目錄第1章

復(fù)變函數(shù)

1.1復(fù)數(shù)的概念及運算1.2復(fù)變函數(shù)的概念1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4解析函數(shù)1.5幾種簡單的解析函數(shù)1.6多值函數(shù)第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用1.1復(fù)數(shù)的概念及運算1.復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的定義一個復(fù)數(shù)z可以表示成

(2)復(fù)數(shù)的矢量表示式如果把復(fù)數(shù)的實部

x和虛部

y

看成是平面直角坐標系中的一點(x，y)，則復(fù)數(shù)

z與平面上的點是一一對應(yīng)的，稱該平面為復(fù)平面，見圖1-1。也就是說，一個復(fù)數(shù)與平面直角坐標系中的一個矢量相對應(yīng)。(3)復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示式如果將平面直角坐標系(x，y)變換成平面極坐標系(r，θ)，即則復(fù)數(shù)z

在平面極坐標系中的表示式為其中r=z是復(fù)數(shù)的模；θ是復(fù)數(shù)的輻角，記作Argz。1.復(fù)數(shù)的概念(4)復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式利用歐拉公式，也可以把復(fù)數(shù)寫成指數(shù)形式的表示式，即注意，一個復(fù)數(shù)的輻角不是唯一的，它可以任意增加或減少2π的整數(shù)倍，即其中argz∈[0，2π]，為主輻角。(5)共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)

z

對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)為或即z與z*

是一對共軛復(fù)數(shù)，它們的模相等，且關(guān)于實軸對稱。2.復(fù)數(shù)的運算法則令兩個復(fù)數(shù)分別為

z1=x1+iy1

及z2=x2+iy2，則有加(減)法規(guī)則：乘法規(guī)則：除法規(guī)則：

2.復(fù)數(shù)的運算法則

它有兩個值，分別為2.復(fù)數(shù)的運算法則證明(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)。解：根據(jù)式(1.1-13)，令r=1，則有 (eiθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)根據(jù)歐拉公式，有eiθ

=cosθ+isinθ，將它代入上式的左邊，則可以得到該式稱為棣莫弗公式。1.2復(fù)變函數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)的概念當復(fù)變量

z=x+iy

在復(fù)平面上某個點集E(復(fù)數(shù)的集合)中連續(xù)變動時，有一個或多個復(fù)數(shù)值w與之相對應(yīng)，則稱w為復(fù)變量

z的函數(shù)，即復(fù)變函數(shù)與復(fù)變量

z=x+iy

一樣，復(fù)變函數(shù)

f(z)也可以用實部和虛部來表示不過它的實部u(x，y)和虛部v(x，y)都是實變量x

和y

的二元函數(shù)，即一個復(fù)變函數(shù)是兩個二元函數(shù)的有序組合。2.區(qū)域的概念在復(fù)變函數(shù)論中，通常討論的是一種特殊性質(zhì)的復(fù)變函數(shù)，即解析函數(shù)(其定義將在后面給出)。對于這類函數(shù)，其定義域不是一般的點集，而是滿足一定條件的特殊點集，稱之為區(qū)域，用D

表示。下面先介紹幾個與區(qū)域有關(guān)的概念：(1)鄰域：以復(fù)數(shù)z0為圓心，以任意小的正實數(shù)ε

為半徑作一個圓，則圓內(nèi)所有點的集合稱為z0的鄰域。(2)內(nèi)點：若z0及其鄰域均屬于點集E，則稱z0為點集的內(nèi)點。(3)外點：若z0及其鄰域均不屬于點集E，則稱z0為點集的外點。(4)邊界點：若在z0的每個鄰域內(nèi)，既有屬于點集E

的點，也有不屬于點集E

的點，則稱z0為點集的邊界點。邊界點的全體稱為邊界或邊界線。(5)區(qū)域：區(qū)域就是復(fù)變量z

在復(fù)平面上的取值范圍，但嚴格地說，它是應(yīng)滿足如下兩個條件的點集：①全部由內(nèi)點構(gòu)成；②具有連通性，即點集中的任意兩個點均可以用一條折線連接起來，且折線上的點全部

屬于該點集。2.區(qū)域的概念

1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性與實變函數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)也有它的極限和連續(xù)性。復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定義為：當復(fù)變量z在復(fù)平面上趨于某一定點z0

時，與之對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)

f(z)也趨于一個確定的值

f(z0)，即由于復(fù)變函數(shù)

f(z)可以用兩個二元實變函數(shù)u(x，y)和v(x，y)來表示[見式(1.2-2)]，這樣復(fù)變函數(shù)

f(z)的連續(xù)性則歸結(jié)于這兩個二元函數(shù)的連續(xù)性問題，即盡管在形式上復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性與實變函數(shù)相同，但由于兩者的變量的變化范圍不同(一個是在復(fù)平面上變化，另一個是在實軸上變化)，因此兩者的實際含義是不同的。2.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

w=

f(z)是區(qū)域D

中的單值函數(shù)，即對于

D

的每一個z

值，只有一個

w值與之相對應(yīng)。若對于D

內(nèi)某點z，有極限存在，且與Δz→0的方式無關(guān)，則稱函數(shù)

w=f(z)在z

點的導(dǎo)數(shù)存在，并記為對于復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需要做如下幾點說明：(1)若

f(z)在z點可導(dǎo)，則它一定在z

點連續(xù)；反之，不一定成立。例如，對于

f(z)=x，它在全平面上連續(xù)，但卻是處處不可導(dǎo)，這是因為的值與Δz→0的方式有關(guān)。例如，當Δz沿著實軸趨于零時，即y=0，Δx→0，上式的極限值為1；當Δz

