專題隱圓與阿氏圓內(nèi)容導航熱點解讀內(nèi)容導航熱點解讀題型突破限時訓練熱點內(nèi)容解讀深度剖析解讀熱點：分析解讀熱點考查內(nèi)容，精準預測命題方向。熱點題型突破逐一剖析解題歸納：對熱點的各類題型逐一突破，歸納解題方法與技巧。熱點限時訓練模擬實戰(zhàn)鞏固提升：限時完成題目訓練，提升解題能力。近三年：1、隱圓問題是解析幾何與平面向量中的重要考查形式，在選擇題，填空題和解答題中亦常出現(xiàn)，考查內(nèi)容、頻率、題型靈活，難度中等及以上，核心是挖掘題目中的隱藏條件，構建出圓的方程。2、從近幾年高考命題來看，隱圓問題常作為綜合題的突破口，其本身很少直接以“求圓的方程”為題目設問，而是作為已知條件或解題的關鍵步驟，融入到動點軌跡、最值問題、范圍問題中。隱圓內(nèi)容常通過向量、斜率、幾何性質(zhì)、復數(shù)等多種形式進行考查，解題的關鍵在于識別出題目中滿足圓定義的幾何條件，并轉化為代數(shù)方程。預測2026年：隱圓問題將繼續(xù)作為高考數(shù)學中的一項重要能力和熱點，命題形式將更加靈活與隱蔽。它可能繼續(xù)與向量（如數(shù)量積定值）、斜率（如夾角定值）、距離（如到定點距離為定值或到兩定點距離平方和為定值）、平面幾何性質(zhì)（如直徑所對圓周角為直角）及最值問題深度結合?？忌枋炀氄莆粘Ｒ姷碾[圓模型，提升從復雜條件中抽象出圓模型的能力。題型01從圓的定義及性質(zhì)得隱圓解｜題｜策｜略到定點距離為定值：圓的定義。直徑所對圓周角為直角：若動點P滿足PA⊥PB（A,B為定點），則P點的軌跡是以AB為直徑的圓（剔除A,B兩點）。到兩定點距離平方和為定值：若動點P滿足PA2+PB2=k（定值），則P點軌跡是以AB中點為中心的一個圓。1．（2025·安徽合肥·模擬預測）長度為2的線段AB的兩個端點分別在x軸及y軸上運動，則線段AB的中點到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【知識點】軌跡問題——圓、求點到直線的距離、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】確定的中點的軌跡方程為圓，結合圓心到直線的距離即可求解.【詳解】設，由題意可得：，設的中點坐標為，則，所以，即線段的中點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，圓心到的距離為：，所以線段的中點到直線距離的最大值為，故選：D2．（多選）（2025·廣西·三模）在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到點的距離等于1，若直線與曲線交于不同的兩點，，則（

）A．當時， B．線段中點的軌跡長度為C．的取值范圍為 D．【答案】ABD【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、軌跡問題——圓、由直線與圓的位置關系求參數(shù)【分析】求圓心到直線的距離，運算求解即可判斷A；分析可知點M的軌跡是以OC為直徑的圓圓C內(nèi)部部分，即可判斷B；根據(jù)數(shù)量積可得，進而可判斷C；分析可得，即可判斷D．【詳解】由題意，曲線為圓，如圖：

對于選項A，圓的圓心坐標為，半徑為，若直線，圓心C到直線的距離為，則，故A正確；對于選項B，如圖線段中點M滿足，

所以M的軌跡是以OC為直徑的圓圓C內(nèi)部部分，所以線段中點的軌跡長度為，故B正確；對于選項C，，因為點A，B不重合，所以，故C錯誤；對于選項D，，故D正確.故選：ABD3．（2025·湖北·二模）在長方體中，，點是平面內(nèi)的動點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】空間垂直的轉化、定點到圓上點的最值（范圍）、立體幾何中的軌跡問題【分析】先確定點所在的截面圓，通過面面垂直找到球心到截面的距離，進而求出截面圓半徑，再結合點與截面圓的位置關系求出的最大值.【詳解】如圖，連接AC，由，得，

