1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡潔的應(yīng)用．3.把握函數(shù)的軸對稱和中心對稱公式和推論.4.會利用對稱公式解決問題．1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，假如?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，假如?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.常見奇偶性函數(shù)模型.(1)奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．(2)偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù).1.周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，假如存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．2.最小正周期：假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3.函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);1．對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱.2．函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(2)若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(3)若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.函數(shù)奇偶性的推斷例1(多選)下列命題中正確的是()A．奇函數(shù)的圖象肯定過坐標(biāo)原點B．函數(shù)y＝xsinx是偶函數(shù)C．函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)D．函數(shù)y＝eq\f(x2－x,x－1)是奇函數(shù)【答案】BC【解析】對于A，只有奇函數(shù)在x＝0處有定義時，函數(shù)的圖象過原點，所以A不正確；對于B，由于函數(shù)y＝xsinx的定義域為R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，所以B正確；對于C，函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|的定義域為R關(guān)于原點對稱，且滿足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以C正確；對于D，函數(shù)y＝eq\f(x2－x,x－1)滿足x－1≠0，即x≠1，所以函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以D不正確．推斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)推斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在推斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為推斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．【類題演練1】（2025·湖北武漢·模擬猜測）函數(shù)（

）A．是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞?C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【答案】A【分析】借助函數(shù)奇偶性的定義可推斷函數(shù)奇偶性，借助導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)單調(diào)性.【詳解】的定義域為，，為偶函數(shù)；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.故選：A.【類題演練2】（2025·北京海淀·二模）函數(shù)是（

）A．偶函數(shù)，且沒有極值點 B．偶函數(shù)，且有一個極值點C．奇函數(shù)，且沒有極值點 D．奇函數(shù)，且有一個極值點【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性定義計算以及極值點定義推斷即可.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，由圖可知函數(shù)有一個極大值點.

