為定值.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）已知曲線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.廣東省潮州市2026屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；答案不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題（本題共11道小題，其中1至8小題為單項(xiàng)選擇題，9至11小題為多項(xiàng)選擇題）（一）單項(xiàng)選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A.2或0 B.2 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】由純虛數(shù)的定義得，求解即可.【詳解】由題設(shè)，可得.故選：B3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用投影向量公式及數(shù)量積坐標(biāo)公式及模長(zhǎng)公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，則向量在向量上的投影向量為.故選：A.4.已知函數(shù)，則方程所有的根之和為（）A. B.1 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】討論的范圍，根據(jù)解析式列方程求對(duì)應(yīng)的根，即可得.【詳解】由，得或，所以或，所有根的和為1.故選：B5.正方體中，點(diǎn)分別為正方形及的中心，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線(xiàn)所成角余弦值即可.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則，故，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：C.6.若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，然后計(jì)算求解即可．【詳解】若1，a1，a2，4成等差數(shù)列，4＝1+3d，d＝1，∴a1﹣a2＝﹣1．又1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同）．∴故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題，對(duì)于等比等差數(shù)列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項(xiàng)和公比或者公差，其二是觀察各項(xiàng)間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).7.從5名醫(yī)生中選擇4人參加為期三天的社區(qū)志愿服務(wù)活動(dòng)，這三天中，有一天安排兩人，另外兩天各安排一人，共有（）種安排方法A.180 B.90 C.36 D.30【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合數(shù)計(jì)算求解.【詳解】第一步，從5人中選4人，共有種取法，第二步，將4人分成三組，共有種分法，再進(jìn)行全排有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知，共有種安排方法.故選：A.8.過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交軸于點(diǎn)，則的最小值是（）A.8 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】先設(shè)直線(xiàn)，再聯(lián)立得出韋達(dá)定理，再得出導(dǎo)函數(shù)進(jìn)而得出切線(xiàn)斜率，進(jìn)而得出，最后應(yīng)用基本不等式計(jì)算求解.【詳解】設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，設(shè)由得，所以，從而，故，由得，則點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)的方程為，則點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)BN的方程為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：D.（二）多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分.部分選對(duì)的得部分分.選對(duì)但不全的得部分分.有洗錯(cuò)的得0分）9.某研究所研究耕種深度（單位：）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：）的關(guān)系，所得數(shù)據(jù)資料如下表：耕種深度810121416每公頃產(chǎn)量6.07.57.89.29.5經(jīng)計(jì)算可知每公頃產(chǎn)量與耕種深度的線(xiàn)性回歸方程為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.每公頃產(chǎn)量與耕種深度呈負(fù)相關(guān) B.耕種深度的平均數(shù)為12C.每公頃產(chǎn)量的平均數(shù)為7.8 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)性回歸方程的概念即可判斷A；求出即可判斷BC；將點(diǎn)代入方程求出即可判斷D.【詳解】A：對(duì)于，，所以每公頃產(chǎn)量與耕種深度呈正相關(guān)，故A錯(cuò)誤；B：由題意知，，故B正確；C：由題意知，，故C錯(cuò)誤；D：將點(diǎn)代入方程，得，解得，故D正確.故選：BD10.如圖，平行六面體的體積為6，點(diǎn)P為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列三棱錐中，其體積為1的有（）A.三棱錐 B.三棱錐C.三棱錐 D.三棱錐【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)，將動(dòng)點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)換成定點(diǎn)到面的距離，利用等體積法依次求解即可.【詳解】記平行六面體的體積為，對(duì)于A，由平行六面體的性質(zhì)，平面故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，故,故A正確；對(duì)于B,因?yàn)椋酌婷娣e固定，點(diǎn)在線(xiàn)段上位置不同，高不同，故體積不為定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠矫嫫矫婀势矫纥c(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，故，故C正確；對(duì)于D，因平面平面故平面點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，故，故D正確；故選：ACD.11.已知，若不等式的解集為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為C.過(guò)點(diǎn)可作一條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)解集得出參數(shù)判斷A，應(yīng)用對(duì)稱(chēng)中心定義判斷B，先求出導(dǎo)函數(shù)再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及兩點(diǎn)求斜率列式計(jì)算判斷C，先換元再結(jié)合一元二次不等式計(jì)算判斷D.