沿著虛軸趨于零時，即x=0，Δy→0，上式的極限值為0。2.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)可以看出，復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上與實變函數(shù)的定義完全相同。因此，可以把實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)規(guī)則應(yīng)用到復(fù)變函數(shù)上，如(3)雖然在形式上復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義相同，但實質(zhì)上兩者有很大的差別。對于實變函數(shù)

f(x)，它的導(dǎo)數(shù)存在，要求Δx沿著實軸趨于零；而對于復(fù)變函數(shù)

f(z)，它的導(dǎo)數(shù)存在，則要求Δz

可以在復(fù)平面上沿任一條路徑趨于零。因此，與實變函數(shù)相比，對復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性存在的要求要苛刻得多。3.柯西-黎曼條件如果復(fù)變函數(shù)

f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在區(qū)域D

中的導(dǎo)數(shù)存在，則有式(1.3-3)稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)條件(或簡稱C-R條件)。下面對這個條件進行證明。由于函數(shù)

f(z)可導(dǎo)，則有當Δz沿著平行于實軸的方向趨于零時，有Δy=0，Δx→0，則有當Δz

沿著平行于虛軸的方向趨于零時，有Δy→0，Δx=0，則有由于

f(z)的導(dǎo)數(shù)存在與Δz→0的方式無關(guān)，這樣式(1.3-5)的右邊應(yīng)與式(1.3-6)的右邊相等，由此可以得到C-R條件。證明函數(shù)cosz的實部和虛部滿足C-R條件。解：由函數(shù)cosz的定義，有由此可以得到即cosz

的實部和虛部滿足C-R條件。3.柯西-黎曼條件在平面極坐標系(r，θ)中，利用z=reiθ

及Δz=(Δr+irΔθ)eiθ，則類似地可以證明：極坐標系中的C-R條件為1.4解析函數(shù)1.解析函數(shù)的定義如果一個復(fù)變函數(shù)

f(z)在區(qū)域D

中處處可導(dǎo)，則稱

f(z)為解析函數(shù)。因此，我們判斷一個函數(shù)

f(z)是否解析，首先應(yīng)確定在所討論的區(qū)域內(nèi)該函數(shù)的實部和虛部是否滿足C-R條件。例如，對于冪函數(shù)

f(z)=zn

或指數(shù)函數(shù)

f(z)=ez，可以驗證它們在全平面上都是解析的。需要說明的是，解析函數(shù)的定義要求該函數(shù)在考慮的區(qū)域中是處處可導(dǎo)的。這樣，如果一個函數(shù)在某一點解析，則在該點一定可導(dǎo)，反之卻不一定成立。也就是說，復(fù)變函數(shù)

f(z)在某點上的可導(dǎo)與解析是不等價的，只有在所考慮的全區(qū)域中，函數(shù)的解析與可導(dǎo)才是等價的。2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)我們將在§2.3節(jié)中證明，如果一個函數(shù)在某個區(qū)域解析，則它的高階導(dǎo)數(shù)存在，即它的實部和虛部的高階偏導(dǎo)都是存在的。這樣根據(jù)C-R條件可以得到及方程(1.4-1)或(1.4-2)是一個典型的二維拉普拉斯方程。如一個二元函數(shù)u(x，y)或v(x，y)滿足二維拉普拉斯方程，則這個函數(shù)被稱為調(diào)和函數(shù)?？梢?，解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，而且還是一對共軛的調(diào)和函數(shù)。2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)如果我們把一個調(diào)和函數(shù)看成是一個解析函數(shù)的實部(或虛部)，并利用C-R條件求出相應(yīng)的虛部(或?qū)嵅?，就可以確定出這個解析函數(shù)。例如，假設(shè)函數(shù)u(x，y)是一個調(diào)和函數(shù)，并把它看作是一個解析函數(shù)的實部。這樣，它的虛部的全微分為利用C-R條件，則可以進一步得到于是，可以得到計算v(x，y)的方法有如下三種：(1)曲線積分法

我們知道，一個無源的靜電勢函數(shù)要滿足拉普拉斯方程，而且由于它是一個保守勢，對應(yīng)的靜電力所做的功與路徑無關(guān)?，F(xiàn)在u(或v)是調(diào)和函數(shù)，就相當于一個靜電勢函數(shù)，因此式(1.4-5)中的積分與路徑無關(guān)。這樣，我們可以選取某種特殊的路徑，使得積分容易算出。如選取積分路徑為(0，0)→(x，0)→(x，y)，這樣可以把式(1.4-4)寫成其中c為積分常數(shù)。2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)(2)湊成全微分法

對于某些特殊形式的調(diào)和函數(shù)，可以把式(1.4-5)的右端湊成一個全微分，這樣就自然求出積分了。(3)不定積分法

在這種方法中，可以先假定x(或y)不變，對y(或x)進行積分。例如，先假定x

不變，這樣可以將式(1.4-5)寫成或先假定y

不變，有然后，再利用C-R條件，確定待定函數(shù)φ(x)或ψ(y)。已知調(diào)和函數(shù)u(x，y)=xy是某個解析函數(shù)的實部，確定這個解析函數(shù)的形式。解：根據(jù)u(x，y)=xy，可以得到2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)(3)不定積分法根據(jù)式(1.4-7)，可以得到

完成對x

的積分后，最后得到最后，我們得到解析函數(shù)

f(z)的形式為2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)下面采用上述三種不同的方法來確定出這個解析函數(shù)的虛部v(x，y)。(1)曲線積分法根據(jù)式(1.4-6)，可以得到(2)湊成全微分法直接根據(jù)式(1.4-5)，可以得到1.5幾種簡單的解析函數(shù)1.5幾種簡單的解析函數(shù)對于實變函數(shù)，有一些初等的函數(shù)，如冪函數(shù)xn，指數(shù)函數(shù)ex，三角函數(shù)sinx

和cosx等。對于復(fù)變函數(shù)，同樣也有這樣一些簡單的函數(shù)，如zn，ez，sinz

及cos

等?？梢詫⑦@些初等復(fù)變函數(shù)看成是初等實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣，但它們之間的性質(zhì)有著許多本質(zhì)的不同。(1)冪函數(shù)

對于多項式也具有與冪函數(shù)相同的性質(zhì)，其中系數(shù)an

為復(fù)常數(shù)。1.5幾種簡單的解析函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)可以證明指數(shù)函數(shù)在全復(fù)平面上解析，且但在無窮遠點無定義，因為很容易驗證它沿實軸和虛軸趨于無窮的極限不一樣。此外，很容易證明復(fù)變指數(shù)函數(shù)具有周期性，其周期為2πi，即ez=ez+2πi。(3)三角函數(shù)可以證明，sinz與cosz