故選：B.【類題演練3】（2025·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先推導(dǎo)出，即函數(shù)的對稱中心為，再依據(jù)函數(shù)的平移只需將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，則該函數(shù)關(guān)于對稱，即可推斷.【詳解】由于定義域為，則，所以函數(shù)的對稱中心為，所以將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.【類題演練4】（2025·河南·模擬猜測）已知函數(shù)的定義域為R，對于任意實數(shù)x，y滿足，且，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．【答案】C【分析】由條件等式通過取特殊值求，由此推斷A，D，再取特殊值確定，的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義推斷選項B，C.【詳解】由于，，取，可得，又，所以；A對；取，可得，由于，所以，所以為偶函數(shù)，C錯，B對；取，可得，又，；所以，D對；故選：C.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2．（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】A【分析】由已知為偶函數(shù)，可得，列方程求解即可.【詳解】由，得，由于為偶函數(shù)，所以，即，所以，解得.故選：.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)：方法一：特殊值法；方法二：定義法.【類題演練1】（2025·四川綿陽·模擬猜測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知函數(shù)結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】由于是奇函數(shù)，所以，所以，即，所以.故選：A.【類題演練2】（2025·山東菏澤·模擬猜測）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)是奇函數(shù)求出的值，再求出的定義域即可求出的取值范圍.【詳解】，，即，即，，，是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，即，，解得（舍）或，的定義域為，.故選：D.【類題演練3】（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，所以，由此可得的值，進(jìn)而由可得的值.【詳解】由于是定義在R上的奇函數(shù)，所以，解得，則，，所以.故選：B.例3．（2025·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時，的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用時，和可求得的解析式.【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，.即.故選：C【類題演練1】（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，的表達(dá)式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)奇函數(shù)定義，結(jié)合的解析式直接求解即可.【詳解】當(dāng)時，，，又為奇函數(shù)，，即當(dāng)時，.故選：B.【類題演練2】（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意可得，由函數(shù)的奇偶性可得，解之即可求解.【詳解】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：B例4．（2025·山西·三模）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先推斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再依據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，由于與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，即，等價于，解得或，所以不等式的解集為.故選：C【類題演練1】（2025·湖南永州·三模）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式可得在上單調(diào)遞增，令g，從而可得在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，從而可化為，求解即可.【詳解】，在上單調(diào)遞增.令，在上單調(diào)遞增，由于，所以為奇函數(shù)，則化為所以，解得，.故選：C【類題演練2】（2025·江西·模擬猜測）已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性計算即可.【詳解】由，可得，由于是奇函數(shù)，且，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以，故不等式的解集為．故選：D【類題演練3】（2025·安徽安慶·三模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)圖象經(jīng)過點得到解析式，再由單調(diào)性和奇偶性化簡不等式即可求解.【詳解】由題意知，解得，所以，其在上單調(diào)遞增，又由于，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，所以不等式可化為，于是，即，解得或.故選：C．【類題演練4】（2025·云南貴州·二模）若函數(shù)的定義域為且圖象關(guān)于軸對稱，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分析不等式在上的解，再依據(jù)對稱性得出不等式在上的解即可.【詳解】由于在上是增函數(shù)且，所以在范圍內(nèi)的解為.由于函數(shù)在定義域上圖象關(guān)于軸對稱，所以在內(nèi)的解為，所以不等式在R內(nèi)的解為.故選：C函數(shù)的對稱性例5．（2025·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為增函數(shù) B．有兩個零點C．的最大值為2e D．的圖象關(guān)于對稱【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)爭辯函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項依次計算，即可求解.【詳解】A：，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；B：由選項A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在R上沒有零點，故B錯誤；C：由選項A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯誤；D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：D【類題演練1】（2025·四川瀘州·一模）函數(shù)的對稱中心為．【答案】【分析】依題意可得，再依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的平移變換推斷即可.【詳解】由于，則的圖象可以由函數(shù)向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到，由于為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以關(guān)于對稱.故答案為：【類題演練2】（2025·遼寧·三模）若函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱，則的值可以為．（寫出一個正確的值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】依據(jù)題意化簡，依據(jù)誘導(dǎo)公式分別計算與，得，即可確定函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱.【詳解】由于，即，所以化簡得：，又，化簡得：，所以有，所以函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱.故答案為：(答案不唯一)例6．（2025·江西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意，可得關(guān)于對稱，進(jìn)一步求得，結(jié)合條件求得，可求得.【詳解】由，可知關(guān)于對稱，又，則，又，則，，.故選：A.【類題演練1】（2025·福建泉州·模擬猜測）已知為奇函數(shù)，則（

）A．6 B．5 C． D．【答案】D【分析】依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)對函數(shù)依次賦值即可求解.【詳解】由題為奇函數(shù)，則，所以，所以關(guān)于對稱，所以，故選：D.【類題演練2】（2025·全國·模擬猜測）若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】特殊值法：由圖象關(guān)于點對稱可得代入計算求解，然后檢驗即可.【詳解】解：的圖象關(guān)于點對稱，，即，解得，經(jīng)檢驗知的圖象關(guān)于點對稱，故選：C.【類題演練3】（23-24高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）函數(shù)滿足：對，都有，則a+b為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】依據(jù)題意易得方程組，解出方程組即可得結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)滿足：對，都有，所以，即，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，所以，故選：C.【類題演練4】若函數(shù)，則的值為（

