熱點7-2圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)三年考情分析2025考向猜測考查內(nèi)容主要包括圓錐曲線的定義、標(biāo)準方程及其幾何性質(zhì)．題型多樣，以選擇題和填空題為主，部分解答題涉及直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用．命題綜合性增加，常與其他學(xué)問結(jié)合，同時留意創(chuàng)新性題型的設(shè)計．圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)將連續(xù)作為高考的重點內(nèi)容，題型不會有太大變化．簡單的代數(shù)運算和幾何推理仍舊是解題的關(guān)鍵，特殊是涉及離心率、漸近線、弦長等幾何性質(zhì)的計算．題型1橢圓的定義及標(biāo)準方程1、在橢圓的定義中條件不能少，這是依據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當(dāng)時，其軌跡為線段；②當(dāng)時，其軌跡不存在．2、利用橢圓定義求距離和差的最值的兩種方法：（1）抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值．3、利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準方程的步驟：（1）定位：確定焦點在那個坐標(biāo)軸上；（2）定量：依據(jù)條件及確定的值；（3）寫出標(biāo)準方程．1．（24-25高三下·全國·開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上在其次象限內(nèi)的一點，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓的定義得，結(jié)合，解得，，所以，從而，所以故選：D.2．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【解析】由題意，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，的最大值是25．故選：D．3．（24-25高三上·河北邯鄲·月考）已知曲線C：，則C為焦點在y軸上的橢圓的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則，解得，結(jié)合選項可知，曲線C是焦點在y軸上的橢圓的一個充分不必要條件是“”.故選：A.4．（24-25高三上·海南·月考）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、，為橢圓上一動點，則的重心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知、是橢圓的短軸的兩個端點，所以，設(shè)，由為的重心，所以，又為橢圓上一動點，所以即，所以有：，又為的重心，所以，即的軌跡方程為.故選：B.題型2橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用1、已知橢圓的方程爭辯性質(zhì)時，若不是標(biāo)準形式的先化成標(biāo)準形式，再確定焦點的位置，進而確定橢圓的類型；2、焦點位置不確定的要分類爭辯，找準與,正確利用求出焦點坐標(biāo)，再寫出頂點坐標(biāo)．同時要留意長軸長、短軸長、焦距不是，，，而應(yīng)是，，．1．（24-25高三上·湖北隨州·月考）已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．長軸長為 B．焦距為C．短軸長為 D．離心率為【答案】D【解析】把橢圓方程化為標(biāo)準方程可得=1，所以，，，則長軸長，焦距，短軸長，離心率.故選：D.2．（23-24高三下·江蘇南通·月考）已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得橢圓的焦點在軸上，故，則，得.故選：D.3．（24-25高三下·云南昆明·開學(xué)考試）已知橢圓和橢圓有相同的離心率，則（

）A． B． C．或4 D．或4【答案】D【解析】易知橢圓的離心率為，對于橢圓，當(dāng)焦點在軸上時離心率為，解得；當(dāng)焦點在軸上時離心率為，解得，所以或.故選：D．4．（24-25高三下·湖南·開學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系中，分別為橢圓的左、右焦點，過點作軸的垂線交于兩點，連接并延長交于另一點，且，則的長軸長為（

）A．7或10 B．6 C．7或9 D．10【答案】D【解析】依題意，，設(shè)橢圓的半長軸長為，則，，在中，，在中，，則，整理得，即，解得或，當(dāng)時，，不滿足題意，當(dāng)時，，滿足題意，所以的長軸長為10.故選：D題型3雙曲線的定義及標(biāo)準方程1、雙曲線的定義：判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進而依據(jù)要求可求出曲線方程．2、雙曲線標(biāo)準方程的求法（1）利用定義求雙曲線的標(biāo)準方程，依據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的，，的值，再寫出方程；（2）待定系數(shù)法，先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準方程或（均為正數(shù)），然后依據(jù)條件求出待定的系數(shù)，最終代入方程即可．留意：當(dāng)焦點的位置不明確時，可以分類爭辯，也可以設(shè)雙曲線方程為的形式，留意表明條件．1．（24-25高三上·四川·二模）雙曲線兩個焦點，焦距為8，M為曲線上一點，則（

