第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)廣東省廣州市越秀區(qū)2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）．A. B. C. D.2.已知的半徑是6，點(diǎn)到圓心的距離是5，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)在內(nèi) B.點(diǎn)在上 C.點(diǎn)在外 D.無(wú)法確定3.如圖，與是位似圖形，點(diǎn)為位似中心，若，，，那么的長(zhǎng)是（

）

A.4 B.6 C.8 D.104.二次函數(shù)y=x2-x-2的圖象如圖所示，則不等式x2-x-2＜0的解集是（）A.x＜-1

B.x＞2

C.-1＜x＜2

D.x＜-1或x＞25.如圖，燒瓶底部呈球形，瓶?jī)?nèi)液體的深度，則經(jīng)過(guò)球心的截面圓的半徑，則弦的長(zhǎng)為（

）．

A. B. C.6 D.6.如圖，在一塊長(zhǎng)，寬的矩形綠地內(nèi)，開(kāi)辟出一個(gè)矩形的花圃，使四周的綠地寬度相等．設(shè)花圃四周綠地的寬為，若要使綠地的面積與花圃的面積相等，那么滿(mǎn)足的方程是（

）．

A. B.

C. D.7.如圖，將繞頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，此時(shí)點(diǎn)恰好落在邊上．若，，則的度數(shù)為（

）．

A. B. C. D.8.下列事件為必然事件的是（）．A.相等的弦所對(duì)的弧相等

B.三角形內(nèi)切圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

C.關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

D.有兩組邊和一組角分別相等的兩個(gè)三角形全等9.形如的方程，可以按如下方法求它的正數(shù)解：如圖1，用4個(gè)長(zhǎng)和寬分別為和的矩形，圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為的大正方形（四個(gè)矩形彼此不重疊）．得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．羊羊同學(xué)按此方法解關(guān)于的方程時(shí)，構(gòu)造出如圖2所示圖形，得到該方程的正數(shù)解為，則圖2所示的大正方形的面積為（

）

A. B. C. D.10.已知點(diǎn)和點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，且．若點(diǎn)，，也都在這個(gè)函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（

）．A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（-2，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

．12.在一次摸球游戲中共有12個(gè)白球和若干個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回?cái)噭颍粩嘀貜?fù)該過(guò)程，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，那么估計(jì)游戲中黑球的個(gè)數(shù)為

．

13.已知，為拋物線(xiàn)上不重合的兩點(diǎn)，則

．14.用一個(gè)圓心角為，半徑為的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓半徑為

．15.定義新運(yùn)算“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有，如．若（為實(shí)數(shù)）是關(guān)于的方程，且是這個(gè)方程的一個(gè)根，則的值是

．16.如圖，直徑為的上有一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)恰好落在直徑上．

(1)若，則

；(2)若與相交于點(diǎn)，且，則

．三、計(jì)算題：本大題共1小題，共5分。17.解方程：

四、解答題：本題共8小題，共47分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。18.(本小題5分)如圖，點(diǎn)，，均在正方形網(wǎng)格圖的格點(diǎn)上，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線(xiàn)段（點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．

(1)畫(huà)出線(xiàn)段；(2)以為直徑作．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）19.(本小題5分)據(jù)傳說(shuō)，為了估算金字塔的高度，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯在金字塔影子的頂部處立一根長(zhǎng)2米的木桿，測(cè)得它的影長(zhǎng)為3米，點(diǎn)為金字塔底面的中心，且為201米，求金字塔的高度．

20.(本小題5分)

已知號(hào)盒中有個(gè)白球、個(gè)黃球，號(hào)盒中有個(gè)白球、個(gè)黃球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別．(1)若從號(hào)盒中隨機(jī)摸出個(gè)球，它是黃球的概率為，則

；(2)在（1）的條件下，分別從每個(gè)盒中各隨機(jī)摸出個(gè)球，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求摸出的個(gè)球中個(gè)是白球、個(gè)是黃球的概率．21.(本小題5分)某商店于一月底收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品，二月份銷(xiāo)售120袋，三月份銷(xiāo)售量比二月份增長(zhǎng)，四、五月份該商品十分暢銷(xiāo)，銷(xiāo)售量持續(xù)增長(zhǎng)，五月份的銷(xiāo)售量已經(jīng)達(dá)到225袋．(1)求該商店三月份的銷(xiāo)量；(2)求該商店四、五兩個(gè)月銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率．22.(本小題5分)如圖，中，，為的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若，，求的長(zhǎng)．23.(本小題7分)