）A．2025 B．4042 C．4044 D．8084【答案】D【分析】依據(jù)函數(shù)解析式，計算，結(jié)果等于4，推得函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱，由此利用函數(shù)的對稱性，即可求得答案.【詳解】由題意函數(shù)，定義域為，則，故，即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，故，故，故選：D【類題演練5】（2025·寧夏銀川·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則．【答案】/0.75【分析】求出函數(shù)的定義域，利用對稱性的特征可得定義域關(guān)于數(shù)對稱，再利用特值求出并驗證即得.【詳解】函數(shù)的定義域為，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得的定義域關(guān)于數(shù)對稱，則，此時必有，即，解得，此時，因此函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即滿足題意，所以.故答案為：例7．（2025·甘肅張掖·模擬猜測）已知直線是函數(shù)圖象的對稱軸，則函數(shù)的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】依據(jù)函數(shù)圖象的平移變換即可推斷AB；令，即可推斷C；依據(jù)即可推斷D.【詳解】A：函數(shù)圖象由圖象沿軸向右平移1個單位，再把軸下方的圖象關(guān)于軸對稱翻折到軸上方，故關(guān)于直線對稱，故A正確；B：函數(shù)的圖象是由圖象沿軸向右平移1個單位得到的，而函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，其圖象沿軸向右平移1個單位后的圖象剛好關(guān)于直線對稱，故B正確；C：令，則該函數(shù)的對稱軸為直線，故符合題意，故C正確；D：，明顯，故此函數(shù)不是關(guān)于直線對稱的，故D錯誤.故選：ABC.【類題演練1】（2025·河北衡水·一模）已知函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，則函數(shù)的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】依次驗證各選項中的函數(shù)是否滿足即可.【詳解】若的圖象的對稱軸方程為，則；對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，，，即不恒成立，C錯誤；對于D，，D正確.故選：BD.【類題演練2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)y＝g（x）的圖象與y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則g（x）＝．【答案】ln（4－x）【分析】利用對稱的定義求解即可.【詳解】在函數(shù)y＝g（x）的圖象上任取一點（x，y），則點（x，y）關(guān)于直線x＝2對稱的點為（4－x，y），且點（4－x，y）在函數(shù)y＝lnx的圖象上，所以y＝ln（4－x）,即,故答案為：函數(shù)的周期性例81．（2025·全國·模擬猜測）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．有零點 B．是單調(diào)函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】D【詳解】依據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)即可由或均為有理數(shù)求解A，依據(jù)即可推斷單調(diào)性求解B，依據(jù)和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，即可求解C，依據(jù)和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)即可求解D.【分析】對于A，由于或均為有理數(shù)，所以，故沒有零點，A錯誤，對于B，由于，所以，故不是單調(diào)函數(shù)，B錯誤，對于C，由于和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，所以，故是偶函數(shù)，C錯誤，對于D，設(shè)為任意非零有理數(shù)，則和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，所以，故是周期函數(shù)（以任意非零有理數(shù)為周期），D正確，故選：D.【類題演練】（2025·陜西西安·模擬猜測）已知函數(shù)的周期是3，則的周期為（

）．A． B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】依據(jù)函數(shù)周期的定義，求解即可．【詳解】由于的周期是3，所以，令，則，所以的周期為6，故選：C．例9．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且，則在區(qū)間上的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)周期性求函數(shù)解析式.【詳解】由于函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以時，，所以，即，故選：C【類題演練1】已知是定義域為的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意，先分析函數(shù)的周期，由此可得，結(jié)合已知函數(shù)的解析式計算可得答案．【詳解】由于是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，即，所以，所以，可得，所以的最小正周期為，又當(dāng)時，，當(dāng)時，則，所以，又由是周期為的奇函數(shù)，則，故，.故選：D．【類題演練2】設(shè)奇函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，則在區(qū)間上的表達(dá)式為A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得原函數(shù)的周期，再結(jié)合奇偶性，把自變量的范圍轉(zhuǎn)化到上，則f(x)在區(qū)間上的表達(dá)式可求．【詳解】當(dāng)時，，又∵當(dāng)時，，又，函數(shù)的周期為，又∵函數(shù)是R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，．故選：B．【點睛】本題綜合考查函數(shù)的周期性?奇偶性，以及函數(shù)解析式的求法．要留意函數(shù)性質(zhì)的機(jī)敏轉(zhuǎn)化，是中檔題．一般這類求函數(shù)解析式的題目是求誰設(shè)誰，再由周期性或者奇偶性將要求的區(qū)間化到所給的區(qū)間內(nèi)．例10.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝－f(x)，且當(dāng)1≤x≤2時，f(x)＝x－1，則f(72)A.eq\f(5,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)2答案D解析∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，又∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為4，∴f(72)＝－eq\f(1,2).【類題演練】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若f(1)＝1，則f(2023)＝________.【答案】－1【解析】由于函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.函數(shù)奇偶性、對稱性和周期性的綜合應(yīng)用例11.（多選題）（2025·江西·模擬猜測）已知函數(shù)對任意的，，都有，且，，則（