在全復(fù)平面上解析，且有1.5幾種簡單的解析函數(shù)應(yīng)注意，由于z

是復(fù)變量，sinz

及cosz

的絕對值可以大于1，這一點與對應(yīng)的實變函數(shù)不同。如可見有|sin(i)|>1及|cos(i)|>1。盡管它們各自的絕對值大于1，但卻遵從實數(shù)三角函數(shù)的公式：此外，這兩種三角函數(shù)的周期為2π，這一點與實變函數(shù)相同。對于其他復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)，如tanz，cotz，secz

及cscz，可以用sinz

和cosz

來定義，其形式與實變量的情況是一樣的。(4)雙曲函數(shù)它們在全復(fù)平面上處處解析，且它們的周期為2πi。1.6多值函數(shù)1.6多值函數(shù)在§1.1節(jié)中我們已經(jīng)看到，對于某些復(fù)數(shù)，如根式和自然對數(shù)，具有多值性。同樣，對于一些復(fù)變函數(shù)也具有多值性，如根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)及反雙曲函數(shù)等。下面以根式函數(shù)為例，介紹一下多值函數(shù)的一些基本概念。為了更清楚地看出它的多值性，我們令這樣有由此可以得到其中argz

是z

的主輻角。顯然，對于給定的一個z，有兩個w

與之相對應(yīng)：通常稱w1

和w2

是多值函數(shù)

f(z)=z的兩個單值分支。這種函數(shù)的多值性來源于宗變量z

的多值性。1.6多值函數(shù)

從以上分析可以看出，對于函數(shù)w=z，z=0點具有這樣的特征：當z繞著它一周回到原處時，多值函數(shù)w=z由一個分支進入另外一個分支。具有這種性能的點稱為多值函數(shù)的支點。除了z=0點外，可以驗證無窮遠點z=∞也是多值函數(shù)w=z的一個支點。令t=1/z，則w(z)=w(t)=1/t。當

t繞

t=0一周回到原處時，w(t)的值不還原，因此t=0是多值函數(shù)w(t)=1/t的支點，即z=∞是多值函數(shù)w(z)=z的一個支點。1.6多值函數(shù)

在上平面T1

上，從z=0開始，沿正實軸方向至無窮遠點將其割開，并規(guī)定割線的上下沿分別對應(yīng)于Argz=0和Argz=2π。這樣，當z

在平面T1

上變化時，只要不跨越該割線，它的輻角就被限制在0≤Argz≤2π，相應(yīng)的函數(shù)

w(z)的值位于上半平面，即0≤Argw≤π，見圖1-5(a)。1.6多值函數(shù)在平面T2

上，也作類似的割線，但割線的上下沿分別對應(yīng)于Argz=2π和Argz=4π。同樣，當z在平面T2上變化時，只要不跨越該割線，它的輻角就被限制在2π≤Argz≤4π，相應(yīng)的函數(shù)w(z)的值位于下半平面，即π≤Argw≤2π。由于在割開的兩個平面上，宗變量z變化時均不得跨越割線，這樣任何閉合曲線都不把支點z=0包含在內(nèi)。因此，函數(shù)w=z也只能在一個單值分支上變化。進一步地，將平面T1

和T2按如下方式進行連接：將平面T1

的割線上緣(Argz=0)與平面T2

的下緣(Argz=4π)連接起來，而將平面T1的割線下緣(Argz=2π)與平面T2的上緣(Argz=2π)連接起來。這樣就構(gòu)成了一個雙葉面，并稱為函數(shù)w=z的黎曼面。

在上平面T1

上，從z=0開始，沿正實軸方向至無窮遠點將其割開，并規(guī)定割線的上下沿分別對應(yīng)于Argz=0和Argz=2π。這樣，當z

在平面T1

上變化時，只要不跨越該割線，它的輻角就被限制在0≤Argz≤2π，相應(yīng)的函數(shù)

w(z)的值位于上半平面，即0≤Argw≤π，見圖1-5(a)。目錄第2章

復(fù)變函數(shù)的積分

2.1復(fù)變函數(shù)積分的概念2.2柯西定理2.3柯西公式2.4泊松積分公式第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用2.1復(fù)變函數(shù)積分的概念2.1復(fù)變函數(shù)積分的概念設(shè)c為復(fù)平面上的一條分段光滑的曲線，復(fù)變函數(shù)

f(z)在該曲線上有定義?，F(xiàn)在把該曲線分成n段，如圖2-1所示。設(shè)τk

是[zk-1，zk]段上的任意一點，作如下求和其中當n

→∞時，使得Δzk=zk-zk-1

→0。如果這個求和的極限存在，而且與τk

點的選取無關(guān)，則這個求和的極限值就是函數(shù)

f(z)沿著該曲線的積分，記為由于z=x+iy

及

f(z)=u(x，y)+iv(x，y)，則可以把式(2.1-1)的積分寫成2.1復(fù)變函數(shù)積分的概念由此可見，一個復(fù)變函數(shù)的積分可以歸結(jié)為兩個實變函數(shù)的積分。因此，實變函數(shù)的一些積分性質(zhì)對復(fù)變函數(shù)的積分也適用。例如：(1)函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和：(2)全路徑上的積分等于各段積分之和：(3)反轉(zhuǎn)積分路徑，積分改變符號：其中cˉ

表示與c相同但走向相反的曲線。(4)積分不等式：其中

M

是f(z)在曲線c上的最大值，L

是曲線c的長度。計算積分I=∫cRezdz

的值，其中積分路徑c分別為如圖2-2所示。解：(1)沿著c1

的積分(2)沿著c2

的積分(3)沿著c

的積分令z=(1+i)t，則dz=(1+i)dt，Rez=t，則由此可見，對于不同的積分路徑，積分的值也不同。2.1復(fù)變函數(shù)積分的概念在一般情況下，復(fù)變函數(shù)的積分不僅依賴于被積函數(shù)和積分的起點與終點，還與積分的路徑有關(guān)。下節(jié)將看到，僅對于解析函數(shù)，積分才與路徑無關(guān)。下面舉例進行說明。2.1復(fù)變函數(shù)積分的概念計算積分的值，其中c是一個以a(為任意復(fù)常數(shù))為圓心，以ρ

為半徑的圓周(ρ

為定值)，n

為整數(shù)。解：設(shè)z-a=ρeiθ，則dz=iρeiθdθ，當n=1時，上面的積分為2πi；當n≠1時，積分則為零。這樣，有這是一個很重要的積分結(jié)果，后面要用到。2.2柯西定理1.單連通區(qū)域的柯西定理

