專題圓錐曲線的軌跡問題內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)解讀內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)解讀題型突破限時(shí)訓(xùn)練熱點(diǎn)內(nèi)容解讀深度剖析解讀熱點(diǎn)：分析解讀熱點(diǎn)考查內(nèi)容，精準(zhǔn)預(yù)測(cè)命題方向。熱點(diǎn)題型突破逐一剖析解題歸納：對(duì)熱點(diǎn)的各類題型逐一突破，歸納解題方法與技巧。熱點(diǎn)限時(shí)訓(xùn)練模擬實(shí)戰(zhàn)鞏固提升：限時(shí)完成題目訓(xùn)練，提升解題能力。近三年：1、圓錐曲線的軌跡問題是近3年高考解析幾何部分的核心考查內(nèi)容，考查頻率高，題型綜合，難度中檔及以上，本質(zhì)是運(yùn)用代數(shù)手段刻畫幾何圖形。2、從近幾年高考命題來看，軌跡問題可分為兩類：一是直接求已知圓錐曲線的方程（如通過幾何性質(zhì)求橢圓、雙曲線方程）；二是求滿足特定條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。預(yù)測(cè)2026年：軌跡問題將繼續(xù)作為高考解析幾何解答題的命題重點(diǎn)。其考查將更加注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透和問題情境的構(gòu)建，復(fù)習(xí)中必須熟練掌握求軌跡方程的基本方法（直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法等），并強(qiáng)化運(yùn)算求解能力的訓(xùn)練，同時(shí)提升運(yùn)用數(shù)學(xué)思想（方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想）分析問題的能力。題型01求圓的軌跡方程解｜題｜策｜略定義法：根據(jù)圓的定義（通常有到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)、過定點(diǎn)的兩垂直直線的交點(diǎn)等），來判斷我們的軌跡是圓，然后根據(jù)圓心半徑等確定我們的軌跡方程。直接法：設(shè)我們要求的點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題目條件列出方程，化簡(jiǎn)整理可得我們的軌跡方程。1．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及圓的方程，可得答案.【詳解】設(shè)，，由為的中點(diǎn)，則，即，由點(diǎn)在圓上，則，即，化簡(jiǎn)可得.故選：D.2．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B為橢圓上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)且，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為H，則點(diǎn)H的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】若直線的斜率不存在時(shí)，則在軸上，設(shè)的坐標(biāo)為，求得；同理可得，若直線的斜率為零時(shí)，；若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，求得，由，列出方程，得到，再由直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而得到，即，結(jié)合圓的定義，即可求解.【詳解】若直線的斜率不存在時(shí)，則點(diǎn)在軸上，設(shè)的坐標(biāo)為，不妨設(shè)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在橢圓上，可得，解得，此時(shí)；同理可得，若直線的斜率為零時(shí)，；若直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，，設(shè)，則且，因?yàn)?，可得，則，所以，整理得，又由，可得過原點(diǎn)的直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即,則，綜上可得，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的一個(gè)圓，且該圓的方程為.故選：D.3．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，半徑為1的與半徑為2的內(nèi)切于點(diǎn)A，沿的圓弧無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周.若上一定點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)隨著的滾動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則（

）A．C是半徑為的圓 B．C是半徑為1的圓C．C是長(zhǎng)度為2的線段 D．C是長(zhǎng)度為4的線段【答案】D【分析】作圓運(yùn)動(dòng)后的某圓，設(shè)此時(shí)與圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到，通過題設(shè)運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系結(jié)合弧長(zhǎng)公式得到即可得到的軌跡求解.【詳解】圓運(yùn)動(dòng)到，設(shè)此時(shí)與圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到，易知，所以，所以，所以的軌跡為圓中過，的直徑，長(zhǎng)度為4．故選：D4．（2025·浙江·三模）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于動(dòng)直線l：的對(duì)稱點(diǎn)為A，則點(diǎn)A的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】先求出直線過的定點(diǎn)，再利用對(duì)稱性得，最后根據(jù)圓的定義即可判斷.【詳解】由得，所以直線l過定點(diǎn)，又由對(duì)稱性可知，，所以點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為，所以點(diǎn)A的軌跡為圓.故選：A．5．（2025·江蘇南通·三模）已知拋物線的方程為，直線與交于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別位于軸的上下兩側(cè)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).過拋物線的焦點(diǎn)向作垂線交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，則所在曲線的方程為，直線斜率的最大值為.【答案】（除去點(diǎn)）/【分析】根據(jù)即可求出直線過定點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合可知點(diǎn)的軌跡為圓即可寫出軌跡方程；最后根據(jù)圖形可判斷過原點(diǎn)的直線和點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)相切時(shí)，斜率最大，即可求出.【詳解】由題可設(shè)，，則，解得或者（不符合題意，舍），設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以，，故，故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)，又因?yàn)椋蓤A的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，因?yàn)?，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的軌跡方程為（除去點(diǎn)），過原點(diǎn)的直線和在第一象限內(nèi)相切時(shí)，斜率最大，所以直線斜率的最大值為.故答案為：（除去點(diǎn)）；.題型02定義法求軌跡方程解｜題｜策｜略根據(jù)圓錐曲線的三大定義來判斷軌跡是橢圓、雙曲線還說拋物線。圓錐曲線定義橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)2a（2a>|雙曲線定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（0<2a<|F1F2|拋物線定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離與到一條定直線（準(zhǔn)線l）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。圓錐曲線第二定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)F）的距離與到一條定直線（準(zhǔn)線l）的距離之比為一個(gè)常數(shù)e