由可知點在以AC的中點為球心，為半徑的球面上．而又在平面內(nèi)，故為平面與球的截面圓上的動點.取CD的中點E，AB的中點的中點，連接，則由長方體的性質(zhì)得平面且三角形為直角三角形，而平面，所以平面平面EFG，作于，因平面平面，平面，故平面，故為截面圓的圓心.又，故截面圓的半徑為，即點在以為圓心，為半徑的圓上，而既在球面上，又在平面內(nèi)，故在截面圓上，故的最大值即為截面圓的直徑，則的最大值為．故選：D．4．（2025·遼寧錦州·二模）設直線與x軸交于點A，圓，過l上一點P作圓O的兩條切線，，C，D為切點，中點為M，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】過圓外一點的圓的切線方程、軌跡問題——圓、由直線與圓的位置關系求參數(shù)【分析】根據(jù)題意，求出方程，根據(jù)，求出的運動軌跡為為圓心，為半徑的圓，進而得到圓外點到圓上點距離的最大值，最小值得到答案.【詳解】

因為直線與x軸交于點A，所以，因為為上一點，所以，設，，則，得直線的方程為，故同理得的方程為，，故直線的方程為，因為為中點，所以，所以方程為，即，聯(lián)立，消得，所以為為圓心，為半徑的圓，其中點到圓心的距離為，所以，，所以的取值范圍是，故選：A.5．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐標系中，已知圓，點，若圓上存在點，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】軌跡問題——圓、由圓的位置關系確定參數(shù)或范圍【分析】設點坐標，然后表示出和，建立方程后得到點的軌跡方程，由兩個圓存在公共點，得到圓與圓的位置關系，從而得到圓心距和半徑的關系，求出的取值范圍.【詳解】設，則，.因為，所以，即，所以點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓.又因為點在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，即，解得.故選：B.題型02從直線斜率關系得隱圓解｜題｜策｜略斜率乘積為-1：與兩定點連線斜率之積為-1的點的軌跡為是圓（注意斜率不存在的情況）1．（2025·河南信陽·模擬預測）若直線，，設與的交點為P，O為坐標原點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】軌跡問題——圓、直線過定點問題、定點到圓上點的最值（范圍）【分析】根據(jù)直線的交點，再結合兩點距離公式列式應用值域求解范圍.【詳解】直線，過定點,，過定點,因為，所以與垂直，所以與的交點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，因為，所以，所以.故選：C.2．（2025·湖北·三模）已知直線與相交于點P，點Q在圓上，則（

）．A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】A【知識點】軌跡問題——圓、判斷圓與圓的位置關系【分析】先求出兩直線所過的定點，進而確定交點的位置，再結合圓的性質(zhì)求出的最值.【詳解】對于直線，可變形為.令，解得，所以直線恒過定點.對于直線，可變形為.令，解得，所以直線恒過定點.因為，所以，已知，，則中點坐標為.，所以半徑.則點的軌跡是以AB為直徑的圓的一部分，故點P的軌跡為，已知圓的圓心，半徑，則圓心與點軌跡圓的圓心的距離為.的最大值為圓心加上兩圓半徑，即.由于軌跡不包含點，故不存在最小值.故選：A．3．（2025·河北·模擬預測）已知直線，直線，若與的交點為，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【知識點】軌跡問題——圓、直線過定點問題、定點到圓上點的最值（范圍）【分析】通過直線方程求出兩條直線所過的定點，再根據(jù)兩直線垂直的條件判斷兩直線垂直，進而確定點的軌跡，最后結合點的位置求出的最小值.【詳解】可變形為由可得，則恒過定點，同理可得恒過定點，且有，則，此時的軌跡是以為直徑的圓：（除去點）．因，由圖知，當點在線段上時，的值最小，其最小值為.