）A． B．是奇函數(shù) C．的周期為4 D．，【答案】ACD【分析】令，即可推斷A；令，即可推斷B；令，求出，再令，即可推斷C；依據(jù)C選項可求出，再依據(jù)函數(shù)的周期性即可推斷D.【詳解】由，令，則，又，所以，故A正確；令，則，所以，所以是偶函數(shù)，故B錯誤；令，則，所以，令，則，所以，即，所以，所以的周期為4，故C正確；由，得，所以，故D正確.故選：ACD.【類題演練1】（2025·四川·模擬猜測）已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)可得與，分別對兩式兩邊求導(dǎo)可得與，進(jìn)而可得的一個周期，結(jié)合賦值法及周期性推斷各項即可.【詳解】由于為奇函數(shù)，所以，①由于為偶函數(shù)，所以，②對①兩邊求導(dǎo)可得，即，③對②兩邊求導(dǎo)可得，即，④對于A項，將代入②可得，故A項正確；對于B項，將代入④可得，故B項正確；對于C項，將代入④可得，將代入③可得，所以，故C項錯誤；對于D項，由③可得，即，⑤所以由④⑤可得，⑥所以由⑥可得，即，⑦由⑦可得，⑧所以由⑦⑧可得，故8是的一個周期.所以，將代入④可得，即，由C項知，，將代入⑦可得，即，所以，故D項正確.故選：C.【類題演練2】（2025·湖北黃岡·二模）已知函數(shù)的定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性推出的周期為4，最終再計算出一個周期內(nèi)的各值即可.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，所以有，又由于為偶函數(shù)，所以，于是有，所以函數(shù)的周期為4，由于，所以，所以，于是，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是依據(jù)奇偶性推導(dǎo)出周期性，再通過合理賦值求出周期內(nèi)各整數(shù)值的和即可.一、單選題1．（21-22高一上·廣東珠?！て谀┫铝泻瘮?shù)中是偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，對于B，定義域為全體實數(shù)，且，故為偶函數(shù)，對于C，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)，對于D，的定義域為全體實數(shù)，但是，故為奇函數(shù)，故選：B2．（2025·山東泰安·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得的值，結(jié)合計算即可.【詳解】由題意得，函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為，由奇函數(shù)的性質(zhì)得，，解得，經(jīng)過檢驗符合題意，所以當(dāng)時，，所以.故選：D.3．（2025·四川樂山·一模）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意，利用函數(shù)的為奇函數(shù)，及，時，，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排解A項，又由，排解B項，當(dāng)時，，排解C項，所以選項D符合題意.故選：D.4．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知函數(shù)且是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】利用偶函數(shù)的定義求解參數(shù)即可.【詳解】由于且是偶函數(shù)，所以，，因此：，（舍負(fù)），故選：D．5．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)滿足，則的圖象的對稱軸是（

）A．軸 B．軸 C．直線 D．不能確定【答案】B【分析】對已知等式變形，可推斷其為偶函數(shù)，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】由于，所以，所以為偶函數(shù)，所以的圖象的對稱軸為軸．故選：B6．（2025·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，明顯可得.故選：A【點睛】方法點睛：爭辯抽象函數(shù)性質(zhì)時，可依據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進(jìn)而實現(xiàn)問題求解.7．（2025·寧夏石嘴山·三模）如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚紋組成的圖案．定義：能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”，則下列說法錯誤的是（

