圓錐曲線名目【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【題型二】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【題型三】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【題型四】焦點(diǎn)三角形【題型五】中點(diǎn)弦【題型六】離心率【題型七】直線與圓錐曲線位置關(guān)系【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：圓錐曲線中的距離和差最值問題：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)將連續(xù)作為高考的重點(diǎn)內(nèi)容，題型不會(huì)有太大變化．簡單的代數(shù)運(yùn)算和幾何推理仍舊是解題的關(guān)鍵，特殊是涉及離心率、漸近線、弦長等幾何性質(zhì)的計(jì)算．：基礎(chǔ)學(xué)問嫻熟把握的基礎(chǔ)上還需要利用數(shù)形結(jié)合等的思想結(jié)合幾何和代數(shù)的方法來解決相應(yīng)問題。需要記憶的結(jié)論很多，所以相應(yīng)的推理方法也都必需要能夠理解，【題型一】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【例1】已知圓的圓心為，設(shè)是圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【分析】由垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合橢圓定義即可推斷；【詳解】點(diǎn)在線段的垂直平分線上，故．又是圓的半徑，所以．由橢圓的定義知，的軌跡是橢圓．故選：B【例2】橢圓與橢圓的（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】依據(jù)橢圓的方程，求得長短半軸長及半焦距、離心率，即可推斷.【詳解】對(duì)于橢圓的長短半軸長及半焦距分別為，對(duì)于橢圓的長短半軸長及半焦距分別為，所以它們的長軸不相等，短軸不相等，離心率不相等，焦距相等.故選：D【例3】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是上一點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且四邊形的面積為，的短軸長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理推導(dǎo)出，分析可知的面積為，可求出的值，利用勾股定理結(jié)合橢圓的定義可求出的值，由此可求得橢圓的短軸長.【詳解】記，由題意，所以，，所以，，由于四邊形的面積為，故的面積為，即，則，由于，所以，，即，可得，解得，因此，雙曲線的短軸長為.故選：C.1、已知橢圓的方程爭辯性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定橢圓的類型；2、焦點(diǎn)位置不確定的要分類爭辯，找準(zhǔn)與,正確利用求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要留意長軸長、短軸長、焦距不是，，，而應(yīng)是，，．【變式1】（多選）已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．內(nèi)切圓半徑的最大值為 D．外接圓半徑的最小值為1【答案】ACD【分析】由橢圓的定義結(jié)合中位線的性質(zhì)可得A正確；由橢圓的性質(zhì)令點(diǎn)在其次三象限時(shí)可得B錯(cuò)誤；由焦點(diǎn)三角形的面積公式結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)可得C正確；由正弦定理可得D正確.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由三角形中位線得，由于當(dāng)點(diǎn)在其次三象限時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，，當(dāng)點(diǎn)在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，所以，所以，所以，所以由三角形相像可得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，又，所以內(nèi)切圓半徑的最大值為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，故D正確.故選：ACD【變式2】用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成的角記為，當(dāng)為銳角時(shí)，圓柱面的截線是一個(gè)橢圓，數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球模型證明白上述結(jié)論．如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切，切點(diǎn)分別為．下列關(guān)于截口曲線的橢圓的結(jié)論中不正確的有（

）

A．橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等B．橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C．所得橢圓的離心率D．其中為橢圓長軸，為球的半徑，有【答案】D【分析】依據(jù)題意利用橢圓定義可推斷AB；結(jié)合圖形的幾何特征利用橢圓的離心率定義可推斷C；結(jié)合圖形的幾何特征利用解三角形可推斷D.【詳解】設(shè)P為截口曲線的橢圓的一點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作線段分別與球切于點(diǎn)，故有，由橢圓定義可知，該橢圓以，為焦點(diǎn)，為長軸長，故B正確．

設(shè)橢圓長半軸長為，半焦距為，設(shè)O為的中點(diǎn)，與球切于點(diǎn)，，，故，有，則即橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等，故A正確．由題意可得，則，故C正確．由題意知（這是由于），則，故，即，故D錯(cuò)誤．故選：D．【題型二】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【例1】已知雙曲線的焦距為6，則為（