（離心率）的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0<e<1時(shí)，軌跡為橢圓，當(dāng)

e圓錐曲線第三定義（橢圓與雙曲線）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A(?a,0),B(a,0)的連線的斜率之積為一個(gè)定值，表示為kAP1．（2025·山西臨汾·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓的定義，結(jié)合題意，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得的值，可得答案.【詳解】由題意可得動(dòng)點(diǎn)到與兩點(diǎn)的距離之和為，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，易知，，，即方程為.故選：C.2．（2025·北京海淀·二模）已知．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的定義即可得出答案.【詳解】∵，動(dòng)點(diǎn)滿足，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線且為右支，，，，∴的軌跡的方程為，故選：D.3．（多選）（2025·廣東汕頭·一模）已知復(fù)數(shù)，（x,），則下列結(jié)論正確的是（

）A．方程表示的z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓B．方程表示的z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓C．方程表示的z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線D．方程表示的z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是直線【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何表示知：對(duì)A，方程表示到定點(diǎn)的距離等于2的動(dòng)點(diǎn)軌跡，即圓，A正確；對(duì)B，方程表示到定點(diǎn)與距離的和為2的動(dòng)點(diǎn)軌跡，而與的距離也為2，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為線段，B錯(cuò)誤；對(duì)C，方程表示到定點(diǎn)與的距離的差為1的動(dòng)點(diǎn)軌跡，即雙曲線的一支，C錯(cuò)誤；對(duì)D，方程表示到定點(diǎn)與的距離相等的動(dòng)點(diǎn)軌跡，即線段的中垂線，D正確．故選：AD4．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩直線的斜率，直接由斜率之積列式化簡(jiǎn).【詳解】設(shè)，則由已知得，化簡(jiǎn)得.故選：C．5．（2025·遼寧鞍山·二模）如圖，圓與軸交于、兩點(diǎn)，、是分別過、的圓的切線，過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn)，記直線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出切線的方程，然后分別令求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出直線和直線的方程，聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)即可求出點(diǎn)的軌跡方程，要注意挖掉兩個(gè)不能取到的點(diǎn).【詳解】設(shè)點(diǎn)，當(dāng)圓心與切點(diǎn)所成直線的斜率不存在時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)時(shí)，易知以，所以此時(shí)點(diǎn)為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，即；當(dāng)圓心與切點(diǎn)所成直線的斜率存在時(shí)，則，因?yàn)?，所以切線的斜率為，又切線過點(diǎn)，所以切線的方程為，整理得，又點(diǎn)在圓上，所以，故切線的方程為.易知，在切線的方程中，令，則，令，則，所以，所以直線的斜率，直線的方程為，直線的斜率，直線的方程為，聯(lián)立直線和直線的方程，解得，所以點(diǎn)，又，所以點(diǎn)所滿足的方程為，因?yàn)榍芯€分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn)，所以切線不能為，即，且前述直線的斜率不存在時(shí)即也滿足上述方程，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.題型03幾何法求軌跡方程解｜題｜策｜略將題目中的幾何信息提取、分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是否滿足圓錐曲線的定義，從而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程1．（2025·四川成都·三模）已知?jiǎng)訄A與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析出，確定圓心M的軌跡為橢圓，求出，得到軌跡方程.【詳解】設(shè)圓圓心且與圓切于點(diǎn)P，圓圓心與圓切于點(diǎn)Q，由題意得：，，其中，所以，由橢圓定義可知：動(dòng)圓圓心C的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)，則，解得：，故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為.故選：A2．（多選）（2025·四川攀枝花·三模）圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】ABC【分析】由題設(shè)條件線段和垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圓錐曲線的定義，分類討論，即可求解.【詳解】（1）若為圓內(nèi)的一定點(diǎn)，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，可得，，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，①當(dāng)不重合時(shí)，根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)的軌跡是：以為焦點(diǎn)的橢圓；②當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心的圓；（2）若為圓外的一定點(diǎn)，為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，可得，，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差絕對(duì)值為定值，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡是：以為焦點(diǎn)的雙曲線；（3）若為圓上的一定點(diǎn)，為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是圓心.綜上可得即點(diǎn)的軌跡可能是點(diǎn)、圓、橢圓和雙曲線.故選：ABC3．（多選）（2025·遼寧大連·一模）在平面內(nèi)，存在定圓M和定點(diǎn)A，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PA的中垂線交直線PM于點(diǎn)Q，關(guān)于點(diǎn)Q軌跡敘述正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)A與圓心M重合時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為圓B．當(dāng)點(diǎn)A在圓M上時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為拋物線C．當(dāng)點(diǎn)A在圓M內(nèi)且不與圓心M重合時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為橢圓D．當(dāng)點(diǎn)A在圓M外時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為雙曲線【答案】ACD【分析】根據(jù)選項(xiàng)中點(diǎn)A的位置，分析判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)點(diǎn)A與圓M的圓心重合時(shí)，線段PA的中垂線與直線PM的交點(diǎn)Q，即Q為PM的中點(diǎn)，因此點(diǎn)Q的軌跡為圓，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)點(diǎn)A在圓M上時(shí)，PA的中垂線恒過圓心M，即點(diǎn)Q的軌跡為一個(gè)點(diǎn)M，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)A在圓M內(nèi)且非圓心時(shí)，，則（其中r為圓M的半徑），因此點(diǎn)Q的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，故C選項(xiàng)正確；

