內(nèi)蒙古呼和浩特市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．向量，，，若，則k的值是（

）A．4 B．－4 C．6 D．－64．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則（

）A． B．28 C．4 D．166．正方形ABCD的邊長為1，取正方形各邊的中點(diǎn)，，，作第二個(gè)正方形，然后再取正方形各邊中點(diǎn)，，，作第三個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，則前10個(gè)正方形的面積和為（

）A． B． C． D．7．為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移2個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）B．向右平移2個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）C．向左平移2個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）D．向右平移2個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）8．已知首項(xiàng)為3的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．3 B． C． D．－2二、多選題9．已知圓，直線，則（

）A．圓C的圓心坐標(biāo)為B．直線l的方向向量和共線C．當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，或D．當(dāng)時(shí)，l與圓C的相交弦長度為210．下列說法正確的有（

）A．樣本數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，8的分位數(shù)為2B．設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)為，則函數(shù)取到最小值時(shí)C．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測值越大，“認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)”這種判斷犯錯(cuò)誤的概率越大D．在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，、不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為111．已知正四面體的棱長為2，下列說法正確的是（

）A．此正四面體的表面積為B．此正四面體外接球的表面積為C．此正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值D．從此正四面體6條棱中任取2條，這2條棱垂直的概率為三、填空題12．已知，，則．13．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，k＝1、2、3、4、5，則．14．已知，，點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，則面積的最大值為．四、解答題15．某班組織競賽活動(dòng)，規(guī)定比賽需要從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在6道備選題中，甲正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，乙能正確完成其中4道題目且另外2道題不能完成．(1)求甲正確完成其中2道題的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示乙正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．16．已知奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足．(1)求證：；(2)求的最小值．17．記的內(nèi)角的對邊分別為,．(1)求A；(2)若，在AB邊上存在一點(diǎn)D，使得，連接CD，若的面積為，的平分線交CD于點(diǎn)E，求的值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，讓任意一點(diǎn)A繞一固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角，變成另一點(diǎn)，如此產(chǎn)生的變換稱為平面上的旋轉(zhuǎn)變換，已知點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得點(diǎn)，且旋轉(zhuǎn)變換的表達(dá)式為，曲線的旋轉(zhuǎn)變換也如此．(1)將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知曲線，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線．（?。┣笄€的方程；（ⅱ）P為曲線上一點(diǎn)，P不在x軸上，過P作交曲線于B，D兩點(diǎn)，求證：BD與曲線在P點(diǎn)處的切線垂直．19．如圖，在三棱錐中，已知，，且，．

(1)若，，求證：；(2)在（1）的條件下，求二面角的余弦值；(3)若，求二面角余弦值的最小值．參考答案1．D【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所?故選：D2．A【詳解】由題意有：，，所以，故選：A.3．D【詳解】向量，，則因?yàn)?，所以，故選：D4．A【詳解】即為，故的解集為，而為的真子集，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.5．B【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的，且焦點(diǎn)在軸上，則.故選：B.6．C【詳解】作出示意圖如圖所示：

第一個(gè)正方形是，記為，由平面幾何知識可得第二個(gè)正方形的邊長為，所以正方形的面積為，記為，依次類推可得第三個(gè)正方形的面積為，記為，可得第個(gè)正方形的面積為，所以正方形的面積可依次排成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以前10個(gè)正方形的面積和為.故選：C.7．A【詳解】把的圖象上所有的點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長度，得到的函數(shù)解析式為，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)解析式為.故選：A.8．B【詳解】因?yàn)?，則，所以，則，即，因?yàn)椋?，，，，所以?shù)列是以為周期的數(shù)列，故.故選：B.9．BCD【詳解】對于A，圓的圓心坐標(biāo)為，A錯(cuò)誤；對于B，直線的方向向量為和共線，B正確；對于C，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，即，計(jì)算圓心到直線的距離為，說明直線l過圓心，此時(shí)直線與圓C的相交弦長度為2，D正確；故選：BCD.10．ABD【詳解】對于A，因?yàn)椋詷颖緮?shù)據(jù)的分位數(shù)為2，故A正確；對于B，由，函數(shù)開口向上，對稱軸為，則函數(shù)取到最小值時(shí)，故B正確；對于C，因?yàn)殡S機(jī)變量的觀測值越大，說明兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性越大，即犯錯(cuò)誤的概率越小，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意，在散點(diǎn)圖中，所有樣本點(diǎn)都在直線上，說明這組數(shù)據(jù)的樣本完全正相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)是1，故D正確.故選：ABD11．BC【詳解】A：因?yàn)檎拿骟w每個(gè)面都是邊長為2的正三角形，所以此正四面體的表面積為，因此本選項(xiàng)說法不正確；B：把該正面體放在正方體中，如下圖所示：設(shè)該正方體的棱長為，則有，所以該正方體的對角線長為，所以該正方體外接球的半徑為，所以該正四面體外接球的半徑為，所以該正四面體外接球的表面積為，因此本選項(xiàng)說法正確；

C：設(shè)此正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)為，它到該正四面體四個(gè)面的距離分別為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，顯然為一常數(shù)，因?yàn)樵撜拿骟w每個(gè)面都是邊長為2的正三角形，設(shè)每個(gè)面的面積為，所以有，即為定值，所以本選項(xiàng)說法正確；D：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭钦切危?，因?yàn)槠矫妫云矫?，而平面，所以，同理可證，，除了這三對互相垂直，其他的棱之間成的角為，所以從此正四面體6條棱中任取2條，這2條棱垂直的概率為，所以本選項(xiàng)說法不正確.故選：BC

12．【詳解】由題意可得，，則，則，則，得或，因?yàn)?，所以，則.故答案為：13．/0.1【詳解】由題意可知：隨機(jī)變量的所有可能值的概率和為1，即，則，則，∴，故答案為：.14．2026【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，則.由于，所以面積的最大值為2026.故答案為：2026.15．(1)(2)分布列見解析；【詳解】（1）令事件為甲正確完成其中2道題，所以；（2）由已知有：的可能取值為，所以，所以的分布列為：所以.16．(1)證明見詳解(2)1【詳解】（1）在中，用代替，可得，又是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則，，所以，又，兩式相減得，兩式相加得，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號；所以，所以成立.（2）由（1），，則，令，則，由（1）知，則對，有，所以即在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的最小值為.17．(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∵，即，∴，在中，即，∴，∴，∴，∴.18．(1)(2)（?。唬áⅲ┳C明見解析【詳解】（1）由題意可得，，則；（2）（?。┰O(shè)曲線上任意一點(diǎn)為，且，將其繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則，得，則，即，故曲線的方程為；（ⅱ）設(shè)，且，，由題意可知，過點(diǎn)的切線斜率存在，故設(shè)切線方程為，聯(lián)立，得，則，即，則，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，聯(lián)立，得，則，則，，因?yàn)椋?，則，即，即，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，所以，則，得，則，此時(shí)BD與曲線在P點(diǎn)處的切線垂直；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，其中或，，聯(lián)立，得，則，則，不符合題意.

綜上，BD與曲線在P點(diǎn)處的切線垂直．19．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，，所以，，，所以，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）可知，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，，則，令，則，，所以，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為：，所以，由于二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.（3）在所在平面內(nèi)，由且，滿足橢圓定義，在所在平面內(nèi)，以的中點(diǎn)為坐