）A．5 B． C． D．32【答案】A【分析】由雙曲線的相關(guān)概念求解即可.【詳解】由于雙曲線的焦距為6，所以，即，且，，所以，故，故選：A【例2】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，滿足，且，的面積為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)給定條件可得，利用三角形面積求出半焦距，再利用直角三角形性質(zhì)，結(jié)合二倍角的正切求出即可得解.【詳解】由，得，而，的面積為，則，，令雙曲線的半焦距為，則，即，直線方程為，，而，則，聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為.故選：A1、已知橢圓的方程爭辯性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定橢圓的類型；2、焦點(diǎn)位置不確定的要分類爭辯，找準(zhǔn)與,正確利用求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要留意長軸長、短軸長、焦距不是，，，而應(yīng)是，，．【變式1】已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，，的面積為，則的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)，再依據(jù)平行得出斜率，進(jìn)而應(yīng)用面積計(jì)算得，最終點(diǎn)在雙曲線上得出，計(jì)算得出即可.【詳解】由于，所以點(diǎn)在的右支上，由對(duì)稱性設(shè)在第一象限，設(shè)，，，則，由，，得解得所以，所以，即，由于在的右支上，所以，所以，設(shè)的半焦距為，則，即，所以焦距為．故選:D．【變式2】（多選）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作漸近線的垂線l，垂足為N，l與另一條漸近線交于點(diǎn)M，且M，N都在x軸上方，，點(diǎn)在E上，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的離心率C．直線與的斜率之積是2 D．雙曲線在點(diǎn)P處的切線與x軸交于點(diǎn)I，則【答案】AD【分析】由題設(shè)，且漸近線為，若垂直于，則，聯(lián)立漸近線求得、，結(jié)合已知得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系推斷A、B；應(yīng)用斜率的兩點(diǎn)式推斷C；設(shè)點(diǎn)P處的切線為并聯(lián)立雙曲線，由求得，即可求得，即可推斷D.【詳解】由題設(shè)，且漸近線為，若垂直于，則，，可得，同理得，由，則，整理得，可得，B錯(cuò)，所以，故漸近線方程為，A對(duì)，在雙曲線上，則，則，所以，則，C錯(cuò)；點(diǎn)P處的切線為，聯(lián)立，得，所以，則，所以，則，故切線為，令，則，故，D對(duì).故選：AD【變式3】（多選）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與在第一、四象限的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)為，，則（

）A．直線的斜率為 B．的離心率為2C．到上最近點(diǎn)的距離為 D．【答案】ABD【分析】利用邊相等得三角形全等，來計(jì)算坐標(biāo)，從而可推斷A，通過點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可求離心率來推斷B，通過點(diǎn)到直線的距離可推斷C，通過聯(lián)立方程組，利用坐標(biāo)運(yùn)算來推斷D.【詳解】記雙曲線的焦距為，則，．由于，由，可解得：，如圖過作軸垂線，垂足為，則可得：，，所以，則，故選項(xiàng)A正確；將代入雙曲線，得．再將代入，解得．所以的離心率為．故選項(xiàng)B正確；由于點(diǎn)到漸近線的距離為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，有，且雙曲線方程化為．由，，得的方程為．將與聯(lián)立，消去，整理得．記，所以，得．所以，所以選項(xiàng)D正確．故選：ABD．【題型三】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【例1】已知拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為6，則M到y(tǒng)軸的距離為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】設(shè)，依據(jù)拋物線的定義可知，結(jié)合拋物線方程運(yùn)算求解即可.【詳解】由拋物線可知準(zhǔn)線為，設(shè)，依據(jù)拋物線的定義可知，即，由拋物線方程可得，即，所以M到y(tǒng)軸的距離為.故選：B.【例2】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，依據(jù)拋物線的定義求出的取值范圍.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在上且，則，所以，即，故A錯(cuò)誤，C正確；又，所以，所以，故B、D錯(cuò)誤.故選：C【例3】已知拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為5，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則．【答案】【分析】先依據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，最終依據(jù)切線的性質(zhì)，利用勾股定理求值.【詳解】