【詳解】A：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榧床坏仁降慕饧癁?，所以方程的根為和（二重根），得，即，所以，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A知，則，所以，即的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，故B正確：C：由選項(xiàng)A知，，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，設(shè)切點(diǎn)為，則，得，整理得，即，解得，此時(shí)切點(diǎn)為，說(shuō)明過(guò)點(diǎn)只能作一條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，故C正確；D：令，當(dāng)時(shí)，則，只需.而，由，得，即，所以，故D正確.故選：BCD二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合二倍角的正弦公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系中的商關(guān)系進(jìn)行求解即可.詳解】由得，解得，所以故答案為：13.記為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，則__________.【答案】##1.5【解析】【分析】求出圓與軸的交點(diǎn)，利用三角形相似可得，即可得解.【詳解】令，代入圓的方程中，可得，即圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，由，可知和相似，可得，即，從而，故答案為：14.若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且滿(mǎn)足，則稱(chēng)成一個(gè)“等差數(shù)列”．已知集合，則由中的三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中，“等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】1012【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列結(jié)合已知條件得出，結(jié)合已知集合及新定義得出數(shù)列個(gè)數(shù).【詳解】由三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且滿(mǎn)足，知，消去，并整理得，所以（舍去），，于是有.在集合中，三個(gè)元素組成的所有數(shù)列必為整數(shù)數(shù)列，所以必為2的倍數(shù)，且．故這樣的數(shù)組共1012組.故答案為：1012.三、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.一個(gè)口袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，這7個(gè)小球除顏色外其余均相同．（1）從中不放回地摸球，每次摸2個(gè)球，摸到的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球則中獎(jiǎng)，求摸兩次恰好只有第2次中獎(jiǎng)的概率；（2）每次同時(shí)摸2個(gè)球，并放回，摸到的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球則中獎(jiǎng)，連續(xù)摸4次，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率公式，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式求解.（2）求出摸球一次中獎(jiǎng)的概率，再求出的所有可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“摸2次恰好第2次中獎(jiǎng)”為事件，則.所以摸2次恰好只有第2次中獎(jiǎng)的概率為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)“每次同時(shí)摸2個(gè)球，恰好中獎(jiǎng)”為事件，則，隨機(jī)變量的所有可能的取值為0，1，2，3，4，，，，所以隨機(jī)變量的分布列是01234隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.16.在中，角的對(duì)邊成公差為2的等差數(shù)列．（1）若為銳角三角形，求a的取值范圍；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列得到的關(guān)系，確定最大角為角，且，利用可得結(jié)果；（2）根據(jù)正弦定理得到，求出的值，利用余弦定理求出的值，進(jìn)而得到的值，利用面積公式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵是公差為2的等差數(shù)列，∴，由三角形三邊關(guān)系得，，∴，又∵為銳角三角形，∴最大角，∴，即，∴，即，解得或，∴.小問(wèn)2詳解】∵，∴由正弦定理可得，∴，解得，則，∴，∴，∴．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，取的中點(diǎn)E，連接，即可證明四邊形為平行四邊形，由線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及平面夾角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接中，分別為中點(diǎn)，且，又正方形中，為中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面；【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接，中，，，平面平面平面，平面平面，平面，又四邊形為正方形，，以所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，則.18.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且的面積最大值為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)，且斜率不為0的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)A，B（在的左側(cè)），設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為.①求證：為定值；②設(shè)直線(xiàn)相交于點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓對(duì)稱(chēng)性求出即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式列式計(jì)算得證；②作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由①的結(jié)論求出直線(xiàn)方程，并求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出其軌跡即可.【小問(wèn)1詳解】令橢圓的焦距為2c，則，設(shè)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】①直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，，由消去得，，，則，又，則，所以.②由①知，則，作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，直線(xiàn)方程即為直線(xiàn)方程為，又直線(xiàn)方程為，由，解得，則