利用格林公式可以分別把式(2.2-2)右端的兩個線積分轉(zhuǎn)化成面積分1.單連通區(qū)域的柯西定理其中S

為閉合圍道c所包含的面積。由于

f(z)在該區(qū)域中解析，它的實部u(x，y)及虛部v(x，y)應(yīng)滿足C-R條件，見式(1.3-3)，因此上式右邊的兩個積分均為零。這樣就證明了柯西定理。推論：在單連通區(qū)域中解析函數(shù)于

f(z)的積分值只依賴于積分的起點和終點，與積分的路徑無關(guān)。證明：設(shè)c1

及c2

是單連通區(qū)域D

內(nèi)從A

點到B

點的任意兩條曲線，如圖2-3所示。根據(jù)柯西定理，則有其中c2ˉ表示與c2相同但走向相反的曲線。利用復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì)，見式(2.1-3)及式(2.1-5)，則有可見積分與路徑無關(guān)。根據(jù)這個推論，人們在計算解析函數(shù)的積分時，可以在所考慮的單連通區(qū)域內(nèi)改變積分路徑，使得積分容易算出。另外，這個推論也表明，解析函數(shù)的實部或虛部可以代表物理學中的保守勢函數(shù)，如靜電勢、引力勢等，因為與勢函數(shù)相對應(yīng)的力在兩點之間所做的功與路徑無關(guān)。2.復(fù)連通區(qū)域的柯西定理所謂的復(fù)連通區(qū)域，就是指在該區(qū)域D

內(nèi)，只要有一個簡單的閉合曲線，其內(nèi)有不屬于D

內(nèi)的點，則區(qū)域D

就是復(fù)連通區(qū)域。復(fù)連通區(qū)域的柯西定理：如果函數(shù)

f(z)是復(fù)連通區(qū)域D

中的單值解析函數(shù)，則有其中c0

為區(qū)域外邊界線，c1，c2，…cn

是內(nèi)邊界線。證明：考慮如圖2-4所示的復(fù)連通區(qū)域，其中c0

為外邊界，c1

及c2

為內(nèi)邊界。分別作割線ab，a'b'，cd及c'd'來連接區(qū)域的內(nèi)外邊界。這樣，就把原來的復(fù)連通區(qū)域變成了單連通區(qū)域，從而有由于f(z)是單值解析函數(shù)，它沿同一割線兩邊緣上的積分相互抵消，則有將其推廣到有n

個內(nèi)邊界線的情況，即可以得到式(2.2-4)。設(shè)a

是任意閉合圍道c0內(nèi)的一點，證明有下式成立

再根據(jù)本章第一節(jié)得到的結(jié)果[式(2.1-8)]，即可以得到證明。2.復(fù)連通區(qū)域的柯西定理將式(2.2-4)的求和項移到等號的右邊，并反轉(zhuǎn)內(nèi)邊界線的走向，則可以得到即這說明，函數(shù)

f(z)沿著內(nèi)外邊界線的積分相等，但兩者都是沿著逆時針方向進行積分的。

其中所以有I=πi-πi=0。2.復(fù)連通區(qū)域的柯西定理2.3柯西公式2.3柯西公式

2.3柯西公式即利用如下積分公式見式(2.1-8)，則可以把式(2.3-2)改寫成將上式兩邊取絕對值，并利用復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì)[式(2.1-6)]，則可以得到2.3柯西公式

即這就證明了柯西公式。由式(2.3-1)可以看出，借助于柯西公式，可以把一個解析函數(shù)

f(z)在區(qū)域內(nèi)任一點a的值

f(a)用沿著邊界線c的回路積分來表示。柯西公式的重要應(yīng)用之一，就是用它來計算一些積分，但有兩個前提條件：(1)函數(shù)

f(z)在閉合圍道c內(nèi)是解析的；(2)點z=a一定要位于閉合圍道c內(nèi)。關(guān)于柯西公式，還要做如下幾點說明：(1)由于a是任意取的，通常將a

換成z，將積分變量用ζ來表示，則可以將柯西公式改寫為2.3柯西公式(2)對于復(fù)連通區(qū)域中的解析函數(shù)

f(z)，柯西公式仍然成立，只是把邊界線c理解為所有的邊界線，且其方向均取正向。(3)如果函數(shù)

f(z)在閉區(qū)域D

內(nèi)解析，則在D

內(nèi)

f(z)的任意階導(dǎo)數(shù)

f(n)(z)均存在，而且其中c是D的邊界線，ζ是c上的點。式(2.3-4)是柯西公式的一個重要的推論，下面給以證明。由柯西公式[式(2.3-3)]，有令2.3柯西公式

再利用數(shù)學歸納法，即可證明式(2.3-4)成立。從這個結(jié)果可以看到解析函數(shù)的一個重要的性質(zhì)：一個復(fù)變函數(shù)在一個區(qū)域中只要有一階導(dǎo)數(shù)存在，則它的任何高階導(dǎo)數(shù)均存在，而且都是該區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。利用柯西公式，計算積分

則由于

f(z)=eαz

是圓內(nèi)的解析函數(shù)，而且z=±1是圓內(nèi)的點，則根據(jù)柯西公式，有2.3柯西公式

利用柯西公式的推論式(2.3-4)，計算積分2.3柯西公式2.4泊松積分公式2.4泊松積分公式

在平面極坐標中，有將式(2.4-2)代入式(2.4-1)，可以得到2.4泊松積分公式

選取z1

的位置為將式(2.4-5)代入式(2.4-4)，可以得到即2.4泊松積分公式將式(2.4-3)和式(2.4-7)兩式相減，則可以得到如下圓內(nèi)的泊松積分公式將函數(shù)

f(z)用它的實部u(r，φ)和虛部v(r，φ)來表示，即把式(2.4-9)代入式(2.4-8)，則分別可以得到u(r，φ)和v(r，φ)所滿足的泊松積分公式由此可以看出，一旦知道了u(r，φ)和v(r，φ)在圓周上(r=a)的值，就可以確定出它們在圓內(nèi)任意點(r，φ)處的值，進而可以確定出函數(shù)

f(r，φ)在圓內(nèi)的值。2.4泊松積分公式

則可以分別把式(2.4-3)和式(2.4-6)寫成將式(2.4-12)與式(2.4-13)相加，則可以得到2.4泊松積分公式由此，可以得到u(r，φ)和v(r，φ)的級數(shù)表示形式其中在第八章中我們將看到，如果采用分離變量法求解拉普拉斯方程在圓內(nèi)的第一邊值問題，得到的解與式(2.4-15)或式(2.4-16)在形式上完全相同，見