在拋物線中，，則，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)，依據(jù)拋物線的定義，可得，解得.把代入，得，由于，所以，即.將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，從而圓心為，半徑.故.故答案為：.1、利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)機(jī)敏地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”．2、留意機(jī)敏運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2)．3、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求法（1）定義法：依據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要留意選擇．（2）待定系數(shù)法：依據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后依據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；焦點(diǎn)位置不確定時(shí)要留意分類爭辯．【變式1】已知定點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】依據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合圖象求出的最小值.【詳解】拋物線，即，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，易知在拋物線的內(nèi)部，點(diǎn)即為焦點(diǎn)，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即，明顯當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為，即的最小值為4，故選：B.【變式2】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上.若M的橫坐標(biāo)為1，且，則p的值為（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】利用拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離求解.【詳解】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以，解得，故選：C.【變式3】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用拋物線的準(zhǔn)線確定拋物線方程，結(jié)合拋物線定義與特殊三角形計(jì)算即可.【詳解】由于的準(zhǔn)線，所以，設(shè)準(zhǔn)線與縱軸交于E點(diǎn)，依據(jù)拋物線定義可知，所以，易知，所以.故選：A【題型四】焦點(diǎn)三角形【例1】（多選）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．則下列說法中正確的是（

）A． B．離心率為C．的面積為6 D．的面積為12【答案】ABC【解析】由，得，則，由于是橢圓上一點(diǎn)，所以，由于，所以，，故A正確；對(duì)于B，離心率為，故B正確；對(duì)于CD，由于，所以為直角三角形，，所以，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC【例2】設(shè)分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)滿足，則的面積等于（

）A． B．12 C． D．6【答案】D【解析】由可得，故，又，故,即，故的面積為，故選:D1、橢圓的焦點(diǎn)三角形：性質(zhì)1：AF1+?AF1F2的周長為A性質(zhì)2：4c2、在雙曲線的“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．【變式1】設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，直線PF1與雙曲線的漸近線在其次象限內(nèi)的交點(diǎn)為Q.若點(diǎn)Q恰好為線段PF1的中點(diǎn)，則直線PF2的斜率的值為（

）A．?2 B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，可得，又由于為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，，所以，又，得，由雙曲線的定義可得，所以，所以，所以，故選：A【變式2】如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).若，是線段的三等分點(diǎn)，則的周長為（

