培優(yōu)點(diǎn)06概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）名目題型歸納 1題型01概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題 1題型02概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題 9【考情分析】概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性增加，難度加深，主要考查同學(xué)的閱讀理解力量和數(shù)據(jù)分析力量．要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過(guò)閱讀分析推斷獵取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、各大事間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解．【核心題型】考點(diǎn)一：概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題規(guī)律方法概率問(wèn)題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類型：(1)求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后依據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項(xiàng)公式．(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和．(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，爭(zhēng)辯單調(diào)性、最值或求極限．【例題1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．，B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．的數(shù)學(xué)期望【答案】B【分析】依據(jù)給定條件，求出遞推公式，再逐項(xiàng)計(jì)算推斷作答.【詳解】依題意，，且，，于是，，A正確；明顯，數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；又，即有，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，C正確；明顯，因此，D正確.故選：B【變式1】（多選）（2025·福建泉州·三模）某商場(chǎng)設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個(gè)盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個(gè)玩家只能用一個(gè)賬號(hào)登錄，且每次只能隨機(jī)選擇一個(gè)開(kāi)啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，從其次次抽盲盒開(kāi)頭，若前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，則（

）A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．當(dāng)時(shí)，越大，越小【答案】ABC【分析】記玩家第次抽盲盒并抽中獎(jiǎng)品為大事，依題意，，，，利用全概率公式可推斷A選項(xiàng)；利用全概率公式推出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可推斷B選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可推斷C選項(xiàng)；利用數(shù)列的單調(diào)性可推斷D選項(xiàng).【詳解】記玩家第次抽盲盒并抽中獎(jiǎng)品為大事，依題意，，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，，所以，，又由于，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則隨著的增大而減小，所以，.綜上所述，對(duì)任意的，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，則數(shù)列為搖擺數(shù)列，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法：（1）當(dāng)消滅時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；（2）當(dāng)消滅時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；（3）當(dāng)消滅時(shí)，用累加法求解；（4）當(dāng)消滅時(shí)，用累乘法求解.【變式2】（22-23高三上·福建漳州·階段練習(xí)）漳州是福建省重點(diǎn)城市，它不僅有著深厚的歷史.積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多旅游景點(diǎn)，每年來(lái)漳州參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù)，其中八卦樓與古城被稱為兩張名片.為合理配置旅游資源，現(xiàn)對(duì)已巡游八卦樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，若不游玩古城記1分，若連續(xù)游玩古城記2分，每位游客選擇是否巡游古城景點(diǎn)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.(1)從游客中隨機(jī)抽取3人，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列；(2)（?。┤魪挠慰椭须S機(jī)抽取人，記總得分恰為的概率為，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；（ⅱ）在對(duì)全部游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查過(guò)程中，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）與的關(guān)系見(jiàn)解析，，.【分析】（1）的可能取值為3，4，5，6，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，列出分布列；（2）（?。┯深}意可得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即得解；（ⅱ）可得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求解即可.【詳解】（1）的可能取值為3，4，5，6.，，，.所以的分布列為3456（2）（ⅰ）總得分恰為的概率，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，前10項(xiàng)和.（ⅱ）已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為的概率為，當(dāng)時(shí)，得不到分的狀況只有先得分，再得2分，概率為，所以，即，所以.由于，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.【變式3】（2025·上海寶山·一模）甲乙兩人輪番擲質(zhì)地均勻的骰子，每人每次擲兩顆．(1)甲擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)不同的概率；(2)甲乙各擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大的概率；(3)若第一次擲出點(diǎn)數(shù)之和大于的人為勝者，同時(shí)競(jìng)賽結(jié)束；否則，由另一人連續(xù)投擲，直到競(jìng)賽結(jié)束.例如，甲乙先后輪番擲出的點(diǎn)數(shù)之和為：、、、，此時(shí)乙為勝者.設(shè)甲先投擲，求甲最終獲勝的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）計(jì)算兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相等的概率即可得到兩顆骰子點(diǎn)數(shù)不同的概率.（2）設(shè)擲一次兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為，則，求出所對(duì)應(yīng)的概率，再由相互獨(dú)立大事及互斥大事的概率公式計(jì)算可得結(jié)果.（3）由（2）可知擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為，分析可得甲第輪獲勝的概率為，由無(wú)窮等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）甲擲一次，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相等的概率為

所以兩顆骰子點(diǎn)數(shù)不同的概率為.（2）甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)的情形如下表：所以.