故選：A．4．（2025·貴州黔東南·一模）設直線：，：．若存在定圓Q，使得這兩條直線與圓Q都相切，則圓Q上一點到點的距離的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【知識點】過圓外一點的圓的切線方程、定點到圓上點的最值（范圍）、求點到直線的距離【分析】先化簡直線和的方程，表示出點到直線的距離以及點到直線的距離，結合點為定點，且，即可得到定圓Q的圓心為，半徑為1，進而求解即可.【詳解】由：，得，由：，得，設，則點到直線的距離為，點到直線的距離為，要使點為定點，且，則，即，此時定圓Q的圓心為，半徑為1，所以圓Q上一點到點的距離的最大值為.故選：B.題型03從向量關系得隱圓解｜題｜策｜略向量的數(shù)量積為定值：若A,B為定點，且PA?PB向量平方和為定值：若為定點，滿足PA2+PB2向量模長為定值：利用向量的幾何性質(zhì)，向量模長或者加減運算后模長為定值，可以構造圓，建系解決問題。1．（2025·湖南益陽·模擬預測）在中，為的中點，為平面內(nèi)一點，且，則（

）A．的最大值為B．的最大值為C．的最大值為D．的最大值為【答案】A【知識點】向量與幾何最值、定點到圓上點的最值（范圍）、數(shù)量積的坐標表示【分析】以為坐標原點，，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，為以為圓心，半徑為圓上一點，根據(jù)向量運算的幾何意義逐選項判斷即可.【詳解】以為坐標原點，，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，所以，設，所以，因為，所以，即，即，所以為以為圓心，半徑為圓上一點，對于A，，所以，幾何意義為到原點的距離，所以的最大值為到原點的距離的最大值，最大值為原點到圓心距離加上半徑，即，故A正確；對于B，，，幾何意義為到的距離，所以的最大值為到的距離的最大值，最大值為到圓心距離加上半徑，即，故B錯誤；對于C，，令，即，即，當與圓相切時有最值，即，解得，所以的最大值為，即的最大值為5，故C錯誤；對于D，，因為為以為圓心，半徑為圓上一點，所以的最大值為，所以的最大值為，故D錯誤，故選：A.2．（2025·云南昆明·模擬預測）已知，是單位向量，，的夾角為，若向量滿足，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】向量模的坐標表示、平面向量線性運算的坐標表示、定點到圓上點的最值（范圍）【分析】在平面直角坐標系內(nèi)，利用向量的坐標表示及運算，結合向量模的坐標表示求出的終點的軌跡，進而求出最大值.【詳解】，且，的夾角為，在平面直角坐標系中，令，設，則，由，得，因此點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，所以的最大值為.故選：D3．（2025·海南·模擬預測）已知點，若圓上存在點滿足，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】軌跡問題——圓、由圓的位置關系確定參數(shù)或范圍【分析】由題意可知，圓心，半徑，則，，其中為坐標原點，可得，可知點的軌跡為以圓心，半徑的圓，設為圓，由題意可知：圓與圓有公共點，則，求實數(shù)的最大值．【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，則，，其中為坐標原點，可得，則，可知點的軌跡為以圓心，半徑的圓，設為圓，由題意可知：圓與圓有公共點，則，即，解得，所以實數(shù)的最大值為．故選：A．4．（多選）（2025·湖北武漢·三模）已知圓，直線與圓交于，兩點，點為圓上異于，的任意一點，若，，則（