當(dāng)點(diǎn)A在圓M外時(shí)，，則或（其中r為圓M的半徑），因此點(diǎn)Q的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，故D正確.

故選：ACD．4．（2024·福建莆田·三模）已知圓，，P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線（點(diǎn)C是圓C的圓心）交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)判定即可.【詳解】由題意可得圓心，半徑.因?yàn)镸是線段的垂直平分線，所以，則.因?yàn)椋渣c(diǎn)M的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線.故選：C5．（2025·河南·三模）已知等腰三角形的頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，則另一個(gè)端點(diǎn)P的軌跡方程為；又，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)Q，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.【答案】（且）（且）【分析】根據(jù)等腰三角形的定義及兩點(diǎn)間距離公式可得所以，由圓的定義可知點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，10為半徑的圓（且），即可求解答題空1；根據(jù)線段垂直平分線定義可知.分點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上和點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上兩類討論，數(shù)形結(jié)合分析可得，結(jié)合雙曲線的定義即可求解動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，即可求解答題空2.【詳解】因?yàn)榈妊切蔚捻旤c(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，另一個(gè)端點(diǎn)為P，所以，故點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，10為半徑的圓（且），故點(diǎn)P的軌跡方程為（且）.因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)Q，所以.又，，所以點(diǎn)A在圓外，線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上.當(dāng)點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖所示.此時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖所示.此時(shí)，，綜上，，即動(dòng)點(diǎn)Q到兩個(gè)定點(diǎn)M與A的距離之差的絕對(duì)值為10.又，所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)和為焦點(diǎn)的雙曲線，其中，，所以，，，所以雙曲線方程為.當(dāng)點(diǎn)P為時(shí)，線段的垂直平分線的方程為，直線的方程為，直線與直線的交點(diǎn)為，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為（且）.故答案為：（且）；（且）.題型04直接法求軌跡方程解｜題｜策｜略直接法：直接法按下面4個(gè)步驟求軌跡方程。建系設(shè)點(diǎn)2、列出條件3、代入坐標(biāo)、整理得方程4、限制條件直接法求點(diǎn)的軌跡方程,在高考中有以下兩個(gè)命題角度:一種是明確給出等式,求軌跡方程;另一種是給出已知條件,尋找題設(shè)中的等量關(guān)系,求軌跡方程.1．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）已知兩條直線：，：，有一動(dòng)圓M與交于A，B兩點(diǎn)，與交于C，D兩點(diǎn)，且，，則圓心M的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】分別求得圓心到直線，的距離，由可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線：的距離為，圓心到直線：的距離為，又動(dòng)圓M與交于A，B兩點(diǎn)，與交于C，D兩點(diǎn)，且，，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以圓心M的軌跡為雙曲線，故選：2．（2025·遼寧沈陽·一模）已知平面直角坐標(biāo)系中不同的三點(diǎn)，圓心在y軸上的圓E經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出方程.【詳解】由圓心在y軸上的圓E經(jīng)過點(diǎn)，得線段為圓的直徑，而點(diǎn)在軸上，則，又，于是，而不重合，即，所以M點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D3．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，則點(diǎn)的軌跡方程為．