另解：設(shè)擲一次兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為，則.則；；；；；.

所以甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大7點(diǎn)的概率為.（3）由（2）可知擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為.

若甲第一輪獲勝，概率為；若甲其次輪獲勝，即第一輪投擲后兩人的點(diǎn)數(shù)和都不大于，概率為；若甲第三輪獲勝，即前兩輪投擲后兩人的點(diǎn)數(shù)和都不大于，概率為；

由以上可得，若甲第輪獲勝，即前輪投擲后兩人的點(diǎn)數(shù)和都不大于，概率為；

于是，組成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的無(wú)窮等比數(shù)列.由于，所以甲最終獲勝的總概率為考點(diǎn)二:概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題規(guī)律方法構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)，要留意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對(duì)變量范圍的限制．【例題2】（多選）（22-23高二下·湖南·期末）乒乓球，被稱為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目，包括進(jìn)攻、對(duì)抗和防守.某乒乓球協(xié)會(huì)組織職工競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)章接受五局三勝制，當(dāng)參賽選手甲和乙兩位中有一位贏得三局競(jìng)賽時(shí)，就由該選手晉級(jí)且競(jìng)賽結(jié)束.每局競(jìng)賽皆須分出勝敗，且每局競(jìng)賽的勝敗相互獨(dú)立.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，有選手晉級(jí)所需要競(jìng)賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，則（

）A．打滿五局的概率為B．的常數(shù)項(xiàng)為3C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．【答案】ABD【分析】設(shè)實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為，得到的可能取值為，求得，可判定A正確；由，可判定B正確；求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，可判定C錯(cuò)誤；由，可判定D正確.【詳解】設(shè)實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為，可得，，，因此打滿五局的概率為，故A正確；由，常數(shù)項(xiàng)為3，故B正確；由，由于，所以，令，則；令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；又由，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：隨機(jī)變量的期望與方差的決策問(wèn)題的求解策略：1、求離散型隨機(jī)變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的全部可能取值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用期望、方差公式進(jìn)行計(jì)算；2、要留意觀看隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬于二項(xiàng)分布，可用二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算公式計(jì)算，則更為簡(jiǎn)潔；3、在實(shí)際問(wèn)題中，若兩個(gè)隨機(jī)變量，有或比較接近時(shí)，就用與來(lái)比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度，即一般地期望最大（或最?。┑姆桨缸顬樽顑?yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最?。ㄗ畲螅┑姆桨缸鳛樽顑?yōu)方案，同時(shí)比較的解答中，屬于函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等學(xué)問(wèn)的綜合應(yīng)用.【變式1】（2025·浙江·一模）混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問(wèn)題，消滅的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的全部人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中至少有一人為陽(yáng)性．假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為．目前，我們接受K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個(gè)人中患病毒的人數(shù)．(1)證明：；(2)若，．證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中或許率恰有一人為陽(yáng)性．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由均值的性質(zhì)及基本不等式即可證明.（2）由二項(xiàng)分布的概率及條件概率化簡(jiǎn)即可證明.【詳解】（1）由題意可得滿足二項(xiàng)分布，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）記（混管中恰有1例陽(yáng)性|混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性），（混管中恰有i例陽(yáng)性）=，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當(dāng)，即，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，所以當(dāng)，時(shí)，所以，則．