大題06新定義題型繼2025年九省聯(lián)考的第19題考查了新定義問題，已有部分地區(qū)考試接受了該結(jié)構(gòu)考試。2025年的新高考試卷第19題極大可能也會考查新定義問題，難度較大。新定義題型內(nèi)容新穎，題目中經(jīng)常伴隨有“定義”“規(guī)定”等字眼，題目一般使用抽象的語言給出新定義、運算或符號，沒有過多的解釋說明，要求考生自己認真揣摩、體會和理解定義的含義，在閱讀新定義要求后馬上運用它解決相關(guān)問題，考查考生的理解與運算、信息遷移的力量。題型一：集合的新定義問題（2025·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬猜測）已知集合中含有三個元素，同時滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，對于集合的非空子集，若中存在三個互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期盼子集”.（1）試推斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期盼子集”；（3）證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期盼子集”.集合新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡潔的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，假如能清楚描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)覺新信息與所學(xué)學(xué)問的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）假如新信息是課本學(xué)問的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么狀況下可以使用書上的概念.1．（2025·北京·北京四中?？寄M猜測）已知集合，若集合，且對任意的，存在，，使得（其中），則稱集合為集合的一個元基底．（1）分別推斷下列集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由；①，；②，．（2）若集合是集合的一個元基底，證明：；（3）若集合為集合的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當(dāng)取最小值時的一個基底．2．（2025·北京海淀·高三人大附中?？奸_學(xué)考試）設(shè)為正整數(shù)，集合.任取集合A中的個元素（可以重復(fù)），，，，其中.（1）若，，直接寫出；（2）對于，，，證明：；（3）對于某個正整數(shù)，若集合A滿足：對于A中任意個元素，都有，則稱集合A具有性質(zhì).證明：若，集合A具有性質(zhì)，則，集合A都具有性質(zhì).題型二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的新定義問題（2025·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).（1）若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；（2）若，推斷在區(qū)間上的零點個數(shù).函數(shù)新定義問題，命題新穎，經(jīng)?？紤]函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性，值域等，且存在學(xué)問點交叉，會和導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列等學(xué)問進行結(jié)合，很好的考慮了學(xué)問遷移，綜合運用力量，對于此類問題，肯定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為生疏的問題來進行解決。1．（2025·上海浦東新·統(tǒng)考二模）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點，曲線是函數(shù)的圖象．若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點”．（1）推斷點與點是否為函數(shù)的1度點，不需要說明理由；（2）已知，．證明：點是的0度點；（3）求函數(shù)的全體2度點構(gòu)成的集合．2．（2025·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.（1）若，推斷是否為上的“3類函數(shù)”；（2）若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.題型三：復(fù)數(shù)與不等式的新定義問題（2025·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)M是由復(fù)數(shù)組成的集合，對M的一個子集A，若存在復(fù)平面上的一個圓，使得A的全部數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點都在圓內(nèi)或圓周上，且中的數(shù)對應(yīng)的點都在圓外，則稱A是一個M的“可分別子集”．（1）推斷是否是的“可分別子集”，并說明理由；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，其中分別表示z的實部和虛部．證明：是的“可分別子集”當(dāng)且僅當(dāng)．新定義題型的特點是:通過給出一個新概念，或商定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目供應(yīng)的信息，聯(lián)系所學(xué)的學(xué)問和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到機敏解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)急躁讀題，分析新定義的特點，弄清爽定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.1．（2025·湖南邵陽·高三邵陽市其次中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)是一個關(guān)于復(fù)數(shù)z的表達式，若（其中x，y，，為虛數(shù)單位），就稱f將點“f對應(yīng)”到點．例如將點“f對應(yīng)”到點．（1）若點“f對應(yīng)”到點，點“f對應(yīng)”到點，求點、的坐標(biāo)；（2）設(shè)常數(shù)，，若直線l：，，是否存在一個有序?qū)崝?shù)對，使得直線l上的任意一點“對應(yīng)”到點后，點Q仍在直線上？若存在，試求出全部的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)常數(shù)，，集合且和且，若滿足：①對于集合D中的任意一個元素z，都有；②對于集合A中的任意一個元素，都存在集合D中的元素z使得．