）A．1 B．1或9 C．9 D．3【答案】C【解析】由題意可得，即，又，即，由雙曲線的定義可得，解得或9，又，所以.故選：C2．（24-25高三上·遼寧·期末）已知，，動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由及雙曲線的定義可知，點的軌跡為以為焦點，實軸為的雙曲線的上支，則，由于，所以，故點的軌跡方程為．故選：A3．（24-25高三上·湖南·月考）已知分別為雙曲線右支與漸近線上的動點，為左焦點，則的最小值為.【答案】4【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為，漸近線為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，，的最小值為垂直于漸近線時，所以的最小值為.4．（23-24高三上·天津河西·月考）已知拋物線的焦點F是雙曲線的右焦點，拋物線的準線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點.若是等邊三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，拋物線的焦點，準線方程為，即直線，不妨令點在其次象限，由是等邊三角形，得直線的方程為，于是點，明顯點在雙曲線的漸近線上，則，又，解得，，所以雙曲線的方程為.故選：C題型4雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用已知雙曲線的方程爭辯其幾何性質(zhì)時，需先看所給方程是否為標(biāo)準方程，若不是，需先把方程化為標(biāo)準方程，然后由標(biāo)準方程確定焦點所在的坐標(biāo)軸，找準和，才能正確地寫出焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)等．留意與橢圓的相關(guān)幾何性質(zhì)進行比較．1．（24-25高三下·湖北·月考）若雙曲線的焦距為6，則（

）A．5 B．3 C． D．【答案】D【解析】若雙曲線的焦點在軸上，依題意可得，解得；若雙曲線的焦點在軸上，依題意可得，解得.綜上可得：.故選：D.2．（24-25高三下·山東·模擬猜測）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線的方程可化為，所以漸近線方程為．故選：B3．（24-25高三下·湖南·月考）若點到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則的虛軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于雙曲線，其漸近線方程為，即.點到漸近線（取這條漸近線計算，取另一條結(jié)果相同）的距離，已知距離，則.即，兩邊同時平方可得，解得.把代入可得虛軸長為.故選：B.4．（24-25高三上·山東青島·期末）已知雙曲線的右焦點為，過點作垂直于軸的直線l，M，N分別是與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點．若是線段的中點，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點，過第一象限的漸近線方程為，直線與直線交于點，交雙曲線于點，由M是線段的中點，得，則，，所以C的漸近線方程為.故選：C題型5拋物線的定義及標(biāo)準方程1、利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)機敏地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉(zhuǎn)化．即“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”．2、留意機敏運用拋物線上一點P(x，y)到焦點F的距離|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2)．3、拋物線的標(biāo)準方程求法（1）定義法：依據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點到準線的距離)，再結(jié)合焦點位置，求出拋物線方程．標(biāo)準方程有四種形式，要留意選擇．（2）待定系數(shù)法：依據(jù)拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準方程，然后依據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標(biāo)準方程；焦點位置不確定時要留意分類爭辯．1．（24-25高三下·遼寧·模擬猜測）已知為拋物線：的焦點，上一點到軸的距離為，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】易知拋物線：的準線方程為，由上一點到軸的距離為，得點到直線的距離為，由拋物線的定義可知.故選：A.2．（24-25高三下·福建·月考）已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過作的垂線，垂足為，若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】記坐標(biāo)原點為，過點作，垂足為．由已知及拋物線定義可得，，，∴△為等邊三角形，，又∵，∴，則．∴，解得.故選：B．3．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期末）在拋物線上求一點P，使其到焦點F的距離與到點的距離之和最小，則該點P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得拋物線的焦點為，準線方程為.過點作于點，由定義可得，所以，由圖可得，當(dāng)三點共線時，最小，此時.故點的縱坐標(biāo)為1，所以橫坐標(biāo)．即點的坐標(biāo)為．故選：C.4．（24-25高三上·四川德陽·期末）2025年3月20號，我國成功放射鵲橋二號中繼衛(wèi)星，其通過一個大型可開放的星載天線，實現(xiàn)了月球背面與地球之間的信號傳輸.星載天線開放后形成一把直徑（口徑）為的“金色大傘”，它的曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處.若“金色大傘”的深度為，則“金色大傘”的邊緣點到焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點設(shè)拋物線的方程為，則，解得，拋物線的焦點，準線方程為，，所以“金色大傘”的邊緣點到焦點的距離為.故選：B題型6拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用1、涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．2、與拋物線的焦點弦長有關(guān)的問題，可直接應(yīng)用公式求解．解題時，需依據(jù)拋物線的標(biāo)準方程，確定弦長公式是由交點橫坐標(biāo)還是由交點縱坐標(biāo)定，是p與交點橫(縱)坐標(biāo)的和還是與交點橫(縱)坐標(biāo)的差，這是正確解題的關(guān)鍵．1．（23-24高三下·河南駐馬店·二模）已知點在焦點為的拋物線上，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【解析】拋物線，準線，,由拋物線的定義可知，解得.故選：A.2．（23-24高三下·重慶·模擬猜測）是拋物線上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且的重心恰為F，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】設(shè)，由于的重心恰為F，則，解得，由可知關(guān)于x軸對稱，即，則，即，又由于，解得.故選：D.3．（23-24高三上·廣東廣州·期中）直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點.若，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，準線方程為，設(shè)，則，由，得，則，由，得，得，聯(lián)立解得，，所以.故選：C4．（24-25高三上·河北·月考）已知過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，若，AB的中點到軸的距離為，則p的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】拋物線的焦點，準線，準線交軸于點，由對稱性，不妨令點在第一象限，過分別作，垂足分別為，過作于，交于，令，，，由，得，即，則，線段中點，過作于，則，由AB的中點到軸的距離為，得，因此，所以.故選：B題型7圓錐曲線的焦點三角形問題1、橢圓的焦點三角形：性質(zhì)1：AF1+?AF1F2的周長為A性質(zhì)2：4c2、在雙曲線的“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．1．（24-25高三下·湖南長沙·月考）如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，交軸于點.若，是線段的三等分點，則的周長為（