故某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中或許率恰有一人為陽(yáng)性.【變式2】（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）某愛(ài)好小組利用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題．(1)現(xiàn)有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚(yú)，其中紅鯉魚(yú)有4條．若愛(ài)好小組捉取3次，每次從甲池塘中有放回地捉取一條魚(yú)記錄相關(guān)數(shù)據(jù)．用X表示其中捉取到紅鯉魚(yú)的條數(shù)，請(qǐng)寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．(2)現(xiàn)有乙池塘，已知池塘中有外形大小相同的紅鯉魚(yú)與黑鯉魚(yú)共10條，其中紅鯉魚(yú)有條，身為愛(ài)好小組隊(duì)長(zhǎng)的駱同學(xué)每次從池塘中捉了1條魚(yú)，做好記錄后放回池塘，設(shè)大事A為“從池塘中捉取魚(yú)3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚(yú)”．當(dāng)時(shí)，大事A發(fā)生的概率最大，求的值．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）依據(jù)已知條件求出每次捉到紅鯉魚(yú)的概率，，依據(jù)二項(xiàng)分布的公式可以求出分布列期望.（2）依據(jù)已知條件求出的表達(dá)式，求導(dǎo)推斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值，結(jié)合且，比較，大小確定值.【詳解】（1）由題可得：，，，，可得：每次捉到紅鯉魚(yú)的概率為．易知，；；；．分布列如表所示：X0123所以．（2）每次捉魚(yú)，捉到紅鯉魚(yú)的概率為，則捉到黑鯉魚(yú)的概率為．所以，其中且，令，則，解得或，故在上，為增函數(shù)，在上，為減函數(shù)，所以．又由于且，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上所述：大事A發(fā)生的概率最大時(shí).【變式3】（2025高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）某種病毒存在人與人之間的傳染，可以通過(guò)與患者的親密接觸進(jìn)行傳染．我們把與患者有過(guò)親密接觸的人群稱為親密接觸者，每位親密接觸者被感染后即被稱為患者．已知每位親密接觸者在接觸一個(gè)患者后被感染的概率為，某位患者在隔離之前，每天有位親密接觸者，其中被感染的人數(shù)為，假設(shè)每位親密接觸者不再接觸其他患者．(1)求一天內(nèi)被感染的人數(shù)X的概率與的關(guān)系式和的均值；(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無(wú)任何癥狀，為病毒傳播的最佳時(shí)間，設(shè)每位患者在被感染后的第2天又有位親密接觸者，從某一名患者被感染按第1天算起，第n天新增患者的均值記為．①求數(shù)列{En}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{En}為等比數(shù)列；②若戴口罩能降低每位親密接觸者患病概率，降低后的患病概率，當(dāng)p′取最大值時(shí)，計(jì)算此時(shí)p′所對(duì)應(yīng)的E6′值和此時(shí)p對(duì)應(yīng)的E6值，并依據(jù)計(jì)算結(jié)果說(shuō)明戴口罩的必要性．（取a＝10）（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，其中，所以.(2)①證明見(jiàn)解析；②答案見(jiàn)解析【分析】（1）依據(jù)題意，得到被感染人數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率和期望的計(jì)算公式，即可求解；（2）①由第天被感染的人數(shù)為，第天被感染的人數(shù)為，從而得到，得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；②令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，進(jìn)而求得，，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意知，給感染的人之間是相互獨(dú)立的，可得被感染人數(shù)，則，其中，所以.（2）解：①第天被感染的人數(shù)為，第天被感染的人數(shù)為，由均值的定義可知，，則，且，所以，當(dāng)時(shí)，表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.②令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，由于當(dāng)時(shí)，，所以，，又由于遠(yuǎn)大于，所以戴口罩很有必要.【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題1．（2025·陜西西安·一模）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，先從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，是質(zhì)數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)遞推公式寫出前12項(xiàng)，找出質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，利用古典概型求概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系可知，前12項(xiàng)分別為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以基本大事數(shù)共有12，其中質(zhì)數(shù)有2，3，5，13，89，共5種，故是質(zhì)數(shù)的概率為.