【答案】【分析】根據(jù)已知條件得到向量，然后用坐標(biāo)表示出來，根據(jù)線段的長(zhǎng)度即可求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，由題意，又，所以，即，所以，所以，所以曲線C的方程為.故答案為：.4．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第二象限．若四邊形（其中為原點(diǎn)）的面積為2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線距離公式以及四邊形的形狀和面積即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)，易知與互相垂直，又與直線垂直，與直線垂直，所以四邊形為矩形，如下圖所示：

依題意可知點(diǎn)在軸上方，即，且；因此，所以四邊形的面積為，即可得;所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：5．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，、分別為的重心、內(nèi)心，若軸，則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)和內(nèi)心的性質(zhì)，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線段平行軸，縱坐標(biāo)相等，列出坐標(biāo)的關(guān)系式，求出軌跡方程.【詳解】設(shè)，則重心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，又，所以，因?yàn)?，則，又，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.題型05相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程解｜題｜策｜略相關(guān)點(diǎn)法：題目給出了已知的曲線方程C，所求的動(dòng)點(diǎn)P跟這個(gè)已知曲線上的點(diǎn)M成一定的幾何關(guān)系。1、求誰設(shè)誰，設(shè)所求的點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)2、根據(jù)題目給出的條件，用點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)來表示出曲線上的點(diǎn)M3、將M點(diǎn)坐標(biāo)代入到曲線C方程中，整理可得P的軌跡方程。1．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A2．（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知曲線，從曲線上任意一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，且PN=13PP'，則點(diǎn)的軌跡方程為（

A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)，再代入已知曲線方程即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由軸于點(diǎn)，且，得，則，又點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，因此，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A3．（2025·江蘇·三模）已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A4．（2025·新疆·三模）長(zhǎng)為3的線段的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱的點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用中點(diǎn)求出的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解.【詳解】設(shè)依題意有，即，所以，即，所以，故選：D.5．（2025·甘肅金昌·模擬預(yù)測(cè)）過直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的重心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，，的重心為，通過求導(dǎo)確定的方程.的方程為，再結(jié)合重心坐標(biāo)公式得到，即可求解.【詳解】設(shè)，，，的重心為，的方程為，對(duì)求導(dǎo)可得.故，的方程為，將，代入的方程化簡(jiǎn)得.同理的方程為，兩方程聯(lián)立解得，.，則，，故的重心的軌跡方程為.故選：C.題型06參數(shù)法、交軌法求軌跡方程解｜題｜策｜略參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找x、y與某一參數(shù)k得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。1．（2025·遼寧·一模）已知雙曲線，作垂直于x軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，作垂直于y軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，且，兩垂線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目條件建立方程化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】設(shè)，則，則由得：，化簡(jiǎn)得：，即點(diǎn)的軌跡是，故選：C2．（2025·安徽馬鞍山·一模）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線C右支上的點(diǎn)反射，若反射光線垂直于直線，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；過雙曲線右支上任一點(diǎn)（異于右頂點(diǎn)）作其切線l，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作l的垂線，與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】，【分析】設(shè)，根據(jù)，可得，從而可求出，法1：求出在處切線的方程及斜率，進(jìn)而可求出過原點(diǎn)且垂直的方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)用這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)表示，代入雙曲線方程即可得解；法2：過作平行于，求出，其他同方法1.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，解得，解?：在處切線斜率為，設(shè)直線n過原點(diǎn)O且，則的方程：，與交于，聯(lián)立得，，代入得，又在雙曲線右支上（異于頂點(diǎn)），則，所以，綜上點(diǎn)的軌跡方程為，．解法2：過作平行于，由題易得，因?yàn)?，且，，所以，所以，所以在以為圓心半徑為1的圓上，其他同解法1．故答案為：；，.3．（2025·浙江麗水·一模）已知是橢圓上的兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)之和為，設(shè)直線為線段的中垂線，過點(diǎn)作直線，垂足為．求垂足橫坐標(biāo)的取值范圍，并求的軌跡方程．【答案】(1)；(2)，且.【分析】（1）根據(jù)橢圓上兩點(diǎn)代入方程求解的值即可得橢圓方程；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，分別討論直線的斜率是否存在，當(dāng)斜率存在時(shí)確定直線的方程與直線聯(lián)立得橫坐標(biāo)與的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)得的取值范圍，結(jié)合圓的定義從而得的軌跡方程.【詳解】（1）由題意解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，則，，①當(dāng)時(shí)，的中垂線為軸，過點(diǎn)向中垂線作垂線，垂足為點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則，所以，將代入橢圓方程得，所以，從而或，線段的中垂線方程為，即．故線段的中垂線過定點(diǎn)故垂足軌跡是在以為圓心，半徑為的圓弧，其方程為過點(diǎn)與垂直的直線為，聯(lián)立方程組消去得，因?yàn)?，所以，綜上①，②所得所以垂足軌跡方程是，且．（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）已知過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，當(dāng)不重合時(shí)，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，利用垂直建立方程求解即可得解，當(dāng)重合時(shí)，代入檢驗(yàn)即可.【詳解】由直線過點(diǎn)，圓可知，圓心為，設(shè)點(diǎn)，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，，則，整理得，即，此時(shí)點(diǎn)的軌跡為圓但不包括點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，其坐標(biāo)滿足方程.綜上，點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：2．（2025·廣東揭陽·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸，y軸的距離之和為2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出距離代數(shù)式，列出方程，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，使用三角函數(shù)替換點(diǎn)橫縱坐標(biāo)，根據(jù)角的范圍，求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，不妨令，取，，其中，，則，故，由可知，故，的取值范圍是.故選：B.3．（2025·河北保定·一模）已知直線，點(diǎn)到的距離之積為，記點(diǎn)的軌跡為曲線，若與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出，根據(jù)題干列出等式，求出軌跡方程，再根據(jù)與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，求出參數(shù)a的范圍.【詳解】設(shè)，由題意得，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡為兩個(gè)雙曲線.雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為1，雙曲線1的實(shí)半軸長(zhǎng)為3，由，得0），表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的上半圓，若曲線與半圓有四個(gè)交點(diǎn)，則3，即.故選：B.