）A．20 B．10 C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)點在第一象限，，分別為橢圓的左右兩焦點，令橢圓半焦距為c，由，是線段的三等分點，得是線段的中點，而坐標(biāo)原點是的中點，則，軸，把代入橢圓方程，得，而，則，由為線段的中點，得，因此，解得，而，于是，所以的周長為.故選：D2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）（多選）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且．則下列說法中正確的是（

）A． B．離心率為C．的面積為6 D．的面積為12【答案】ABC【解析】由，得，則，由于是橢圓上一點，所以，由于，所以，，故A正確；對于B，離心率為，故B正確；對于CD，由于，所以為直角三角形，，所以，故C正確，D錯誤．故選：ABC3．（24-25高三下·安徽·開學(xué)考試）設(shè)分別是雙曲線的上、下焦點，雙曲線上的點滿足，則的面積等于（

）A． B．12 C． D．6【答案】D【解析】由可得，故，又，故,即，故的面積為，故選:D4．（24-25高三上·四川成都·期中）設(shè)雙曲線的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為P，直線PF1與雙曲線的漸近線在其次象限內(nèi)的交點為Q.若點Q恰好為線段PF1的中點，則直線PF2的斜率的值為（

）A．?2 B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為，可得，又由于為的中點，為的中點，所以，，，所以，又，得，由雙曲線的定義可得，所以，所以，所以，故選：A題型8圓錐曲線的中點弦問題1、橢圓的中點弦（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決；（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點、，其中中點為，則有．2、雙曲線、拋物線的中點弦與橢圓的解題策略一樣，既可以聯(lián)立直線與曲線的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，也可以用點差法建立斜率與中點坐標(biāo)的等式關(guān)系求解．1．（24-25高三上·河北正定·月考）已知拋物線，過點作弦，弦恰被點平分，則弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點、，由于點為線段的中點，則，，若直線軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，由題意可得，將這兩個等式作差可得，即，所以，直線的斜率為.故選：D.2．（24-25高三上·山西·期末）已知橢圓的離心率為，過點的直線與橢圓交于A，B兩點，且滿足，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，，即，可得，過的直線與橢圓交于且滿足，則為線段的中點，所以，，又，，則，即，所以，故直線的方程為，即.故選：C.3．（24-25高三上·貴州貴陽·期末）已知雙曲線與直線相交于A，B兩點，其中中點的橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)中點為，由題設(shè)易知，故，由于，故，所以，而，故，故，故.故選：A4．（24-25高三上·陜西寶雞·模擬猜測）已知雙曲線的右焦點為，過點的直線交雙曲線于、兩點.若的中點坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，由于線段的中點坐標(biāo)為，則，則，兩式相減得，則，由于，所以，，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準方程為.故選：D.題型9圓錐曲線的離心率問題求圓錐曲線離心率的方法（1）和易求，由求得離心率．（2）在橢圓中，，故；在雙曲線中，，故．因此，求出和的比值即可求出的值，反之亦然．（3）和不易求，和的比值不易求，但是以條件可求出，，的關(guān)系式，從而得到齊次式，等號兩邊同時除以，得到關(guān)于的方程，求解即可．留意依據(jù)的取值范圍進行檢驗．1．（24-25高三上·河南周口·期末）如圖所示的金燒藍嵌珠橢圓盒嵌表來自于世紀的英國，此盒表的盒內(nèi)可放化妝品或首飾，美觀且有用，現(xiàn)保藏于故宮博物館.該盒的上底面為橢圓，盒長，寬，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，設(shè)橢圓方程為，則，，所以該橢圓離心率為.故選：C2．（24-25高三上·河南·期末）設(shè)橢圓的一個焦點為，為內(nèi)一點，若上存在一點，使得，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令橢圓的左焦點為，則，由橢圓定義知，則，設(shè)直線交橢圓于、兩點（如圖），而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點、、共線時取等號.當(dāng)點與重合時，，則，當(dāng)點與重合時，，則，所以，即，經(jīng)檢驗，此時點在內(nèi)，所以.故選：B.3．（24-25高三下·貴州·開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由于,，所以，所以，.故選：D4．（24-25高三上·安徽馬鞍山·月考）已知、分別為雙曲線：（，）的左右焦點，為其左支上一點，且，則雙曲線離心率的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由雙曲線的定義可知，對于雙曲線，.已知，即.將代入，可得.化簡得，所以，那么.