）A．20 B．10 C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，分別為橢圓的左右兩焦點(diǎn)，令橢圓半焦距為c，由，是線段的三等分點(diǎn)，得是線段的中點(diǎn)，而坐標(biāo)原點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，軸，把代入橢圓方程，得，而，則，由為線段的中點(diǎn)，得，因此，解得，而，于是，所以的周長為.故選：D【題型五】中點(diǎn)弦【例1】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，由于線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，兩式相減得，則，由于，所以，，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.【例2】已知雙曲線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，其中中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)中點(diǎn)為，由題設(shè)易知，故，由于，故，所以，而，故，故，故.故選：A1、橢圓的中點(diǎn)弦（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有．2、雙曲線、拋物線的中點(diǎn)弦與橢圓的解題策略一樣，既可以聯(lián)立直線與曲線的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，也可以用點(diǎn)差法建立斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的等式關(guān)系求解．【變式1】已知拋物線，過點(diǎn)作弦，弦恰被點(diǎn)平分，則弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)、，由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，，若直線軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，由題意可得，將這兩個(gè)等式作差可得，即，所以，直線的斜率為.故選：D.【變式2】已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，，即，可得，過的直線與橢圓交于且滿足，則為線段的中點(diǎn)，所以，，又，，則，即，所以，故直線的方程為，即.故選：C.【題型六】離心率【例1】已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由雙曲線的定義結(jié)合題干條件可解得的長度，再利用勾股定理即可算出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸、半焦距分別為，由雙曲線的定義可知，結(jié)合題干條件，解得，又，，由勾股定理可得，解得離心率.故選：A.【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過的直線交圓于點(diǎn)，交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過作，設(shè)，利用幾何關(guān)系計(jì)算得出，再在中利用勾股定理即可得.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，過作，垂足為，則，所以．由于，所以，即為線段的中點(diǎn)．由于為的中點(diǎn)，所以，所以，．設(shè)，則，所以，，，所以．在中，由勾股定理得，即，解得，所以，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．故選：C．（1）和易求，由求得離心率．（2）在橢圓中，，故；在雙曲線中，，故．因此，求出和的比值即可求出的值，反之亦然．（3）和不易求，和的比值不易求，但是以條件可求出，，的關(guān)系式，從而得到齊次式，等號(hào)兩邊同時(shí)除以，得到關(guān)于的方程，求解即可．留意依據(jù)的取值范圍進(jìn)行檢驗(yàn)．【變式1】．A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，從C上一點(diǎn)P（異于A，B）向?qū)嵼S引垂線，垂足為Q，則為常數(shù)．若C的離心率為2，則該常數(shù)為（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】設(shè)，則，然后將表示出來，利用離心率為2即可求解.【詳解】設(shè)，則，又由題得，則，則，故選：D【變式2】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是、，焦距為，若直線與橢圓交于點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率是.【答案】【分析】先依據(jù)的斜率得到，結(jié)合橢圓定義得到，，由勾股定理列出方程，求出離心率．【詳解】由于經(jīng)過左焦點(diǎn)，且斜率為，故，為三角形內(nèi)角，所以，所以，則，設(shè)，則，由橢圓的定義可知：，即，解得：，所以，由勾股定理得：，故，解得：，故橢圓離心率．故答案為：.【題型七】直線與圓錐曲線位置關(guān)系【例1】已知橢圓，直線經(jīng)過的兩個(gè)頂點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別交于兩點(diǎn)，證明：直線過原點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依據(jù)直線過橢圓上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)可得，從而得到橢圓方程；（2）首先確定當(dāng)或斜率不存在時(shí)，直線過；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，利用圓心到直線距離等于半徑可求得，結(jié)合橢圓方程化簡得到；方法一：將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，化簡得到；方法二：假設(shè)直線過原點(diǎn)，結(jié)合橢圓對(duì)稱性可得，化簡得到滿足，從而得到結(jié)論.【詳解】（1）直線過的上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)，橢圓的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，即，，的方程為：.（2）當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，不妨令，則，直線方程為，，直線恒過．下證：當(dāng)直線和斜率存在時(shí)，直線過．設(shè)，過點(diǎn)的切線方程為，，，；在上，，．方法一：將過點(diǎn)的切線與聯(lián)立得：，，則，同理可得：；，，則，將代入得：由橢圓對(duì)稱性得直線過．綜上所述：直線過原點(diǎn)．方法二：當(dāng)直線過時(shí)，由橢圓對(duì)稱性可設(shè)，則，，，，，，滿足題意．當(dāng)直線和斜率存在時(shí)，直線過．綜上所述：直線過原點(diǎn)．【例2】已知雙曲線過點(diǎn)，漸近線方程為.(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取異于點(diǎn)的點(diǎn).（i）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，的面積為7，求直線的斜率；（ii）直線分別與軸交于點(diǎn)，若為中點(diǎn)，證明：點(diǎn)恒在一條定直線上.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）依據(jù)雙曲線過的點(diǎn)以及漸近線方程列出方程組求解雙曲線方程；（2）（i）先設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和三角形面積公式求解直線斜率；（ii）通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線方程求出與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)中點(diǎn)關(guān)系證明點(diǎn)在定直線上。【詳解】（1）由題意，得，則①，將點(diǎn)代入雙曲線方程，得②，聯(lián)立①②解得故的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得.設(shè)，由題意，得解得.（i）解：由于為中點(diǎn)，所以.由，得.又，解得，所以直線的斜率為.（ii）證明：設(shè)直線的方程為，令，得.同理可得，.由于為中點(diǎn)，所以，即.又由于點(diǎn)都在直線上，所以，整理，得，代入韋達(dá)定理，得，所以.