2025年高考押題猜測(cè)卷數(shù)學(xué)（天津卷02）·全解全析留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】先求出集合B，再利用集合的交運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】易知，所以，故選：A．2．使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件為（

）A． B． C． D．【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】推斷命題的充分不必要條件、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解不等式可得，結(jié)合充分條件及必要條件的定義推斷結(jié)論.【詳解】解不等式，可得，所以不等式成立的一個(gè)充分不必要條件必需為的非空真子集，所以可以排解選項(xiàng)A，B，C，由于由可推得，由不能推得，所以使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件為．故選：D．3．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)圖像的識(shí)別、函數(shù)奇偶性的定義與推斷【分析】接受排解法進(jìn)行推斷，先依據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行排解，再結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行選擇.【詳解】首先：，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排解CD.又，故排解B.故選：A4．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、運(yùn)用換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算、比較正弦值的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小【分析】利用換底公式即可化簡(jiǎn)；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；利用正弦函數(shù)的值域即可.【詳解】；；，則故選：A5．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為6B．若隨機(jī)變量，則C．已知閱歷回歸方程為，且，則D．依據(jù)分類變量與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念及辨析、總體百分位數(shù)的估量、指定區(qū)間的概率、依據(jù)樣本中心點(diǎn)求參數(shù)【分析】A選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)排序后，依據(jù)百分位數(shù)的定義得到答案；B選項(xiàng)，由正態(tài)分布的對(duì)稱性得到答案；C選項(xiàng)，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程，求出；D選項(xiàng)，由得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，，故選取第5個(gè)數(shù)據(jù)作為第60百分位數(shù)，即為6，A正確；B選項(xiàng)，由于，依據(jù)對(duì)稱性可知，故，B正確；C選項(xiàng)，已知閱歷回歸方程為，且，則，解得，C正確；D選項(xiàng)，，故不能得到此結(jié)論，D錯(cuò)誤故選：D6．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式【分析】先求出，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞增可得，再由在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，可得可能的零點(diǎn)，再分類爭(zhēng)辯結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得得出答案.【詳解】由題意可得：，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于，，所以，解得：，又在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，所以，，結(jié)合，所以，所以這個(gè)零點(diǎn)可能為或或，當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，無解，綜上：的取值范圍為.故選：A.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過作的垂線與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且．設(shè)的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】余弦定理解三角形、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓定義及辨析【分析】先依據(jù)橢圓定義和已知線段關(guān)系求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，再通過三角函數(shù)關(guān)系求出，最終利用余弦定理建立關(guān)于橢圓離心率的方程并求解.【詳解】如圖，連接，設(shè)與交于點(diǎn)M.由，可設(shè)，則，其中，由橢圓的定義，得，從而，又由于，所以，在中，設(shè)，則為銳角，所以，即，由余弦定理，得，即，解得.故選：C.8．已知正四周體（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四周體各個(gè)面都相切的球）表面積為，設(shè)能裝下正四周體的最小正方體的體積為，正四周體的外接球（四周體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題【分析】設(shè)正四周體的棱長(zhǎng)為，設(shè)正四周體內(nèi)切球球心為，半徑為，由等體積法求出，將該正四周體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四周體的最小正方體，即可求出，設(shè)正四周體的外接球的半徑，依據(jù)正方體和正四周體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】設(shè)正四周體的棱長(zhǎng)為，則正四周體的表面積為，由題設(shè)底面的外接圓半徑，則所以正四周體的高為，其體積為，設(shè)正四周體內(nèi)切球球心為，半徑為，解得：，所以，解得：，將該正四周體放入下圖的正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四周體的最小正方體，正四周體的最小正方體的邊長(zhǎng)為，如下圖，即，所以，體積為，設(shè)正四周體的外接球半徑為，則正方體的外接球，也即正四周體的外接球的半徑為，所以，所以外接球的體積為，.故選：A.9．函數(shù)，關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】由已知可得為方程的一個(gè)根，則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于x的方程始終有一個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，由，得，由題意可知當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，要使直線與函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，則，或，或故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是依據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可求得結(jié)果，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．10．i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)．【答案】【學(xué)問點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算【分析】直接利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：11．在的開放式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）【答案】【學(xué)問點(diǎn)】求二項(xiàng)開放式、求指定項(xiàng)的系數(shù)【分析】依據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，利用項(xiàng)的指數(shù)為即為常數(shù)項(xiàng).【詳解】由的開放式的通項(xiàng)為，令，，則，即在的開放式中，常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：.12．已知圓的方程為．當(dāng)圓的面積最小時(shí)，直線與圓相切，則的值為．【答案】【學(xué)問點(diǎn)】圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】先求得圓面積最小時(shí)圓的半徑，然后依據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑列方程求得.【詳解】依題意，圓的方程為，所以，所以圓心為，半徑為，所以當(dāng)時(shí)，半徑最小，圓的面積最小，且半徑的最小值為，此時(shí)圓心到直線的距離為或（舍去）.故答案為：13．第十五屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)在2025年11月12日至17日在廣東珠海進(jìn)行.此次航展，觀眾累計(jì)參觀近60萬人次，簽約金額超2800億人民幣.為慶祝這一盛會(huì)的成功進(jìn)行，珠海某商場(chǎng)打算在航展期間進(jìn)行“購(gòu)物抽獎(jiǎng)送航?！被顒?dòng)，獎(jiǎng)品為“隱形戰(zhàn)機(jī)殲-20S”模型.抽獎(jiǎng)規(guī)章如下：盒中裝有7個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)是紅球，4個(gè)是黃球.每位顧客均有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)從盒中隨機(jī)取出2球，若取出的球顏色不相同，則沒有中獎(jiǎng)，小球不再放回盒中，若取出的球顏色相同，則中獎(jiǎng)，并將小球放回盒中、某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為；該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)的條件下，其次次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為.【答案】/【學(xué)問點(diǎn)】計(jì)算條件概率、獨(dú)立大事的乘法公式【分析】依據(jù)相互獨(dú)立大事的乘法公式和條件概率的計(jì)算公式求解.【詳解】由題意，某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為，設(shè)顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)為大事，其次次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)為大事，則，，，該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)的條件下，其次次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為.故答案為：，.14．已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，為圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若恰為圓的一條直徑，則的最小值為；若，均與圓相切，則的最小值為.【答案】【學(xué)問點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、拋物線方程的四種形式與位置特征【分析】求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)，利用表示并求其最小值，再結(jié)合向量運(yùn)算法則求的最小值，設(shè)，依據(jù)數(shù)量積的定義及二倍角公式利用表示，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求最小值即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，設(shè)，則，，（時(shí)取等號(hào)）.所以，當(dāng)為圓的一條直徑時(shí)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.