）A．對于任意一個圓，其“太極函數(shù)”有很多個B．函數(shù)可以是某個圓的“太極函數(shù)”C．正弦函數(shù)可以同時是很多個圓的“太極函數(shù)”D．是“太極函數(shù)”的充要條件為“的圖象是中心對稱圖形”【答案】D【分析】依據(jù)“太極函數(shù)”的概念，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項推斷即可得結(jié)論.【詳解】任意一個圓是關(guān)于圓心的中心對稱圖形，其“太極函數(shù)”有很多個，故A正確；函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象過原點且關(guān)于原點對稱，將圓的圓心放在坐標(biāo)原點上，則是該圓的“太極函數(shù)”，故B正確；將圓的圓心放在正弦函數(shù)的對稱中心上，則正弦函數(shù)是該圓的“太極函數(shù)”，故有很多個圓成立，故C正確；函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，比如，不是就太極函數(shù)，即不肯定是“太極函數(shù)”，函數(shù)是“太極函數(shù)”時，圖象也不肯定是中心對稱圖形，如圖，故D錯誤．故選：D．8．（2025·陜西榆林·一模）定義在R上的函數(shù)，滿足，，，，則下列說法中錯誤的是（

）A．是函數(shù)圖象的一條對稱軸B．2是的一個周期C．函數(shù)圖象的一個對稱中心為D．若且，，則n的最小值為2【答案】D【分析】由已知可推得關(guān)于直線對稱，.又有.進(jìn)而得出，即有，即可得出B項；依據(jù)的周期可得出的周期為4，結(jié)合的對稱性，即可得出A項；由的對稱中心，即可得出關(guān)于點對稱，結(jié)合的性質(zhì)，即可得出C項；依據(jù)的周期性以及對稱性可得，，然后分爭辯求解，即可推斷D項.【詳解】由可得，所以關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于直線對稱，即關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于直線對稱，所以有，所以有，所以.又由可得，，所以關(guān)于點對稱，所以.對于B項，由于，，所以，，所以，所以，的周期為，故B項正確；對于A項，由已知周期為2，所以的周期為4.由于關(guān)于直線對稱，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故A項正確；對于C項，關(guān)于點對稱，所以關(guān)于點對稱，所以關(guān)于點對稱，所以.又關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以有，所以函數(shù)圖象的一個對稱中心為，故C項正確；對于D項，由C知，關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，所以，，，所以.又的周期為4，所以對，.由于，則當(dāng)時，有.由于，所以，不滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，，滿足題意.故n的最小值為3，D錯誤.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：依據(jù)已知關(guān)系式可得出的對稱軸，進(jìn)而依據(jù)的關(guān)系，即可推得的對稱軸，結(jié)合的對稱中心，即可得出的周期.二、多選題9．（2025·山東·二模）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．的最小正周期為C．的最小值為 D．在上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】對于A，直接用奇函數(shù)的定義驗證；對于B，直接說明不是周期；對于C，利用正弦二倍角公式證明，再由可得最小值；對于D，直接計算得到，即可否定結(jié)論.【詳解】對于A，函數(shù)定義域為，有，所以是奇函數(shù)，A正確；對于B，有，.所以，這表明不是的周期，B錯誤；對于C，我們有，而之前已計算得到，故的最小值為，C正確；對于D，由于，，故，所以在上并不是單調(diào)遞增的，D錯誤.故選：AC.10．（2025·江蘇·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且不是常函數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A．若2為的周期，則為奇函數(shù)B．若為奇函數(shù)，則2為的周期C．若4為的周期，則為偶函數(shù)D．若為偶函數(shù)，則4為的周期【答案】ABD【分析】對于A：由已知可得，結(jié)合周期可得可推斷A；由奇函數(shù)可得，可推斷B；結(jié)合已知可得結(jié)論，可推斷C；由已知可得，可推斷D.【詳解】對于A：若2是的周期，則，由，可得，所以，所以為奇函數(shù)；故A正確；對于B：若為奇函數(shù)，則，由，可得，所以2是的周期，故B正確；若4是的周期，設(shè)，則，該函數(shù)的最小周期為，故為該函數(shù)的周期，當(dāng)該函數(shù)為奇函數(shù)，故C不正確；對于D