請寫出滿足條件的一個有序?qū)崝?shù)對，并論證此時的滿足條件．2．（2025·全國·高三專題練習(xí)）已知由實數(shù)組成的數(shù)組滿足下面兩個條件：①；②．（1）當(dāng)時，求，的值；（2）當(dāng)時，求證；（3）設(shè)，且，求證：．題型四：三角函數(shù)的新定義問題（2025·高三課時練習(xí)）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為（），向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點）．記平面內(nèi)全部向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為．（1）已知點滿足，求的最小值；（2）設(shè)，其中，求證：，并求的“相伴向量”的模的取值范圍；（3）已知（）為圓：上一點，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值．當(dāng)點在圓上運動時，求的取值范圍．1．（2025上·上海浦東新·高三華師大二附中?？计谥校┯洷硎緮?shù)組：中的最大值.（1）推斷函數(shù)，的奇偶性，并說明理由；（2）爭辯函數(shù)，的基本性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值與零點（不需要證明）；（3）已知函數(shù)，與都定義在實數(shù)集上，且函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，是周期函數(shù)，是單調(diào)遞減函數(shù)，求證：是單調(diào)遞增函數(shù)的充要條件是：對任意，，.2．（2025·上海楊浦·高一復(fù)旦附中校考期中）對于函數(shù)，，假如存在一組常數(shù)，，…，（其中k為正整數(shù)，且）使得當(dāng)x取任意值時，有則稱函數(shù)為“k級周天函數(shù)”.（1）推斷下列函數(shù)是否是“2級周天函數(shù)”，并說明理由：①；②；（2）求證：當(dāng)時，是“3級周天函數(shù)”；（3）設(shè)函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.題型五：平面對量的新定義問題（2025·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．（1）若為的相伴特征向量，求實數(shù)m的值；（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且時的值；（3）已知，，為（1）中函數(shù)，，請問在的圖象上是否存在一點P，使得，若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．1．（2025·全國·高三專題練習(xí)）對于向量，若，，三數(shù)互不相等，令向量，其中，，，.（1）當(dāng)時，試寫出向量；（2）證明：對于任意的，向量中的三個數(shù)，，至多有一個為0；（3）若，證明：存在正整數(shù)，使得.2．（2025·湖南常德·高三臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個n維向量.特殊地，稱為零向量.設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，.對一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱為線性無關(guān).（1）對，推斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.①，；②，，.（2）已知，，線性無關(guān)，推斷，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.（3）已知個向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個都線性無關(guān)，證明：①假如存在等式（，，2，3，…，m），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②假如兩個等式，（，，，2，3，…，m）同時成立，其中，則.題型六：數(shù)列的新定義問題（2025·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)正整數(shù)，有窮數(shù)列滿足，且，定義積值（1）若時，數(shù)列與數(shù)列的S的值分別為，①試比較與的大小關(guān)系；②若數(shù)列的S滿足，請寫出一個滿足條件的（2）若時，數(shù)列存在使得，將，分別調(diào)整為，，其它2個，令數(shù)列調(diào)整前后的積值分別為，寫出的大小關(guān)系并給出證明；（3）求的最大值，并確定S取最大值時所滿足的條件，并進行證明.數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后依據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)問，所以說“新題”不肯定是“難題”，把握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.1．（2025·江蘇·校聯(lián)考模擬猜測）在數(shù)列中，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若，試推斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，請說明理由；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且，數(shù)列為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；（3）若正項數(shù)列為“數(shù)列”，且，，證明：．2．（2025·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）基本不等式可以推廣到一般的情形：對于個正數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．若無窮正項數(shù)列同時滿足下列兩共性質(zhì)：①；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若，求數(shù)列的最小項；（2）若，記，推斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)．題型七：立體幾何的新定義問題（2025·河南·高三校聯(lián)考期末）三階行列式是解決簡單代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點、分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知，是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點（1）①若，，求；②證明.