§8.2。另外，在第十一章中，我們還將采用格林函數(shù)法來求解拉普拉斯方程在圓內(nèi)的第一邊值問題，同樣可以得到與式(2.4-10)[或式(2.4-11)]形式相同的解，見

§11.4。目錄第3章

解析函數(shù)的冪級數(shù)展開

3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)3.2冪級數(shù)3.3泰勒級數(shù)展開3.4洛朗級數(shù)展開3.5孤立奇點的分類第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)我們先看一下復(fù)數(shù)級數(shù)的概念和性質(zhì)。對于一個復(fù)數(shù)級數(shù)如果它的每一項都可分成實部和虛部，即則式(3.1-1)的前n+1項的和的極限為這樣復(fù)數(shù)級數(shù)[式(3.1-1)]的收斂性問題就歸結(jié)為兩個實數(shù)級數(shù)

及

的收斂性問題。這樣，就可以將實數(shù)級數(shù)的一些性質(zhì)和規(guī)律應(yīng)用到復(fù)數(shù)級數(shù)上。對于任意小的正數(shù)ε，如果存在一個

N，使得n>N

時，有成立，則復(fù)數(shù)級數(shù)[式(3.1-1)]收斂，其中p

為任意的正整數(shù)。式(3.1-4)為復(fù)數(shù)級數(shù)[式(3.1-1)]收斂的充分必要條件，也稱柯西收斂判據(jù)。3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)若級數(shù)[式(3.1-1)]各項的模組成的級數(shù)收斂，則稱級數(shù)[式(3.1-1)]為絕對收斂。絕對收斂的級數(shù)一定是收斂的。下面討論復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，其中式(3.1-6)的各項均為復(fù)變量z

的函數(shù)。如果在某個區(qū)域

D上的每一點z，級數(shù)[式(3.1-6)]都收斂，那么稱其在區(qū)域D

上收斂，并記為對于給定的任意小的正數(shù)ε>0，如果存在一個與z無關(guān)的N(ε)，使得當n>N(ε)時，有則該級數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)一致收斂。3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)如果級數(shù)[式(3.1-6)]的各項的絕對值構(gòu)成的級數(shù)

收斂，則稱該級數(shù)為絕對收斂。對于一致收斂的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，它有如下幾個性質(zhì)(這里不作證明)：(1)在區(qū)域D

內(nèi)，如果級數(shù)的每一項wk(z)都是連續(xù)函數(shù)，則其一致收斂的和S(z)也是區(qū)域D

內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。(2)設(shè)c為區(qū)域D中一條分段光滑的曲線，如果級數(shù)的每一項wk(z)是c上的連續(xù)函數(shù)，則其一致收斂的和S(z)也是c上的連續(xù)函數(shù)，而且可以沿著c逐項積分，即

3.2冪級數(shù)3.2冪級數(shù)冪級數(shù)是一種簡單的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，它的一般形式為其中an(n=0，1，2，…)及z0

都是復(fù)常數(shù)?？梢钥吹?，該級數(shù)的每一項都是解析函數(shù)。收斂圓及收斂半徑：以z0

為圓心，作一個半徑為R

的圓周cR

。如果級數(shù)[式(3.2-1)]在該圓內(nèi)絕對收斂，而且在圓外發(fā)散，則這個圓是該級數(shù)的收斂圓，對應(yīng)的半徑為該級數(shù)的收斂半徑。有兩種方法可以確定一個冪級數(shù)的收斂半徑：(1)比值判別法級數(shù)[式(3.2-1)]各項的絕對值構(gòu)成的級數(shù)為如果3.2冪級數(shù)則級數(shù)[式(3.2-2)]收斂，從而級數(shù)[式(3.2-1)]絕對收斂。若極限

存在，并記為

(2)根值判別法可以看出，當極限

時，級數(shù)[式(3.2-1)]絕對收斂；反之，則發(fā)散。這樣，我們可以定義一個收斂半徑

在以z0

為圓心，半徑為R的圓內(nèi)，級數(shù)[式(3.2-1)]是絕對收斂的。3.2冪級數(shù)求冪級數(shù)

的收斂半徑。解：用比值判別法[式(3.2-4)]，則有

在如下兩節(jié)討論中，我們將用到這個等式。3.3泰勒級數(shù)展開3.3泰勒級數(shù)展開由前面的討論可知，一個冪級數(shù)的和函數(shù)是一個解析函數(shù)?，F(xiàn)在我們討論一個相反的問題，即一個解析函數(shù)是否可以用冪級數(shù)來表示?這是一個非常重要的問題。泰勒定理：設(shè)函數(shù)

f(z)在以z0

為圓心的圓內(nèi)解析，則對于圓內(nèi)任意一點z，可以將

f(z)用冪級數(shù)展開，即其中系數(shù)an

為c為包含z0

點的圓周。證明：由于f(z)在圓內(nèi)解析，則由柯西公式，有其中ζ是圓周c上的點?？梢詫?/p>

改寫為3.3泰勒級數(shù)展開由于，因此根據(jù)式(3.2-6)，有將式(3.3-5)代入式(3.3-3)，有再利用柯西公式

它們的收斂半徑都為1。3.3泰勒級數(shù)展開

解：因為f(z)=ez

在全平面上解析，它在z=0的n階導(dǎo)數(shù)均為1(n=0，1，2，…)。于是有對于f(z)=cosz，由于因此，有同樣，對于f(z)=sinz，有3.3泰勒級數(shù)展開對于上述簡單形式的解析函數(shù)，可以用這種方法直接進行展開。對于形式較復(fù)雜的解析函數(shù)，用這種方法進行展開則比較煩瑣。不過，根據(jù)泰勒展開的唯一性，可以采用一些較為簡單的間接方法，如利用基本公式、冪級數(shù)的代數(shù)運算、代換、逐項求導(dǎo)等方法來展開，最終的結(jié)果保持不變。