故選：A.2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知都是定義在R上的函數(shù)，，，，在有窮數(shù)列中，任意取前k項(xiàng)相加，則前k項(xiàng)和大于的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性結(jié)合確定，從而得到，求出其前n項(xiàng)和，由古典概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，故單調(diào)遞減，所以．又，解得，則數(shù)列，其前n項(xiàng)和，由于，所以，故．故答案為：B3．（20-21高三上·湖南·階段練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（COVID－19）疫情爆發(fā)以來(lái)，中國(guó)人民萬(wàn)眾一心，取得了抗疫斗爭(zhēng)的初步成功.面對(duì)秋冬季新冠肺炎疫情反彈風(fēng)險(xiǎn)，某地防疫防控部門打算進(jìn)行全面入戶排查，過(guò)程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎親密接觸者，按要求進(jìn)一步對(duì)該5名成員逐一進(jìn)行核酸檢測(cè).若任一成員消滅陽(yáng)性，則該家庭定義為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性相互獨(dú)立，且概率均為p(0＜p＜1).該家庭至少檢測(cè)了4人才能確定為“感染高危戶”的概率為f(p)，當(dāng)p＝p0時(shí)，f(p)最大，此時(shí)p0＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由獨(dú)立大事的概率公式結(jié)合分類加法可得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性后即可得解.【詳解】由題意可知：該家庭至少檢測(cè)了4人才能確定為“感染高危戶”，則前3人檢測(cè)為陰性，第4人為陽(yáng)性或前4人檢測(cè)陰性，第5人為陽(yáng)性.，則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)在上遞增，在上遞減，時(shí)最大，即故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是將獨(dú)立大事的概率合理結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，保證運(yùn)算的精確?????是關(guān)鍵.4．（2025·上海浦東新·三模）有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個(gè)，黑球.甲、乙兩人商定一種玩耍規(guī)章如下：第一局中兩人輪番摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從其次局起，上一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第局甲獲勝的概率為，則關(guān)于以下兩個(gè)命題推斷正確的是（

）①，且；②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9，則不小于1992.A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題【答案】A【分析】分別計(jì)算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得，從而求得，由于第局甲獲勝包括兩種狀況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，可得，利用數(shù)列求通項(xiàng)公式的構(gòu)造法，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求出，解不等式即可求解.【詳解】第一局：摸1次甲獲勝概率為：，摸3次甲獲勝概率為：，摸5次甲獲勝概率：，摸7次甲獲勝概率：，，摸次甲獲勝概率：，所以，所以，第局甲獲勝包括兩種狀況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，則，故①正確；由，設(shè)，解得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，所以，即，即，即，即，則，即，解得，所以不小于1992，所以②正確.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得其概率是等比數(shù)列，從而得到，利用數(shù)列求和和極限的學(xué)問(wèn)進(jìn)行求解.二、多選題5．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）乒乓球，被稱為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目，是推動(dòng)外交的體育項(xiàng)目，被譽(yù)為“小球推動(dòng)大球”.某次乒乓球競(jìng)賽接受五局三勝制，當(dāng)參賽甲，乙兩位中有一位贏得三局競(jìng)賽時(shí)，就由該選手晉級(jí)而競(jìng)賽結(jié)束.每局競(jìng)賽皆須分出勝敗，且每局競(jìng)賽的勝敗不受之前競(jìng)賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．三局就結(jié)束競(jìng)賽的概率為 B．的常數(shù)項(xiàng)為3C． D．【答案】BCD【分析】依據(jù)給定條件，求出競(jìng)賽局?jǐn)?shù)分別取3，4，5時(shí)的概率，進(jìn)而求出，再逐項(xiàng)推斷得解.【詳解】設(shè)實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為，則，，，因此三局就結(jié)束競(jìng)賽的概率為，A錯(cuò)誤；于是，由，則常數(shù)項(xiàng)為3，B正確；，C正確；求導(dǎo)得，由，得，令，解得；令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，因此關(guān)于對(duì)稱，，D正確.故選：BCD6．（2025·黑龍江大慶·一模）某學(xué)校足球社團(tuán)進(jìn)行傳球訓(xùn)練，甲?乙?丙三名成員為一組，訓(xùn)練內(nèi)容是從某人開(kāi)頭隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人.