（2）記的面積為，證明：.（3）證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.1．（2025·重慶·校聯(lián)考一模）把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中底面長軸，短軸長為下底面橢圓的左右焦點，為上底面橢圓的右焦點，為上的動點，為上的動點，為過點的下底面的一條動弦（不與重合）．（1）求證：當(dāng)為的中點時，平面（2）若點是下底面橢圓上的動點，是點在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的取值范圍．（3）求三棱錐的體積的最大值．2．（2025·全國·高三專題練習(xí)）很多次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年?建黨百年天安門廣場三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀(jì)念日”向人民英雄敬獻花籃儀式的凝重莊重金帆合唱團，這絕不是一個抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星燦爛！這是開學(xué)典禮中，我校金帆合唱團的頒獎詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心憧憬之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺（圖3），正六棱柱的側(cè)棱交的延長線于點，經(jīng)測量，且（1）寫出三條正六棱臺的結(jié)構(gòu)特征.（2）“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設(shè)排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽視墻壁厚度，估算金帆排練廳對應(yīng)幾何體體積.（棱臺體積公式：）（3）“小模糊”站在“六角樓”下，沉醉在歌聲里.“大聰慧”走過來說：“數(shù)學(xué)是理性的音樂，音樂是感性的數(shù)學(xué).學(xué)好數(shù)學(xué)方能更好的觀賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個復(fù)合音就可以表示為函數(shù)，你看這多奇特!”“小模糊”：“.....”友愛的同學(xué)們，快來幫“小模糊”求一下的最大值吧.題型八：平面解析幾何的新定義問題（2025·云南昆明·昆明一中?？寄M猜測）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．（1）若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；（2）若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；（3）若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．1．（2025·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬猜測）已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓E過，直線與橢圓E交于A、B．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線TA、TB的斜率分別為，，證明：；（3）直線是過點T的橢圓E的切線，且與直線l交于點P，定義為橢圓E的弦切角，為弦TB對應(yīng)的橢圓周角，探究橢圓E的弦切角與弦TB對應(yīng)的橢圓周角的關(guān)系，并證明你的論．2．（2025·上海黃浦·高三格致中學(xué)校考開學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作.已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，且橢圓過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求“共軛點對”中點所在直線的方程；（3）設(shè)為坐標(biāo)原點，點在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點，且點的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.題型九：概率統(tǒng)計的新定義問題（2025·河北·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）信息熵是信息論之父香農(nóng)（Shannon）定義的一個重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排解了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數(shù)學(xué)表達式：設(shè)隨機變量全部可能的取值為，且，定義的信息熵.（1）當(dāng)時，計算；（2）若，推斷并證明當(dāng)增大時，的變化趨勢；（3）若，隨機變量全部可能的取值為，且，證明：.1．（2025·遼寧·校聯(lián)考一模）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個提出二進制記數(shù)法的人，用二進制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對于整數(shù)可理解為逢二進一，例如：自然數(shù)1在二進制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)覺若可表示為二進制表達式，則，其中，或1（）.（1）記，求證：；（2）記為整數(shù)的二進制表達式中的0的個數(shù)，如，.（?。┣?；（ⅱ）求（用數(shù)字作答）.2．（2025·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬猜測）給定正整數(shù)，已知項數(shù)為且無重復(fù)項的數(shù)對序列：滿足如下三共性質(zhì)：①，且；②；③與不同時在數(shù)對序列中.（1）當(dāng)，時，寫出全部滿足的數(shù)對序列；（2）當(dāng)時，證明：；（3）當(dāng)為奇數(shù)時，記的最大值為，求.題型十：高等數(shù)學(xué)背景下的新定義問題（2025·河北·高三張北縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)a，b為非負整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．（1）求證：；（2）若p是素數(shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則，這個定理稱之為費馬小定理．應(yīng)用費馬小定理解決下列問題：①證明：對于任意整數(shù)x都有；②求方程的正整數(shù)解的個數(shù)．