則有

解：利用因此，有3.3泰勒級數(shù)展開總之，把一個復(fù)變函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法與實變函數(shù)的情形基本上一樣。對于其中的一些基本方法和技巧，需要通過適當?shù)木毩暡拍苷莆铡?.4洛朗級數(shù)展開3.4洛朗級數(shù)展開

其中c是位于環(huán)內(nèi)以逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任意一條閉合曲線，見圖3-1。式(3.4-1)稱為洛朗級數(shù)。證明：由于f(z)是環(huán)狀區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則根據(jù)復(fù)連通區(qū)域中的柯西公式，有3.4洛朗級數(shù)展開

3.4洛朗級數(shù)展開將式(3.4-4)和式(3.4-5)分別代入式(3.4-3)右邊的兩個積分中，則可以得到由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理可知，上式中的兩個積分相等。因此，可以得到其中證畢。3.4洛朗級數(shù)展開關(guān)于洛朗展開，需要如下幾點說明：(1)洛朗展開與泰勒展開的不同之處在于它含有(z-z0)的負冪項，而泰勒展開只有(z-z0)的正冪項。這些負冪項與函數(shù)

f(z)在z0

點的奇異性有關(guān)。(2)盡管洛朗展開的系數(shù)an

與泰勒展開的系數(shù)an

都可以表示成但對于洛朗展開，an≠f(n)(z0)/n!，這是因為z0

不屬于所考慮的環(huán)狀區(qū)域內(nèi)。(3)如果z0

是函數(shù)

f(z)的奇點，則內(nèi)圓的半徑可以無限小，并無限地接近圓心，這時稱式(3.4-1)為f(z)在孤立奇點z0

的鄰域內(nèi)的洛朗展開。(4)與泰勒展開一樣，洛朗展開也是唯一的。利用這種展開的唯一性，可以使用可能的簡便方法將函數(shù)在環(huán)狀區(qū)域內(nèi)展開，最終結(jié)果保持不變。

解：由于ez在該環(huán)形區(qū)域內(nèi)解析，先在z=0點把它展開成泰勒級數(shù)，即

這樣有顯然，該級數(shù)含有負冪項。3.4洛朗級數(shù)展開3.4洛朗級數(shù)展開

3.4洛朗級數(shù)展開上面兩種級數(shù)的展開式表明：同一個函數(shù)在不同的區(qū)域中進行展開時，其展開的級數(shù)形式不一樣。也就是說，對于一個解析函數(shù)的洛朗展開，其展開的結(jié)果不僅依賴于函數(shù)的形式，還依賴于所展開的區(qū)域形狀(環(huán)形區(qū)域的半徑及圓點)。把函數(shù)f(z)=e1/z

在z=0的鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。解：根據(jù)函數(shù)ez

在z=0的展開形式并將z

換成1/z，則可以得到這個級數(shù)有無限多的負冪項。

這樣有

3.4洛朗級數(shù)展開3.4洛朗級數(shù)展開

其中展開系數(shù)為

3.4洛朗級數(shù)展開(2)間接展開法：當z≠0時，有

則3.4洛朗級數(shù)展開由于洛朗級數(shù)展開的唯一性，式(3.4-8)和式(3.4-10)應(yīng)相等，即

我們將在第十三章對貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)進行詳細地討論。其中展開系數(shù)被稱為n

階貝塞爾級數(shù)(函數(shù))。3.5孤立奇點的分類3.5孤立奇點的分類在上一節(jié)介紹洛朗級數(shù)展開時曾提到過一個函數(shù)的孤立奇點的概念?，F(xiàn)在進一步闡述這一概念。若函數(shù)

f(z)在某點z0

不可導(dǎo)，而在z0

的任意小鄰域內(nèi)除z0

外處處可導(dǎo)，則稱z0

為函數(shù)

f(z)的孤立奇點。若在z0

點的無論多么小的鄰域內(nèi)總能找到除z0

以外的不可導(dǎo)的點，則稱z0

為函數(shù)

f(z)的非孤立奇點。

根據(jù)洛朗級數(shù)的展開形式，有如下三種類型的孤立奇點：(1)若在

f(z)的洛朗級數(shù)中沒有負冪項部分，則稱z0

為

f(z)的可去奇點。(2)若在

f(z)的洛朗級數(shù)中有有限個負冪項部分，則稱z0

為

f(z)的極點。(3)若在

f(z)的洛朗級數(shù)中有無窮多個負冪項部分，則稱z0

為

f(z)的本性奇點。下面我們進一步分析這三種孤立奇點的差異：3.5孤立奇點的分類(1)可去奇點

(2)極點如果將函數(shù)

f(z)在其孤立奇點z0的鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)，有如下形式其中a-m≠0，且φ(z)=a-m+a-m+1(z-z0)+…為解析函數(shù)，則稱z0為f(z)的m階極點。

3.5孤立奇點的分類(3)本性奇點

目錄第4章

留數(shù)定理及應(yīng)用

4.1留數(shù)定理4.2留數(shù)的計算方法4.3留數(shù)定理的應(yīng)用4.4補充內(nèi)容第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用4.1留數(shù)定理4.1留數(shù)定理

現(xiàn)在以z0

為圓心，作一個圓周線c，并將上式兩邊沿著c積分，則有利用積分公式(2.1-8)則有4.1留數(shù)定理可見，在洛朗級數(shù)展開式中，系數(shù)a-1