4．（多選）（2025·云南昭通·一模）已知，，，動(dòng)點(diǎn)滿足MA與MB的斜率之積為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的軌跡方程為（）B．的最大值為3C．的最小值為D．過點(diǎn)的直線垂直AC交曲線于，，則的周長(zhǎng)為8【答案】ABD【分析】設(shè)，根據(jù)題意列出方程即可判斷A；根據(jù)橢圓得范圍結(jié)合兩點(diǎn)間得距離公式即可判斷B；分直線斜率是否存在兩種情況討論，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再利用弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式即可判斷C；易得為橢圓的上，下焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓的定義即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：設(shè)，則，整理得，所以的軌跡方程為（），故A正確；對(duì)于B：，故，故當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，綜上所述，的最小值為3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在中，，則，故為正三角形，則垂直平分，則，由題意為橢圓的上，下焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為，故D正確.故選：ABD.5．（2025·黑龍江遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，得到圓心到直線的距離恰好為，求得，設(shè)，得到，代入方程，即可得到點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由圓，可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則滿足圓心到直線的距離恰好為，即，即，設(shè)，則，代入，可得，整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A.6．（24-25高三上·遼寧·期末）已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連接，由條件判斷且為中點(diǎn)，利用中位線性質(zhì)得且，從而利用雙曲線的定義得點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，進(jìn)而利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解軌跡方程即可.【詳解】由題意知，圓的半徑，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且，所以，且為中點(diǎn)，所以，且，因此，，所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，設(shè)的方程為，可知，所以，又，則，所以的方程為，即，又點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，所以，即，故所求軌跡方程為.故選：B7．（24-25高二上·海南·階段練習(xí)）已知圓：，點(diǎn)，點(diǎn).點(diǎn)P是圓O上異于，的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，則，根據(jù)可得，代入即可求解.【詳解】設(shè)，，則，所以，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樵趫A上，所以，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：.8．（多選）（2025·遼寧·一模）已知點(diǎn)Q在圓上，，動(dòng)點(diǎn)滿足：在中，．則（

）A．記的軌跡方程為軌跡： B．的最大值為C．的最小值是 D．（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為7【答案】ACD【分析】根據(jù)題意作出示意圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出，即可建立方程，求得的軌跡方程，判斷A選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)在一象限，化簡(jiǎn)，由基本不等式求得的最值，從而得到角的范圍，判斷B選項(xiàng)；由拋物線的性質(zhì)化簡(jiǎn)得，由