現(xiàn)假定每次傳球都能被接到，開(kāi)頭傳球的人為第一次觸球者，記第次觸球者是甲的概率為.已知甲為本次訓(xùn)練的第一次觸球者，即，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】與能直接進(jìn)行求解；項(xiàng)分析出要想第次觸球者是甲，則第次觸球的不能是甲，且第次觸球的人，有12的概率將球傳給甲，從而求出遞推公式；項(xiàng)在項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出通項(xiàng)公式，計(jì)算出，比較出，從而推斷求解.【詳解】：甲傳球給乙或丙，故，故正確；：乙或丙傳球給其他兩個(gè)人，故，故錯(cuò)誤；、：由題意得：要想第次觸球者是甲，則第次觸球的不能是甲，且第次觸球的人，有12的概率將球傳給甲，故，則，故C正確；由于，設(shè)，解得：，所以由于，所以是以23為首項(xiàng)，公比是的等比數(shù)列，故，所以，故，則，故，故正確.故選：．【點(diǎn)睛】概率與數(shù)列結(jié)合的題目，要能分析出遞推關(guān)系，通過(guò)遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式，這是解題的關(guān)鍵.三、填空題7．（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）若袋子中有大小且外形完全相同的黑球個(gè)，白球個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，表示抽到2個(gè)黑球1個(gè)白球的概率，則取得最大值時(shí)．【答案】【分析】依據(jù)題意表示出，進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)爭(zhēng)辯最值即可.【詳解】由題意，，，，設(shè)函數(shù)，則，令，即，解得，，易知，，因此，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；又，且，，，則，因此，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)取最大值；故答案為：8．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）小王和爸爸玩卡片玩耍，小王拿有2張標(biāo)有A和1張標(biāo)有B的卡片，爸爸有3張標(biāo)有B的卡片，現(xiàn)兩人各隨機(jī)取一張交換，重復(fù)n次這樣的操作，記小王和爸爸每人各有一張A卡片的概率記為，則，．【答案】；.【分析】記n次這樣的操作小王恰有一張A卡片的概率為，有兩張A卡片的概率為，依據(jù)題設(shè)條件寫出與的遞推關(guān)系，進(jìn)而得到，依據(jù)等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng).【詳解】記n次這樣的操作小王恰有一張A卡片的概率為，有兩張A卡片的概率為，則，，有，而，重復(fù)n次這樣的操作，，所以，又，所以．故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)已知條件得到與的遞推關(guān)系為關(guān)鍵.四、解答題9．（2025·廣東佛山·一模）ACE球是指在網(wǎng)球?qū)种?，一方發(fā)球，球落在有效區(qū)內(nèi)，但接球方卻沒(méi)有觸及到球而使發(fā)球方直接得分的發(fā)球．甲、乙兩人進(jìn)行發(fā)球訓(xùn)練，規(guī)章如下：每次由其中一人發(fā)球，若發(fā)出ACE球，則換人發(fā)球，若未發(fā)出ACE球，則兩人等可能地獲得下一次發(fā)球權(quán)．設(shè)甲，乙發(fā)出ACE球的概率均為，記“第次發(fā)球的人是甲”．(1)證明：；(2)若，，求和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2),【分析】（1）依據(jù)條件概率的意義可證明；（2）利用（1）中的結(jié)果可求，結(jié)合全概率公式可得，利用構(gòu)造法可求.【詳解】（1）若第次為甲發(fā)球的條件下第次還是甲發(fā)球，則第次甲沒(méi)有發(fā)出ACE球，故此時(shí)，若第次不是甲發(fā)球的條件下第次是甲發(fā)球，（1）乙發(fā)ACE球，則第次是甲發(fā)球；（2）乙沒(méi)有發(fā)出ACE球，則有的概率第次是甲發(fā)球；故，故.（2），,故，所以即，所以，故而，故為等比數(shù)列，故即.10．（24-25高三上·四川自貢·期中）某學(xué)校為豐富同學(xué)活動(dòng)，樂(lè)觀開(kāi)展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概率為，前一局贏后下一局連續(xù)贏的概率為，前一局輸后下一局贏的概率為，如此重復(fù)進(jìn)行.(1)求乙同學(xué)第2局贏的概率；(2)記甲同學(xué)第i局贏的概率為；（ⅰ）求（ⅱ）若存在i，使成立，求整數(shù)k的最小值．【答案】(1)(2)（?。?；（2）．【分析】（1）依據(jù)獨(dú)立大事概率公式和互斥大事概率公式計(jì)算出甲同學(xué)第2局贏的概率，再由對(duì)立大事概率公式計(jì)算；（2）（?。┮罁?jù)獨(dú)立大事概率公式和互斥大事概率公式計(jì)算；（ⅱ）依據(jù)獨(dú)立大事概率公式和互斥大事概率公式確定與的關(guān)系，，構(gòu)造等比數(shù)列得出，不等式化為，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值為，再由函數(shù)單調(diào)性對(duì)進(jìn)行估值，從而得出的最小整數(shù)值．【詳解】（1）由題意甲第2局贏的概率為，所以乙贏的概率為；（2）（?。┯梢阎獣r(shí)，，所以，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，所以；（ⅱ）即，令，則，易知是減函數(shù)，，所以時(shí)，，遞減，明顯，因此要求的最大值，即求的最小值，又，為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，且在為偶數(shù)時(shí)，是單調(diào)遞增的，所以是中的最小值，，所以，又在上是減函數(shù)，所以，而，（∵），所以，所以滿足的整數(shù)的最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：重復(fù)進(jìn)行的概率問(wèn)題，一般都要通過(guò)獨(dú)立大事的概率公式、互斥大事概率公式等確定概率的遞推關(guān)系，然后構(gòu)造新的等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得出表達(dá)式．