）A．B．面積的最大值為C．直線的方程為D．滿足到直線的距離為的點有且僅有3個【答案】BD【知識點】圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）、由直線與圓的位置關系求參數(shù)、圓內(nèi)接三角形的面積【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式求解判斷A；利用圓的性質(zhì)求出面積最大值判斷B；求出直線方程判斷C；利用直線與圓的位置關系判斷D.【詳解】對于A，依題意，，則，而，解得，A錯誤；對于B，，圓心到直線距離，因此點到直線距離的最大值為，面積的最大值為，B正確；對于C，由，得，直線的斜率，設直線的方程為，則，解得，由，得，即，因此，直線的方程為，C錯誤；對于D，由圓半徑為，圓心到直線距離為，得圓上到直線距離為的點有且僅有3個，因此符合條件的點有且僅有3個，D正確.故選：BD5．（2025·北京·模擬預測）已知平面向量滿足且，則的最大值為.【答案】【知識點】數(shù)量積的運算律、軌跡問題——圓、數(shù)量積的坐標表示、求點到直線的距離【分析】先根據(jù)已知條件求出向量與的夾角，再通過建立平面直角坐標系，將向量坐標化，然后根據(jù)得到點的軌跡方程，最后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出的最大值.涉及的知識點有向量的數(shù)量積公式、向量夾角公式、向量數(shù)量積的坐標運算以及圓的方程.【詳解】設向量與的夾角為，.根據(jù)向量數(shù)量積公式，已知，，，可得：解得，所以.不妨設，，.，.因為，所以.展開可得，配方得.這表明點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓..設，即.根據(jù)點到直線的距離公式，圓心到直線的距離.因為點在圓上，所以圓心到直線的距離（為圓的半徑），即.則，即.解不等式可得.所以的最大值為，即的最大值為.故答案為：.題型04從復數(shù)得隱圓解｜題｜策｜略利用復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)模、輻角的幾何含義，將代數(shù)條件轉化為幾何軌跡。1.利用模的幾何意義|z?z?|=r，可以表示以點

z0為圓心，2.若方程為

∣1．（2025·廣東廣州·模擬預測）復數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】定點到圓上點的最值（范圍）、與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題【分析】根據(jù)復數(shù)的模的幾何意義可得復數(shù)在復平面內(nèi)的軌跡為以點為圓心，以為半徑的圓即可求解.【詳解】設復數(shù)，則對應點的坐標為，所以所以復數(shù)對應的點到的距離為，故復數(shù)在復平面內(nèi)的軌跡為以點為圓心，以為半徑的圓，故當點運動到與軸的交點，且向上的位置時，此時最大，最大值為故選：C2．（2025·安徽安慶·模擬預測）若復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】定點到圓上點的最值（范圍）、求復數(shù)的模、與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷可得出結果.【詳解】設，若滿足，即，所以，即，則點在以為圓心，1為半徑的圓上，易知原點在圓外，又圓心到坐標原點的距離為，所以的最大值為，故選：C．3．（多選）（2025·遼寧·模擬預測）設復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則下列選項正確的有（

）A．若，則的最大值為6B．若，則點的軌跡為橢圓C．若，則點的軌跡為橢圓D．若，則點軌跡的長度為【答案】ACD【知識點】橢圓定義及辨析、軌跡問題——圓、定點到圓上點的最值（范圍）、與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題【分析】利用復數(shù)的幾何意義，結合各選項中的條件逐項分析判斷.【詳解】在復平面內(nèi)，設點，復數(shù)所對應點，對于A，兩點的距離表示兩點的距離，又，則點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，表示兩點的距離，則的最大值為，A正確；對于B，表示兩點的距離，表示兩點的距離，由，則點的軌跡為線段，B錯誤；對于C，，則點的軌跡是以為左，右焦點，長軸長為4的橢圓，C正確；對于D，，即或，由表示以為圓心，1為半徑的圓，同理表示以為圓心，2為半徑的圓，點軌跡的長度為，D正確.故選：ACD4．（多選）（2025·廣東汕頭·一模）已知復數(shù)，（x,），則下列結論正確的是（

）A．方程表示的z在復平面內(nèi)對應點的軌跡是圓B．方程表示的z在復平面內(nèi)對應點的軌跡是橢圓C．方程表示的z在復平面內(nèi)對應點的軌跡是雙曲線D．方程表示的z在復平面內(nèi)對應點的軌跡是直線【答案】AD【知識點】軌跡問題——圓、橢圓定義及辨析、雙曲線定義的理解、與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義逐個選項判斷即可.【詳解】根據(jù)復數(shù)的幾何表示知：對A，方程表示到定點的距離等于2的動點軌跡，即圓，A正確；對B，方程表示到定點與距離的和為2的動點軌跡，而與的距離也為2，所以z在復平面內(nèi)對應點的軌跡為線段，B錯誤；對C，方程表示到定點與的距離的差為1的動點軌跡，即雙曲線的一支，C錯誤；對D，方程表示到定點與的距離相等的動點軌跡，即線段的中垂線，D正確．故選：AD題型05阿氏圓解｜題｜策｜略定義：