由于，所以點(diǎn)恒在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：參數(shù)法：參數(shù)解打算點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量k）；②利用條件找到k過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于k與x，y的等式，再爭辯變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常依據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊狀況探究出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).【例3】已知是拋物線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓過的焦點(diǎn)．按如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過點(diǎn)作斜率為的直線與交于另一點(diǎn)，點(diǎn)為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．(1)求的方程；(2)令，證明是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)設(shè)是的面積，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）將的坐標(biāo)代入，結(jié)合拋物線的定義求出值.（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上推理得證，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.（3）結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合（2）推理得證.【詳解】（1）是拋物線上一點(diǎn)，得，而，則，即，解得，所以的方程為.（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率，則，，即，又點(diǎn)都在上，于是，兩式相減得，因此，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（3）要證，只需證明.直線的斜率，直線的斜率，因此，即，所以.1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系推斷主要依靠聯(lián)立直線與曲線方程，通過判別式來確定，但要留意雙曲線與拋物線中只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的特殊狀況．2、弦長公式設(shè)，，依據(jù)兩點(diǎn)距離公式．（1）若，在直線上，代入化簡，得．（2）若，在直線上，代入化簡，得．（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長．其中為直線斜率，為直線傾斜角【變式1】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)作直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B．設(shè)，直線BC與直線交于點(diǎn)N，求證：直線AN的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可求得的值，可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線，，與橢圓方程聯(lián)立方程組由韋達(dá)定理可得，求得，進(jìn)而計(jì)算可得，可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程是．（2）由題可知直線斜率存在．設(shè)直線．由，得．由，得，即．設(shè)，則．直線的方程為．令，得的縱坐標(biāo)為．由于，所以．．又．所以，即．所以直線的斜率為定值．【變式2】已知雙曲線，左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)若的離心率為2，求.(2)若為等腰三角形，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo).(3)連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）并延長交于點(diǎn)，若，求的最大值.【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，；(3)的最大值為.【分析】（1）依據(jù)離心率的概念求出，再求出即可；（2）如圖，易知為鈍角，則，依據(jù)兩點(diǎn)距離公式建立方程組，解之即可求解；（3）設(shè)，：，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理和平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立關(guān)于的方程，得，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由雙曲線的方程知，，由于離心率為2，所以，得.（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線，且.由于點(diǎn)在第一象限，所以為鈍角.又為等腰三角形，所以.設(shè)點(diǎn)，且，則得，所以.（3）由雙曲線的方程知，且由題意知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)，則.由直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立直線與雙曲線的方程得消去，得，且，即，得.，由，得，所以，即，整理得，所以，整理得，所以.又，所以，解得，所以，又，故的取值范圍是，故的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解圓錐曲線與平面對(duì)量交匯題的關(guān)鍵是設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將平面對(duì)量用坐標(biāo)表示，運(yùn)用相應(yīng)的平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算法則（加、減、數(shù)量積、數(shù)乘）或運(yùn)算律或數(shù)量積的幾何意義，將問題中向量間的關(guān)系（相等、垂直、平行等）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系.【變式3】已知橢圓過點(diǎn)，且的右焦點(diǎn)為．(1)求的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的一條直線與交于兩點(diǎn)，且與線段交于點(diǎn)．（i）證明：直線平分；（ii）若的面積等于的面積，求的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）或．【分析】（1）代入條件，轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程組，即可求解；（2）（?。┦紫仍O(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，由題意轉(zhuǎn)化為證明和的斜率和為0；（ⅱ）由面積公式，結(jié)合條件，再結(jié)合幾何關(guān)系，確定，即可確定點(diǎn)的位置，即可求解.【詳解】（1）依據(jù)題意有，且由橢圓的幾何性質(zhì)可知，所以．所以的方程為．（2）（i）由于橢圓的長軸右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以的斜率肯定存在（否則與橢圓沒有交點(diǎn)）設(shè)的方程為，代入的方程有：，其中，故，設(shè)，則，若直線平分，且易知軸，故只需滿足直線與的斜率之和為0．設(shè)的斜率分別為，則：，代入，有，故命題得證．（ii）由（i）知直線平分，即．由于的面積等于的面積，故，即，故．故，在線段的垂直平分線上．易知線段的垂直平分線為，與的方程聯(lián)立有，故的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題其次問中第一小問的關(guān)鍵是由幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明，其次小問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系為.易錯(cuò)點(diǎn)：圓錐曲線中和差距離最值問題例1．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，則的最小值為，最大值為．【答案】1523【分析】求出橢圓的長軸長及左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓定義及線段和差大小關(guān)系求出最值.【詳解】橢圓長軸長為10，左焦點(diǎn)，令右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，因此，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與橢圓交