11．（2025·福建·模擬猜測(cè)）為慶祝祖國(guó)周年華誕，某商場(chǎng)打算在國(guó)慶期間進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)．盒中裝有個(gè)除顏色外均相同的小球，其中個(gè)是紅球，個(gè)是黃球．每位顧客均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)時(shí)從盒中隨機(jī)取出球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“特等獎(jiǎng)”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“參與獎(jiǎng)”，并將該球放回盒中．(1)在第2位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第1位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率；(2)記為第個(gè)顧客參與后后來(lái)參與的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”的概率，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)大事為第個(gè)顧客參與時(shí)獲得最終一個(gè)“特等獎(jiǎng)”，要使發(fā)生概率最大，求的值．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）利用條件概率公式計(jì)算；（2）將個(gè)顧客參與后后來(lái)的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”轉(zhuǎn)化為最終一位顧客中“特等獎(jiǎng)”，前位顧客中有一位中“特等獎(jiǎng)”，然后結(jié)合等比數(shù)列求和公式計(jì)算概率；（3）依據(jù)概率最大列不等式，然后解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)第位顧客中“特等獎(jiǎng)”為大事，第位顧客中“參與獎(jiǎng)”為大事，，，故，所以在第位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率為.（2）由題意得，個(gè)顧客參與后后來(lái)的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”表示最終一位顧客中“特等獎(jiǎng)”，前位顧客中有一位中“特等獎(jiǎng)”，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（3）設(shè)第個(gè)顧客參與時(shí)拿下最終一個(gè)“特等獎(jiǎng)”的概率最大，則概率，要使最大，即使最大，所以，即，化簡(jiǎn)得，且，又在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，綜上所述，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（2）的解題關(guān)鍵在于將個(gè)顧客參與后后來(lái)的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”轉(zhuǎn)化為最終一位顧客中“特等獎(jiǎng)”，前位顧客中有一位中“特等獎(jiǎng)”，然后求概率.12．（24-25高三上·湖北·期末）某商家推出一個(gè)活動(dòng)：將n件價(jià)值各不相同的產(chǎn)品依次呈現(xiàn)在參與者面前，參與者可以選擇當(dāng)前呈現(xiàn)的這件產(chǎn)品，也可以不選擇這件產(chǎn)品，若選擇這件產(chǎn)品，該活動(dòng)馬上結(jié)束；若不選擇這件產(chǎn)品，則看下一件產(chǎn)品，以此類推，整個(gè)過(guò)程參與者只能連續(xù)前進(jìn)，不能返回，直至結(jié)束．同學(xué)甲認(rèn)為最好的肯定留在最終，打算始終選擇最終一件，設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為；同學(xué)乙接受了如下策略：不取前件產(chǎn)品，自第件開(kāi)頭，只要發(fā)覺(jué)比他前面見(jiàn)過(guò)的每一個(gè)產(chǎn)品的價(jià)值都大，就選擇這件產(chǎn)品，否則就取最終一件，設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為．(1)若，求和；(2)若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第件（），求；(3)當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度（即），求的最大值及取最大值時(shí)的值．（取）【答案】(1)，(2)(3)的最大值為，此時(shí)【分析】（1）依據(jù)題意直接求，依據(jù)同學(xué)乙的選法規(guī)章，結(jié)合排列問(wèn)題，即可求解；（2）依據(jù)題意，結(jié)合排列，組合問(wèn)題，以及古典概型概率公式，即可求解；（3）依據(jù)（2）的結(jié)果，以及全概率公式求，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】（1）由題意可知，，依題意，4個(gè)產(chǎn)品的位置從第一個(gè)到第4個(gè)排序，有種狀況，同學(xué)乙要取最貴價(jià)值產(chǎn)品，有以下兩種狀況：最貴價(jià)值產(chǎn)品是第3個(gè)，其它的任憑在哪個(gè)位置，有種狀況；最貴價(jià)值產(chǎn)品是第4個(gè)，其次貴價(jià)值產(chǎn)品是第1個(gè)或第2個(gè)，其它的任憑在哪個(gè)位置，有種狀況，所以所求概率（2）法一：若考慮全部產(chǎn)品排序，價(jià)值最大的產(chǎn)品是第件，共有種排法，先從件產(chǎn)品中挑件產(chǎn)品出來(lái)，其中價(jià)值最大的產(chǎn)品放在前，剩下的全排列，