1．（2025·湖北襄陽·高三襄陽五中校考開學(xué)考試）“物不知數(shù)”是中國古代有名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下其次十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物幾何？”問題的意思是，一個數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么這個數(shù)是多少？若一個數(shù)被除余，我們可以寫作．它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的．大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿足上述條件的正整數(shù)從小到大依次排序．中國剩余定理：假設(shè)整數(shù)，，…，兩兩互質(zhì)，則對任意的整數(shù)：，，…，方程組肯定有解，并且通解為，其中為任意整數(shù)，，，為整數(shù)，且滿足．（1）求出滿足條件的最小正整數(shù)，并寫出第個滿足條件的正整數(shù)；（2）在不超過4200的正整數(shù)中，求全部滿足條件的數(shù)的和．（提示：可以用首尾進行相加）．2．（2025·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）假如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．（1）若，且，求；（2）已知，證明：，并解釋其幾何意義；（3）證明：，．1．（2025·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬猜測）已知集合，其中且，若對任意的，都有，則稱集合具有性質(zhì).（1）集合具有性質(zhì)，求的最小值；（2）已知具有性質(zhì)，求證：；（3）已知具有性質(zhì)，求集合中元素個數(shù)的最大值，并說明理由.2．（2025·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）已知是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個數(shù)，若時，規(guī)定.（1）若，寫出及的值；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)集合，求證：且.3．（2025·山東·高三煙臺二中校聯(lián)考開學(xué)考試）在無窮數(shù)列中，令，若，，則稱對前項之積是封閉的．（1）試推斷：任意一個無窮等差數(shù)列對前項之積是否是封閉的？（2）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為．若對前項之積是封閉的，求出的兩個值；（3）證明：對任意的無窮等比數(shù)列，總存在兩個無窮數(shù)列和，使得，其中和對前項之積都是封閉的．4．（2025·全國·校聯(lián)考模擬猜測）“讓式子丟掉次數(shù)”：伯努利不等式伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對實數(shù)，在時，有不等式成立；在時，有不等式成立．（1）猜想伯努利不等式等號成立的條件；（2）當(dāng)時，對伯努利不等式進行證明；（3）考慮對多個變量的不等式問題．已知是大于的實數(shù)（全部同號），證明5．（2025·全國·高三專題練習(xí)）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個正約數(shù)，即為.（1）當(dāng)時，若正整數(shù)的個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個的值；（2）當(dāng)時，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；（3）記，求證：.6．（2025·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬猜測）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用．設(shè)，，，是直線上互異且非無窮遠的四點，則稱（分式中各項均為有向線段長度，例如）為，，，四點的交比，記為．（1）證明：；（2）若，，，為平面上過定點且互異的四條直線，，為不過點且互異的兩條直線，與，，，的交點分別為，，，，與，，，的交點分別為，，，，證明：；（3）已知第（2）問的逆命題成立，證明：若與的對應(yīng)邊不平行，對應(yīng)頂點的連線交于同一點，則與對應(yīng)邊的交點在一條直線上．7．（2025·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，假如存在常數(shù)，對區(qū)間的任意劃分：，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“有界變差函數(shù)”；（1）試推斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“有界變差函數(shù)”，若是，求出M的最小值；若不是，說明理由；（2）若與均為區(qū)間上的“有界變差函數(shù)”，證明：是區(qū)間上的“有界變差函數(shù)”；（3）證明：函數(shù)不是上的“有界變差函數(shù)”.8．（2025·重慶·校聯(lián)考一模）如圖1，已知，，，，，.（1）求將六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周（等同于四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周）所圍成的幾何體的體積；（2）將平面繞旋轉(zhuǎn)到平面，使得平面平面，求異面直線與所成的角；（3）某“”可以近似看成，將圖1中的線段、改成同一圓周上的一段圓弧，如圖2，將其繞軸旋轉(zhuǎn)半周所得的幾何體，試求所得幾何體的體積.9．（2025·安徽合肥·統(tǒng)考一模）“數(shù)”在量子代數(shù)爭辯中發(fā)揮了重要作用.設(shè)是非零實數(shù)，對任意，定義“數(shù)”利用“數(shù)”可定義“階乘”和“組合數(shù)”，即對任意，（1）計算：；（2）證明：對于任意，（3）證明：對于任意，1．（2018·北京·高考真題）設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對于集合A中的任意元素和，記M（）=．（Ⅰ）當(dāng)n=3時，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個數(shù)的最大值；（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M（）=0．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．2．（2025·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定