已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)．(1)用含的式子表示；(2)若點(diǎn)為定點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若拋物線(xiàn)在點(diǎn)左側(cè)部分（包含點(diǎn)）的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值．24.(本小題7分)龍舟比賽是端午節(jié)傳統(tǒng)的比賽項(xiàng)目．某玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)：由于比賽龍舟長(zhǎng)短不同，并不是所有龍舟都適合在同一條河道比賽．如圖1，在型直角賽道進(jìn)行龍舟比賽，以下為該小組研究報(bào)告的部分記錄，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，解決問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)抽象繪制圖形龍舟轉(zhuǎn)彎示意圖可近似如圖2所示龍舟安全過(guò)彎示意圖可近似如圖3所示信息收集1．兩河道寬均為米，龍舟長(zhǎng)為米（龍頭到龍尾之間的距離）；2．龍舟中間最寬處1米，中間部分的中點(diǎn)即為龍舟中心；3．當(dāng)龍頭行駛到河道中間某處時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎過(guò)程可近似看作整個(gè)龍舟繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（在內(nèi)外河道拐點(diǎn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，轉(zhuǎn)彎時(shí)龍頭和龍尾在如圖所示的圓弧上運(yùn)動(dòng)），此時(shí)測(cè)得，與旋轉(zhuǎn)中心夾角．1．龍舟平面示意圖可近似看成是軸對(duì)稱(chēng)圖形；2．為保證龍舟能夠安全過(guò)型直角彎道，龍舟在轉(zhuǎn)彎開(kāi)始前和轉(zhuǎn)彎結(jié)束后都需行駛在河道正中間且與河岸平行；3．學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)若龍舟能夠安全過(guò)彎，轉(zhuǎn)彎過(guò)程中龍舟中間處邊緣與內(nèi)河道拐點(diǎn)最近距離不少于米（如圖3所示）．(1)若該小組經(jīng)過(guò)測(cè)量得到河道寬為15米，請(qǐng)求出河道拐點(diǎn)處的距離；(2)假設(shè)在龍舟能夠安全過(guò)彎的情況下，龍舟從豎直河道轉(zhuǎn)到水平河道過(guò)程中龍頭始終保持速度大小不變，并測(cè)得轉(zhuǎn)彎時(shí)間為6秒，求龍頭轉(zhuǎn)彎過(guò)程中的速度大??；（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）(3)在（1）條件下，該河道能夠用于比賽的龍舟長(zhǎng)度的最大值是多少？25.(本小題8分)

在直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線(xiàn)在，之間的圖象上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；(2)連接，設(shè)的面積為，的面積為，求的最大值；(3)延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，連接，當(dāng)線(xiàn)段取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】（2，-4）

12.【答案】

13.【答案】3

14.【答案】5

15.【答案】0或

16.【答案】【小題1】

【小題2】

17.【答案】解：因式分解，得，或，或．

18.【答案】【小題1】解：如圖，線(xiàn)段即為所求；【小題2】解：如圖，即為所求．

19.【答案】解：∵太陽(yáng)光線(xiàn)平行，∴，又∵，，∴，∴，∴．∵米，米，米，∴，解得米．答：金字塔的高度為米．

20.【答案】【小題1】【小題2】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中摸出的個(gè)球中個(gè)是白球、個(gè)是黃球的結(jié)果有種，摸出的個(gè)球中個(gè)是白球、個(gè)是黃球的概率是．

21.【答案】【小題1】解：由題意得（袋）答：該商店三月份的銷(xiāo)量144袋；【小題2】解：設(shè)該商店四、五兩個(gè)月銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意得，，解得，（舍去），答：該商店四、五兩個(gè)月銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率．

22.【答案】【小題1】證明：如圖，連接，，作于點(diǎn)．∵，為的中點(diǎn)，∴平分．∵與相切于點(diǎn)，∴是的半徑，，∵，平分，∴．∴也是的半徑，∴是的切線(xiàn)；【小題2】解：在中，，，∴．設(shè)，則．∵，為的中點(diǎn)，∴，即．在中，；在中，，∴，展開(kāi)化簡(jiǎn)得，解得，∴．

23.【答案】【小題1】解：拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，即，；【小題2】解：，，點(diǎn)為定點(diǎn)，含的項(xiàng)系數(shù)為零，即，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；【小題3】解：由（2）知，，對(duì)于，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，拋物線(xiàn)在點(diǎn)左側(cè)部分（包含點(diǎn)）的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在時(shí)，拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)橫坐標(biāo)為，若頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，即時(shí)，解得，此時(shí)，最低點(diǎn)為頂點(diǎn)，有，解得，，符合條件；若頂點(diǎn)不在區(qū)間內(nèi)，即時(shí)，解得，此時(shí)，最低點(diǎn)為點(diǎn)，有，解得，，與相矛盾，不符合條件，綜上，．

24.【答案】【小題1】解：如圖，分別作、，則米，∵，∴四邊形是矩形，∴米，∴米；【小題2】解：∵轉(zhuǎn)彎時(shí)龍頭和龍尾在同一圓弧上運(yùn)動(dòng)，∴，∵，∴是等邊三角形，∴米，∵龍舟從豎直河道轉(zhuǎn)到水平河道，∴整個(gè)龍舟繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)彎過(guò)程C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為米，∵轉(zhuǎn)彎時(shí)間為6秒，∴轉(zhuǎn)彎過(guò)程中的速度為；【小題3】解：如圖，連接交河道邊緣于H，則，∴，∴，即，∵轉(zhuǎn)彎時(shí)龍頭和龍尾在同一圓弧上運(yùn)動(dòng)，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，米，∴米，∵河道寬為15米，∴米，∴米，∴米，∵龍舟中間最寬處1米，∴米，∴米，∵轉(zhuǎn)彎過(guò)程中龍舟中間處邊緣與