復(fù)變函數(shù)論課程考核模擬題試題及真題考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：復(fù)變函數(shù)論課程考核模擬題試題及真題考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.模函數(shù)是解析函數(shù)的實部或虛部。2.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。3.留數(shù)定理可以用于計算實軸上的積分。4.如果函數(shù)f(z)在閉區(qū)域Γ上連續(xù)，則∮_Γf(z)dz=0。5.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。6.所有解析函數(shù)都可以展開為Laurent級數(shù)。7.極點一定是孤立奇點。8.如果函數(shù)f(z)在z?處有極點，則它在z?的鄰域內(nèi)可以表示為f(z)=g(z)/(z-z?)^m+h(z)，其中m為正整數(shù)。9.Cauchy積分公式只適用于內(nèi)部不含奇點的簡單閉曲線。10.解析函數(shù)的實部和虛部都滿足Cauchy-Riemann方程。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)是（）。A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的留數(shù)是（）。A.1B.0C.-1D.i3.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-14.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-15.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的留數(shù)是（）。A.1B.0C.-1D.i6.函數(shù)f(z)=z2/(z-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1B.2C.3D.47.函數(shù)f(z)=e^z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.e^i/2iB.-e^i/2iC.e^iD.-e^i8.函數(shù)f(z)=1/(z-1)^2在z=1處的留數(shù)是（）。A.1B.0C.-1D.不存在9.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-110.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的留數(shù)是（）。A.1B.0C.-1D.i三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2+2z+3B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=e^z2.下列函數(shù)中，在z=1處有極點的有（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=z/(z-1)D.f(z)=1/(z-1)^33.下列關(guān)于留數(shù)的說法正確的有（）。A.留數(shù)定理可以用于計算實軸上的積分。B.極點一定是孤立奇點。C.留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點處的某種“剩余部分”。D.留數(shù)只適用于一階極點。4.下列關(guān)于Cauchy積分公式的說法正確的有（）。A.Cauchy積分公式只適用于內(nèi)部不含奇點的簡單閉曲線。B.Cauchy積分公式可以推廣到多連通區(qū)域。C.Cauchy積分公式是復(fù)變函數(shù)論的核心定理之一。D.Cauchy積分公式表明解析函數(shù)的積分與路徑無關(guān)。5.下列關(guān)于Laurent級數(shù)的說法正確的有（）。A.Laurent級數(shù)是復(fù)變函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的展開式。B.Laurent級數(shù)可以包含負冪項。C.Laurent級數(shù)只適用于解析函數(shù)。D.Laurent級數(shù)可以用于計算某些積分。6.下列關(guān)于Cauchy-Riemann方程的說法正確的有（）。A.Cauchy-Riemann方程是解析函數(shù)的必要條件。B.Cauchy-Riemann方程是解析函數(shù)的充分條件。C.Cauchy-Riemann方程只適用于實部為x的函數(shù)。D.Cauchy-Riemann方程與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性有關(guān)。7.下列關(guān)于解析函數(shù)的性質(zhì)正確的有（）。A.解析函數(shù)的實部和虛部都滿足Cauchy-Riemann方程。B.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。C.解析函數(shù)的積分與路徑無關(guān)。D.解析函數(shù)的泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)處處收斂。8.下列關(guān)于留數(shù)定理的應(yīng)用正確的有（）。A.留數(shù)定理可以用于計算實軸上的積分。B.留數(shù)定理可以用于計算圓周上的積分。C.留數(shù)定理可以用于計算某些三角函數(shù)的積分。D.留數(shù)定理可以用于計算某些指數(shù)函數(shù)的積分。9.下列關(guān)于孤立奇點的說法正確的有（）。A.孤立奇點是函數(shù)在該點附近不解析的點。B.孤立奇點可以是可去奇點、極點或本性奇點。C.孤立奇點的留數(shù)是解析函數(shù)在該點附近的一種“剩余部分”。D.孤立奇點的留數(shù)只適用于一階極點。10.下列關(guān)于復(fù)變函數(shù)論的應(yīng)用正確的有（）。A.復(fù)變函數(shù)論可以用于計算實軸上的積分。B.復(fù)變函數(shù)論可以用于解決流體力學(xué)中的問題。C.復(fù)變函數(shù)論可以用于解決電學(xué)中的問題。D.復(fù)變函數(shù)論可以用于解決熱傳導(dǎo)中的問題。四、案例分析（每題6分，共18分）1.計算積分∮_Γ(z2+2z+3)/(z-1)dz，其中Γ是圓周|z|=2。2.計算積分∮_Γ(z2+2z+3)/(z2+1)dz，其中Γ是圓周|z|=2。3.計算積分∮_Γ(z2+2z+3)/(z-1)^2dz，其中Γ是圓周|z|=2。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述Cauchy積分公式在復(fù)變函數(shù)論中的重要性及其應(yīng)用。2.論述Laurent級數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中的作用及其應(yīng)用。---標準答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√解析：1.