具有獨特的地位，它直接與函數(shù)

f(z)沿回路c的積分有關(guān)。因此，專門給a-1

起了個名字，稱為函數(shù)

f(z)在z0

的留數(shù)(Residue)，通常記為a-1

=Resf(z0)，則留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)

f(z)在閉合圍道c內(nèi)除去有限個孤立奇點z1，z2，…，zn

外單值解析，而且在c上沒有奇點，則有其中Resf(zk)是函數(shù)

f(z)在第k個孤立奇點zk

處的留數(shù)。證明：以zk

為圓心，作小的圓周ck(k=1，2，…，n)，使得這些小圓均位于閉合圍道c內(nèi)，且彼此相互隔離，如圖4-1所示。這樣由復(fù)連通區(qū)域中的柯西定理，則有然后，把

f(z)展開成洛朗級數(shù)，并利用式(4.1-4)，即可以得到留數(shù)定理。4.2留數(shù)的計算方法4.2留數(shù)的計算方法由留數(shù)定理可以看出，計算函數(shù)

f(z)沿著閉合圍道c的積分，可以歸結(jié)為計算留數(shù)Resf(zk)的問題。原則上講，只要將函數(shù)

f(z)在以奇點zk

為圓心的環(huán)形區(qū)域上展開成洛朗級數(shù)，并取該級數(shù)的負一次冪的系數(shù)a-1就行了。但是，如果能夠不對函數(shù)

f(z)進行洛朗級數(shù)展開而直接計算出留數(shù)，那將使計算積分的工作量減輕很多。下面介紹計算留數(shù)的方法。1.一階極點的情況假設(shè)函數(shù)

f(z)在所考慮的區(qū)域D

內(nèi)有一個極點z0，且是一階的，則它在z0

點的鄰域內(nèi)的洛朗展開式為將上式兩邊乘以(z-z0)，然后令z

→z0，則可以得到這就是計算一階極點的留數(shù)的基本公式。若函數(shù)

f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)及Q(z)都在z0

點及其鄰域內(nèi)解析，且z0

是Q(z)的一階零點及P(z0)≠0，則有其中用到了Q(z)在z0

點的泰勒展開式2.m

階極點的情況(m

≥2)假設(shè)函數(shù)

f(z)在所考慮的區(qū)域D

內(nèi)有一個m

階極點z0，則它在z0

點的鄰域內(nèi)的洛朗展開式為其中a-m≠0。將上式兩邊同乘以(z-z0)m，則可以得到然后，求導(dǎo)(m-1)次，有最后，令z

→z0，則可以得到留數(shù)為這就是求m

階極點的留數(shù)的基本公式。顯然，當m=1時，式(4.2-3)即退化為一階極點的留數(shù)計算公式(4.2-1)。

2.m

階極點的情況(m

≥2)

解：可以將被積函數(shù)的分母寫為εz2+2z+ε=ε(z-z1)(z-z2)，其中

解：可以看出，該函數(shù)有兩個極點，分別為三階極點z=0和一階極點z=i，它們對應(yīng)的留數(shù)分別為2.m

階極點的情況(m

≥2)2.m

階極點的情況(m

≥2)

故該函數(shù)沿著單位圓周的積分為可以看出，利用留數(shù)定理來計算一個復(fù)變函數(shù)沿著一個閉合圍道的積分，其基本步驟如下：(1)首先確定被積函數(shù)在這個閉合圍道內(nèi)的所有極點，并判斷每個極點的階數(shù)：(2)利用計算留數(shù)的公式，計算出被積函數(shù)在該極點的留數(shù)：(3)最后，利用留數(shù)定理，即可確定出該積分的值。4.3留數(shù)定理的應(yīng)用4.3留數(shù)定理的應(yīng)用

類型一

有理三角函數(shù)積分其中被積函數(shù)是cosθ

或sinθ

的有理函數(shù)，且在0，2π內(nèi)連續(xù)。作積分變量代換z=eiθ，則有

當有理函數(shù)在單位圓周c內(nèi)有n

個孤立奇點時zk

k=1，2，…，n，則由留數(shù)定理有

解：令z=eiθ，則有

解：令z=eiθ，則有

類型一

有理三角函數(shù)積分

解：首先利用三角函數(shù)公式cos2θ=1-2sin2θ，可以把該積分轉(zhuǎn)化成然后令z=eiθ，則有其中類型一

有理三角函數(shù)積分類型一

有理三角函數(shù)積分由于z1

不在單位圓內(nèi)，所以由留數(shù)定理有由以上討論可以看出，對于利用留數(shù)定理計算這種有理三角函數(shù)的積分，其基本步驟為：(1)通過變量替代z=eiθ，把原來的積分(積分區(qū)間從0到2π)轉(zhuǎn)化成沿著復(fù)平面上一個單位圓的積分，其中圓心位于原點：(2)找出被積函數(shù)在單位圓內(nèi)的所有極點，并判斷每個極點的階：(3)根據(jù)計算留數(shù)的公式，計算出被積函數(shù)在每個極點的留數(shù)：(4)最后，根據(jù)留數(shù)定理，就可以得到積分結(jié)果。類型二

無窮積分其中：①

與實變函數(shù)

f(x)相對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)

f(x)在實軸上沒有奇點，在上半平面上除有限個奇點外是解析的：②

在實軸及上半平面上，當|z|→∞時，有|zf(z)|→0。要想利用留數(shù)定理計算上面的積分，首先需要進行如下操作：(1)設(shè)R為一無限大的正常數(shù)，則可以將積分[式(4.3-5)]寫成(2)以R

為半徑，在上半平面作一個半圓形回路，其中半圓周為cR，圓心位于坐標原點，見圖4-2。這樣則有類型二

無窮積分(3)由于當|z|→∞時，|zf(z)|→0，則則有其中|

上半平面

為函數(shù)

f(z)在上半平面的留數(shù)之和。說明：(1)如果函數(shù)

f(z)在下半平面除有限個奇點外處處解析，則也可以用下半平面的留數(shù)定理來計算積分[式(4.3-5)]，其積分結(jié)果與式(4.3-6)的右邊相似，但相差一個負號。(2)當

f(x)是x

的偶函數(shù)時，則有

則由留數(shù)定理，有類型二

無窮積分

則由留數(shù)定理有類型二

無窮積分對于利用留數(shù)定理計算這種無窮積分，其基本步驟如下：(1)對原有的積分路徑進行補充，使之變成一個閉合的圍道，如上半平面或下半平面的半圓：(2)確定被積函數(shù)在上半平面(或下半平面)上的所有極點和極點的階數(shù)，并計算出相應(yīng)的留數(shù)：(3)根據(jù)留數(shù)定理，即可以得到積分的值。類型三

含有三角函數(shù)的無窮積分其中：①m

為大于零的實數(shù)：②

與

f(x)對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)f(z)在上半平面除有限個奇點外處處解析：③