在平面上，到兩定點距離之比為定值（常數(shù)

λ，且

λ>0,λ≠1）的點的軌跡是一個圓，這個圓被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓。1、

當題目中出現(xiàn)

“PA=λ·PB”

或

“PA/PB=λ”

（λ≠1）這類條件時，應立即聯(lián)想到動點P的軌跡是阿氏圓。2、題目若給出∠P的角分線分得AB的比例為定值λ，這里根據(jù)角分線原理，也可以得出PA=λ·PB1．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）已知在平面直角坐標系中，，，動點滿足，點為拋物線上一動點且在拋物線準線上的投影為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】拋物線定義的理解、軌跡問題——圓、定點到圓上點的最值（范圍）【分析】根據(jù)題意，求得點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，再由拋物線得到，轉化為，結合圖象，得到當且僅當四點共線時，取得最小值，求得，即可求解.【詳解】因為，，且動點滿足，設，可得，整理得，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，由拋物線，可得且準線方程為，又因為點在拋物線的準線方程為的投影為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離相等，所以，所以，當且僅當四點共線時，取得最小值，且，所以.即的最小值為.故選：B.2．（2025·陜西渭南·一模）若動點到的距離之比為．則點到直線的最小距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】軌跡問題——圓、求點到直線的距離、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】設動點的坐標為，由題意求出動點的軌跡方程，結合圓的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】設動點的坐標為，由題意：，即，代入點的坐標，可得，兩邊取平方并整理得：，即動點C的軌跡為圓心為，半徑為的圓，因到直線的距離為，故點到直線的最小距離為，故選：D.3．（2025·寧夏吳忠·二模）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離的比值為定值（）的點的軌跡是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】軌跡問題——圓、定點到圓上點的最值（范圍）【分析】以的中點為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設，，，由，可得點的軌跡方程為，數(shù)形結合得解.【詳解】以的中點為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系，不妨取，．設，則，整理得，所以點的軌跡方程為．則可看作圓上的點到原點的距離的平方，所以，所以，即的最大值為，故選：A.4．（多選）（2025·四川雅安·二模）已知點，，動點滿足，記點的軌跡為曲線，則下列說法中正確的是（

）A．曲線的方程為B．的最大值為6C．點到直線的距離的最大值為2D．設直線與曲線的另一個交點為，則【答案】ABD【知識點】軌跡問題——圓、定點到圓上點的最值（范圍）、過圓外一點的圓的切線方程【分析】設動點，根據(jù)題設列方程化簡即可判斷A；結合圓的幾何性質(zhì)判斷BC；分直線的斜率不存在和存在兩種情況討論求解，進而判斷即可.【詳解】對于A，設動點，則由，得，化簡得：，即，故A正確；對于B，點的軌跡為以為圓心，半徑的圓，則，所以的最大值為，故B正確；對于C，要使點到直線的距離最大，則直線與圓相切，設此時直線的方程為，即，則，解得，則直線與圓相切時，直線的方程為，即，此時點到直線的距離為，則點到直線的距離的最大值為，故C錯誤；對于D，當直線的斜率不存在時，滿足；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，聯(lián)立，得，則，則，所以直線與直線的傾斜角互補，則，故D正確.故選：ABD.5．（2025·湖北武漢·模擬預測）在中，，點D是上的點，平分，的面積是的面積的3倍，當?shù)拿娣e最大時，.【答案】/【知識點】三角形面積公式及其應用、求三角形面積的最值或范圍、軌跡問題——圓【分析】建立平面直角坐標系，利用到角公式求出點的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，數(shù)形結合，得到當在點處時，的面積最大，結合余弦定理和同角的平方關系計算即可求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，由，得，又，則，，設，由角平分線定理得，當時，，得，此時；當時，直線的斜率分別為，則，又，由到角公式得，即，得，整理得，即，點的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，因此當在點處時，的面積最大，此時，在中，由余弦定理得.故答案為：（建議用時：30分鐘）1．（2025·江西新余·模擬預測）過直線上的任意一點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則點到直線AB的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【知識點】相交圓的公共弦方程、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】根據(jù)幾何性質(zhì)知M，A，B，C四點在以MC為直徑的圓上，與圓相減得直線AB的方程，又是以原點為圓心、1為半徑的圓上的點，所求距離轉化為原點到直線AB的距離加半徑，即，結合二次函數(shù)性質(zhì)求得最值即可.【詳解】設，則，由幾何性質(zhì)知M，A，B，C四點在以MC為直徑的圓上，即該圓方程為，即，與圓相減得直線AB的方程為.又，故是以原點為圓心、1為半徑的圓上的點，故點到直線AB的距離的最大值為原點到直線AB的距離加半徑1，即，當且僅當時等號成立，所以點到直線AB的距離的最大值為.故選：C.2．（2025·甘肅平?jīng)觥つM預測）已知圓C：，P為y軸上的一個動點（異于原點），過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，且A，B的中點為M，點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【知識點】軌跡問題——圓、定點到圓上點的最值（范圍）【分析】由題意可知，從而得到點的軌跡為是以為直徑的圓（去掉A，C兩點），再根據(jù)圓外一點到圓上距離最大值即為圓外一點與圓心距離加上半徑即可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為，則圓與y軸相切，切點為原點O，即為A，又M為的中點，則，所以點M的軌跡是以為直徑的圓（去掉A，C兩點），其中圓心為，半徑為1，又，所以.故選：C.3．（2025·安徽·模擬預測）已知點，為圓上兩點，，點為線段的中點，點為直線上的動點，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【知識點】軌跡問題——圓、求點到直線的距離、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】先根據(jù)垂徑定理得出，即可得出點的軌跡為圓，則問題轉化為求圓上的動點到定直線的距離的最小值.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑，因為點為線段的中點，，則，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，點在直線上，可得圓心到直線的距離，所以的最小值為.故選：A