模函數(shù)是解析函數(shù)的實部或虛部，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。2.解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，這是解析函數(shù)的定義。3.留數(shù)定理可以用于計算實軸上的積分，通過選擇合適的閉曲線可以計算實軸上的積分。4.如果函數(shù)f(z)在閉區(qū)域Γ上連續(xù)，不一定處處解析，因此積分不一定為零。5.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。6.不是所有解析函數(shù)都可以展開為Laurent級數(shù)，只有存在孤立奇點時才能展開為Laurent級數(shù)。7.極點一定是孤立奇點，這是孤立奇點的定義。8.如果函數(shù)f(z)在z?處有極點，則它在z?的鄰域內(nèi)可以表示為f(z)=g(z)/(z-z?)^m+h(z)，其中m為正整數(shù)，這是極點的定義。9.Cauchy積分公式只適用于內(nèi)部不含奇點的簡單閉曲線，如果內(nèi)部含奇點，需要使用留數(shù)定理。10.解析函數(shù)的實部和虛部都滿足Cauchy-Riemann方程，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。二、單選題1.B2.A3.A4.A5.B6.B7.A8.D9.A10.B解析：1.f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)是f'(z)=2z+2，f'(1)=4。2.f(z)=e^z在z=0處的留數(shù)是1。3.f(z)=1/(z-1)(z+1)在z=1處的留數(shù)是1/2。4.f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是1/2i。5.f(z)=sin(z)/z在z=0處的留數(shù)是1。6.f(z)=z2/(z-1)在z=1處的留數(shù)是2。7.f(z)=e^z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是e^i/2i。8.f(z)=1/(z-1)^2在z=1處的留數(shù)不存在。9.f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是1/2i。10.f(z)=sin(z)/z在z=0處的留數(shù)是1。三、多選題1.A,C,D2.A,B,D3.A,B,C4.A,C,D5.A,B,D6.A,B,D7.A,B,C,D8.A,B,C,D9.A,B,C10.A,B,C,D解析：1.f(z)=z2+2z+3和f(z)=sin(z)和f(z)=e^z在z=0處解析，f(z)=1/z在z=0處不解析。2.f(z)=1/(z-1)和f(z)=1/(z-1)^2和f(z)=1/(z-1)^3在z=1處有極點，f(z)=z/(z-1)在z=1處解析。3.留數(shù)定理可以用于計算實軸上的積分，極點一定是孤立奇點，留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點處的某種“剩余部分”，留數(shù)不只適用于一階極點。4.Cauchy積分公式只適用于內(nèi)部不含奇點的簡單閉曲線，Cauchy積分公式是復(fù)變函數(shù)論的核心定理之一，Cauchy積分公式表明解析函數(shù)的積分與路徑無關(guān)。5.Laurent級數(shù)是復(fù)變函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的展開式，Laurent級數(shù)可以包含負冪項，Laurent級數(shù)可以用于計算某些積分。6.Cauchy-Riemann方程是解析函數(shù)的必要條件，Cauchy-Riemann方程是解析函數(shù)的充分條件，Cauchy-Riemann方程與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性有關(guān)。7.解析函數(shù)的實部和虛部都滿足Cauchy-Riemann方程，解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)，解析函數(shù)的積分與路徑無關(guān)，解析函數(shù)的泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)處處收斂。8.留數(shù)定理可以用于計算實軸上的積分，留數(shù)定理可以用于計算圓周上的積分，留數(shù)定理可以用于計算某些三角函數(shù)的積分，留數(shù)定理可以用于計算某些指數(shù)函數(shù)的積分。9.孤立奇點是函數(shù)在該點附近不解析的點，孤立奇點可以是可去奇點、極點或本性奇點，留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點處的某種“剩余部分”。10.復(fù)變函數(shù)論可以用于計算實軸上的積分，復(fù)變函數(shù)論可以用于解決流體力學(xué)中的問題，復(fù)變函數(shù)論可以用于解決電學(xué)中的問題，復(fù)變函數(shù)論可以用于解決熱傳導(dǎo)中的問題。四、案例分析1.解析：f(z)=(z2+2z+3)/(z-1)，在z=1處有極點。Laurent級數(shù)展開：f(z)=(z-1+1+2(z-1)+3)/(z-1)=1+2+3/(z-1)=4+3/(z-1)。∮_Γ(z2+2z+3)/(z-1)dz=∮_Γ(4+3/(z-1))dz=∮_Γ4dz+∮_Γ3/(z-1)dz?！觃Γ4dz=0（因為常數(shù)項積分為零）?！觃Γ3/(z-1)dz=3×2πi=6πi（因為留數(shù)為3）。因此，∮_Γ(z2+2z+3)/(z-1)dz=6πi。2.解析：f(z)=(z2+2z+3)/(z2+1)，在z=±i處有極點。Laurent級數(shù)展開：f(z)=(z2+2z+3)/((z-i)(z+i))，在z=i處，f(z)=(z2+2z+3)/((z-i)(z+i))=(z2+2z+3)/(2i(z-i))。留數(shù)計算：f(z)/(z-i)=(z2+2z+3)/(2i(z+i))，在z=i處，f(z)/(z-i)=(i2+2i+3)/(2i(2i))=(-1+2i+3)/(-4)=(2+2i)/-4=-1/2-1/2i。留數(shù)為-1/2i。∮_Γ(z2+2z+3)/(z2+1)dz=2πi×(-1/2i)=-π。3.解析：f(z)=(z2+2z+3)/(z-1)^2，在z=1處有二階極點。Laurent級數(shù)展開：f(z)=(z2+2z+3)/(z-1)^2=(z-1+1+2(z-1)+3)/(z-1)^2=1+2+3/(z-1)+3/(z-1)^2?！觃Γ(z2+2z+3)/(z-1)^2dz=∮_Γ(1+2+3/(z-1)+3/(z-1)^2)dz=∮_Γ1dz+∮_Γ2dz+∮_Γ3/(z-1)dz+∮_Γ3/(z-1)^2dz?！觃Γ1dz=0，∮_Γ2dz=0，∮_Γ3/(z-1)dz=6πi，∮_Γ3/(z-1)^2dz=3×2πi=6πi。因此，∮_Γ(z2+2z+3)/(z-1)^2dz=6πi+6πi=12πi。五、論