由于為雙曲線左支上一點，有.已知，，且，所以.即，化簡得.

雙曲線的離心率，且.由可得，所以.則雙曲線離心率的最大值為.

故選：C題型10直線與圓錐曲線位置關(guān)系1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系推斷主要依靠聯(lián)立直線與曲線方程，通過判別式來確定，但要留意雙曲線與拋物線中只有一個交點時的特殊狀況．2、弦長公式設(shè)，，依據(jù)兩點距離公式．（1）若，在直線上，代入化簡，得．（2）若，在直線上，代入化簡，得．（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長．其中為直線斜率，為直線傾斜角．1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知雙曲線的離心率為，若直線與雙曲線沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，即，故，故漸近線方程為，直線與雙曲線沒有公共點，則，故.故選：B2．（24-25高三上·北京·月考）過點且與拋物線恰有一個公共點的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】當(dāng)直線過點，且與軸平行時，此時直線與拋物線只有1個公共點；當(dāng)直線過點，且與軸垂直時，此時直線與拋物線有2個公共點；當(dāng)直線過點，斜率存在且不為0時，設(shè)直線，代入拋物線，得：，由于.由，由于，所以方程有兩根，故過點可以作兩條直線與拋物線相切.綜上，過點共有3條直線，與拋物線只有1個公共點.故選：D3．（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，所以為橢圓的右半部分．當(dāng)時，直線與有兩個公共點；當(dāng)時，直線，令，將代入，得，則，得，則．由圖可知，所以．綜上，的取值范圍是．故選：D.4．（24-25高三上·甘肅白銀·月考）在直角坐標(biāo)系中，，分別是，軸上一點，且．動點滿足，點的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線交于，兩點，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)1【解析】（1）由題意，，分別是，軸上一點，且．動點滿足，設(shè)，，，∴，，，即∴，解得：，∴曲線的方程為：．（2）由題意及（1）得，在中，過點的直線與曲線交于，兩點，易知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即，設(shè)，，由消去得，由，得，，．設(shè)點到直線距離為，的面積為，，解得：設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴面積的最大值為1．5．（24-25高三上·浙江金華·期末）已知雙曲線的一個焦點是，漸近線方程是(1)求雙曲線的方程；(2)點為軸上一點，點是雙曲線的右頂點，點是雙曲線上異于頂點的一點，若是正三角形，求點的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)或【解析】（1）由于漸近線方程是，得，，又，，即，整理得，解得：，，故雙曲線方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，依據(jù)題意，解得點縱坐標(biāo)為，代入，解得，所以，設(shè)線段的中點為，依題意，則點的坐標(biāo)為，設(shè)點，由于是正三角形，所以有，，，則由得，，即，整理有：，所以①.在正三角形中，有，由結(jié)合弦長公式得，，化簡得.代入①可得，所以點或.（建議用時：60分鐘）一、單選題1．（24-25高三上·云南德宏·期末）若橢圓C：的焦點和頂點分別是雙曲線E的頂點和焦點，則雙曲線E的標(biāo)準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓可得，，，且焦點在y軸上，可知橢圓的長軸頂點為，焦點為，所以雙曲線的焦點為，頂點為，設(shè)雙曲線方程為，可得，，則，所以雙曲線的方程為.故選：A.2．（24-25高三下·河北·開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為線段上有一點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于B,C兩點，且則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接由橢圓對稱性知故選：D3．（24-25高三上·河南許昌·期中）已知，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線與交于A，B兩點，且，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，令，則，由橢圓的定義可知，，又，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由于，所以，所以，所以.所以的離心率是.故選：A.4．（24-25高三下·廣東深圳·模擬猜測）設(shè)，為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由橢圓：可得，，，由于上一點且在第一象限，則由為等腰三角形，則可得或，當(dāng)時，，此時的面積為：；當(dāng)時，，不合題意，舍去.綜上，可得的面積為.故選：C．5．（24-25高三上·湖南永州·模擬猜測）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，過點作x軸的垂線交C于A、B兩點，其中點A在第一象限，且.若P是C上的動點，則滿足是直角三角形的點P的個數(shù)為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】由題，又，.，即（t為參數(shù)），取上頂點時最大，此時.不會為直角，只有當(dāng)或是直角才符合題意，所以由對稱性可知滿足是直角三角形的點P的個數(shù)為4.故選：C.6．（24-25高三上·天津·期末）已知雙曲線為的左頂點，拋物線的準線與軸交于．若在的漸近線上存在點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的準線與軸交于，則，設(shè)的中點為，，則，在的漸近線上存在點，使得，是以為圓心，半徑為的圓與漸近線有公共點，所以，，所以.故選：D7．（24-25高三上·天津·月考）已知拋物線，焦點為F，第一象限的點A、B均在拋物線上，，，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)拋物線準線為，過兩點分別作，垂足分別為，作于點，如下圖所示：易知，可得，在直角三角形中，，，可得直線的傾斜角為，易知，所以,即直線的斜率為.故選：B8．（24-25高三上·江蘇鎮(zhèn)江·模擬猜測）拋物線：的焦點為，直線經(jīng)過點，交于兩點，交軸于點，若，則錯誤的是（