當(dāng)，均與圓相切時(shí)，則，設(shè)，則，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取最小值，最小值為.

故答案為：；.15．已知正實(shí)數(shù)m，n，滿足，則的最小值為.【答案】【學(xué)問點(diǎn)】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、基本不等式求和的最小值、用導(dǎo)數(shù)推斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性【分析】，利用函數(shù)單調(diào)性可得，又留意到，后由基本不等式可得答案.【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，則，即在上單調(diào)遞增，則.則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：.三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（本小題滿分14分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)若的面積為，求的值.【答案】(1)；(2)；(3)4.【學(xué)問點(diǎn)】逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、三角形面積公式及其應(yīng)用、二倍角的余弦公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系得，結(jié)合已知及余弦定理得，再由平方關(guān)系求；（2）應(yīng)用二倍角正余弦公式、和角余弦公式求函數(shù)值；（3）由三角形面積公式得，結(jié)合、即可求邊長(zhǎng).【詳解】（1）由于，所以，而，，，；（2）由（1），，；（3）由（1），則，又，則，又，則.17．（本小題滿分15分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的大小；(3)已知點(diǎn)在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，試確定點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析(2)(3)點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)【學(xué)問點(diǎn)】由異面直線所成的角求其他量、面面角的向量求法、證明線面平行【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案；（3）由（2）的空間直角坐標(biāo)系，表示出直線的方向向量，利用線線角的向量公式，建立方程，可得答案.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，如下圖：由于為的中點(diǎn)，所以，由，則，由于，所以四邊形是平行四邊形，則，且，由于在正方形中，且，即且，所以四邊形為平行四邊形，則，由于平面，平面，所以平面.（2）由，則，在正方形中，，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，可得，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的所成角為，則，由，則.（3）由題意作圖如下：設(shè)，則，可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，整理可得，解得，即，由，則，即，故點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn).18．（本小題滿分15分）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，軸，且過兩點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸交于，與軸交于，直線與軸交于，與軸交于．若，求直線的斜率．【答案】(1)；(2).【學(xué)問點(diǎn)】依據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、橢圓中三角形（四邊形）的面積、依據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）依據(jù)橢圓所過的點(diǎn)求參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理，再由直線，直線求交點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)面積關(guān)系得，進(jìn)而求得，即可得.【詳解】（1）設(shè)的方程為且，將兩點(diǎn)代入得，解得，故的方程為．（2）依題意，設(shè)直線，聯(lián)立，消去整理得，則，即，且．直線，直線，令，則，令，則，由，得，即，整理得，由于，所以，解得，所以直線的斜率為．19．（本小題滿分15分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，集合中元素的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，(2)(3)【學(xué)問點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、數(shù)列不等式能成立（有解）問題、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）依據(jù)已知條件可求出等差數(shù)列的公差的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出的表達(dá)式，設(shè)等比數(shù)列的公比為，依據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分別利用裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的和，即可得出；（3）分析可知，集合中元素個(gè)數(shù)等價(jià)于滿足的不同解的個(gè)數(shù)，、進(jìn)行爭(zhēng)辯，推出沖突，可得出，然后利用不等式的基本性質(zhì)可得出解的個(gè)數(shù)，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，該數(shù)列的公差為，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得，解得，則.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，設(shè)數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的和為，則.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，設(shè)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的和為，則，可得，上述兩個(gè)等式作差得，整理可得，所以，.（3）集合中元素個(gè)數(shù)等價(jià)于滿足的不同解的個(gè)數(shù)，若，則，與已知沖突；若，則，與已