4.（2025·重慶·三模）已知點動點滿足則(為坐標原點)的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識點】定點到圓上點的最值（范圍）【分析】由得到點的軌跡方程，再由圓心到原點的距離減去半徑可得.【詳解】因為所以點在以為直徑的圓上，圓的方程為，所以的最小距離為圓心到原點的距離減去半徑，即.故選：B.5．（2025·河北秦皇島·一模）已知圓過點，點在圓上，過點的直線與過點的直線互相垂直，且垂足為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】軌跡問題——圓、定點到圓上點的最值（范圍）、求過已知三點的圓的標準方程、判斷圓與圓的位置關系【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)求出圓的方程，再確定點的軌跡方程，最后根據(jù)圓的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】設圓的方程為.因為圓過點，，，將這三個點代入圓的方程可得：由可得：，即，解得.將代入可得：解得.把，代入可得：.所以圓的方程為，圓心，半徑.因為直線過點，直線過點，且，所以點的軌跡是以為直徑的圓.的中點坐標為，，則半徑為.所以點的軌跡方程為，圓心，半徑.根據(jù)圓的性質(zhì)，的最大值為圓心與圓心的距離加上兩個圓的半徑.圓心與圓心的距離為.所以的最大值為.則的最大值為.故選：C.6．（多選）（2025·廣西來賓·模擬預測）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為的中點，若，則的可能取值為（

）A． B． C． D．1【答案】AD【知識點】向量與幾何最值、軌跡問題——圓、數(shù)量積的坐標表示【分析】不妨設，，根據(jù)圖形關系求出點的軌跡方程，利用坐標法計算的取值范圍.【詳解】如圖，圓的方程為，由于圓的對稱性，不妨設，因，則，則，因，則點的軌跡為以為直徑的圓，且位于圓內(nèi)部，中點為，，則以為直徑的圓方程為，設，則，則，又與的交點坐標為，則，則，故AD正確，BC錯誤.故選：AD7．（2025·江蘇南京·二模）設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，點到直線的距離為，則的取值范圍為.【答案】【知識點】軌跡問題——圓、直線過定點問題、求點到直線的距離【分析】先分析兩條直線經(jīng)過的定點，得出的坐標，根據(jù)兩直線的位置關系分析可得的運動軌跡是挖去一點的圓，