）A． B．弦的中點到軸的距離為C． D．點的坐標(biāo)為【答案】D【解析】對于A，由于拋物線：的焦點為，由題意，所以，即，故A正確；對于D，如圖：過點作垂直于軸，由于，所以，由于，所以，所以，代入可得，故D錯誤；不妨設(shè)點在軸下方，則，所以直線的方程為：，即，由得，所以，對于B，弦的中點到軸的距離為，故B正確；對于C，，故C正確.故選：D二、多選題9．（24-25高三下·江西·開學(xué)考試）已知雙曲線的左，右焦點分別是，其中的一條漸近線方程為，過的直線交于兩點，則（

）A．的離心率為B．若，則的周長為C．若的斜率為1，則的面積為D．若為的右支上兩點，則直線的斜率【答案】ACD【解析】由于的一條漸近線方程為，所以，由題知，，故A正確；當(dāng)為的右支上兩點時，由雙曲線的定義得的周長為，當(dāng)分別為的左，右兩支上兩點時，的周長為，故B錯誤；由題意的方程為，與聯(lián)立得，所以，所以，故C正確；由于為的右支上兩點，所以或，故D正確．故選：ACD．10．（24-25高三上·江西·期末）已知拋物線（）的焦點為是C上不同的兩點，則（

）A．C的方程為B．點F到C的準線距離為4C．的最小值為4D．若共線，則的最大值為【答案】BD【解析】由，得，C的方程為，A錯誤；依據(jù)拋物線的性質(zhì)知，點F到C的準線距離為，B正確；由拋物線上點到焦點距離最小點為頂點，故，又為不同點，故，C錯誤；設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號，D正確.故選：BD11．（23-24高三下·安徽·模擬猜測）設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為直線相交于點，且它們的斜率之積為，則下列說法中正確的是（

）A．的軌跡方程為B．的軌跡與橢圓共焦點C．是的軌跡的一條漸近線D．過能做4條直線與的軌跡有且只有一個公共點【答案】BC【解析】對于A，設(shè)點，，則，，所以，化簡得，所以點的軌跡方程為.故A錯誤；對于B，由A選項，點的軌跡的焦點為與橢圓共焦點，故B正確；對于C，點的軌跡對應(yīng)曲線的漸近線為，故C正確；對于D，點在軸上，則，，所以直線，與漸近線平行，但點不在點的軌跡上，故過點只能作點的軌跡兩條切線，如圖所示，故D錯誤.故選：BC.三、填空題12．（24-25高三上·北京通州·期末）已知拋物線的焦點為，點在上，若，則線段的中點的橫坐標(biāo)為.【答案】3【解析】設(shè)，，則依據(jù)拋物線定義可得，解得，所以線段的中點的橫坐標(biāo)為3．13．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知橢圓的離心率為是橢圓的左、右焦點，為橢圓的