在實軸及上半平面上，當|z|→∞時，有|f(z)|→0。為了完成上面的積分計算，需要引入一個重要的引理，即約當引理：設(shè)當|z|→∞時，函數(shù)

f(z)在上半平面及實軸上一致趨于零，則其中m>0，cR

是以z=0為圓心、以R

為半徑的半圓周，位于上半平面。證明：在，cR

上，設(shè)z=Reiθ，則類型三

含有三角函數(shù)的無窮積分取R

足夠大，使得f(Reiθ)<ε，其中ε

為任意小的正數(shù)，則

可見，當R

→∞時，上式的結(jié)果趨于零，這就證明了約當引理。下面利用約當引理及留數(shù)定理完成式(4.3-8)的積分。在上半平面上，以零點為圓心，以R為半徑作一個半圓，對應(yīng)的半圓周為cR，則有

由公式(4.3-11)，可以得到類型三

含有三角函數(shù)的無窮積分由約當引理，顯然當R→∞時，上式右邊的第二項的積分結(jié)果為零。再根據(jù)留數(shù)定理，有特別地，當

f(x)為偶函數(shù)時，則有而當

f(x)為奇函數(shù)時，則有

再由公式(4.3-12)，可以得到類型三

含有三角函數(shù)的無窮積分關(guān)于利用留數(shù)定理計算這種含有三角函數(shù)的無窮積分，其基本步驟如同前面的類型二，這里不再重復(fù)。4.4補充內(nèi)容1.實軸上有奇點的情況在前面介紹的三類積分問題中，都要求被積函數(shù)在實軸上沒有奇點，但在一些實際問題中，有時會遇到被積函數(shù)在實軸上有奇點的情形。下面介紹如何利用留數(shù)定理來計算這類積分?？紤]如下積分其中

f(x)除了在實軸上有一個奇點x=b

外，它滿足類型二的條件。為了完成這類積分的計算，需要作如下操作：以z=b

為圓心，以無限小的正數(shù)ε為半徑作一個小的半圓周cε：以z=0為圓心，以充分大的R為半徑作一個大的半圓周cR

。這樣由cR

、cε

及實軸[-R，R]構(gòu)成了一個閉合圍道c，見圖4-3。這樣有1.實軸上有奇點的情況

其中P(z-b)是洛朗級數(shù)的解析部分，它在cε

上有界，即這樣有1.實軸上有奇點的情況

注意：由于cε的方向是順時針的，故上式的積分結(jié)果為負。根據(jù)以上結(jié)果，最后可以得到

解：可以將該積分改寫為可見，被積函數(shù)

f(z)=1/z在實軸上有一階極點z=0，而在上半平面上沒有極點，因此有即這是一個很重要的積分結(jié)果，在物理學中十分有用。1.實軸上有奇點的情況2.菲涅耳積分在研究光學衍射問題時，會遇到如下兩種菲涅耳積分

令R

→∞，則上式左邊第一項的積分為2.菲涅耳積分

在輻角為π/4的射線l上，可以令z=reiπ/4，則有這樣，根據(jù)以上積分的結(jié)果，可以得到即3.計算如下積分其中a>0，b

為任意實數(shù)。作如下變換

3.計算如下積分即當R

→∞時，有因此，有3.計算如下積分實際上，也可以不用留數(shù)定理，而采用不太嚴格的方法直接進行積分，即這與前面得到的結(jié)果完全相同。根據(jù)上面的積分結(jié)果，可以得到如下一個重要的積分關(guān)系式我們在第十章討論積分變換法時將用到這個積分式。目錄第5章

傅里葉變換

5.1傅里葉級數(shù)5.2傅里葉積分變換5.3傅里葉變換的性質(zhì)5.4δ

函數(shù)第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用5.1傅里葉級數(shù)1.實數(shù)形式的傅里葉級數(shù)設(shè)

f(x)是一個以2l為周期的函數(shù)，即則可以把它展開成如下形式的傅里葉級數(shù)利用三角函數(shù)系的正交性1.實數(shù)形式的傅里葉級數(shù)其中符號δn，m

的定義為可以得到式(5.1-2)中的傅里葉展開系數(shù)為如果l是一個具有長度量綱的物理量，則式(5.1-2)就是周期函數(shù)

f(x)按空間變量x

展開的傅里葉級數(shù)。引入波數(shù)則可以將式(5.1-2)改寫為1.實數(shù)形式的傅里葉級數(shù)對應(yīng)的展開系數(shù)則變?yōu)橐院髮⒖吹剑谘芯坑邢揲L度細桿的振動或熱傳導(dǎo)等問題時，通常使用由式(5.1-2)或式(5.1-8)式給出的傅里葉級數(shù)展開。如果令ω=π/l，t=x，則式(5.1-2)變?yōu)槠渲笑豱=nω，展開系數(shù)為1.實數(shù)形式的傅里葉級數(shù)T=2π/ω

為周期。這樣，可以把

f(t)看成是一個隨時間變化的周期函數(shù)，式(5.1-12)為該函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開。由此可以看出，任何一個隨時間周期性變化的信號(如方波、鋸齒波等)都可以分解(變換)成直流、基波及高次諧波成分之和。

其中展開系數(shù)為這樣，可以把式(5.1-16)看成以2π為周期的函數(shù)

f(θ)的傅里葉級數(shù)展開。1.實數(shù)形式的傅里葉級數(shù)將圖5-1所示的鋸齒函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。解：根據(jù)式(5.1-4)~式(5.1-6)，可以求出展開系數(shù)為這樣有2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)也可以把一個周期性變化的函數(shù)展開成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。選取復(fù)指數(shù)函數(shù)族φn(x)=einπx/l

(n=0，±1，±2，…)為基函數(shù)族，則可以把一個變化周期為2l的函數(shù)

f(x)表示為其中kn=nπ/l為波數(shù)。利用基函數(shù)族的正交性，則展開系數(shù)為盡管

f(x)為實數(shù)，但其傅里葉展開系數(shù)有可能是復(fù)數(shù)。無論是實數(shù)形式的，還是復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開，它們只適用于函數(shù)

f(x)在有限區(qū)域中的展開。在這種情況下，展開式中的波數(shù)kn

或頻率ωn

取值是不連續(xù)的，即n=0，1，2，…(實數(shù)形式的展開)或n=0，±1，±2，…(復(fù)數(shù)形式的展開)。在量子力學中，將會看到：如果微觀粒子在有界區(qū)域中運動，其動量(與波數(shù)對應(yīng))及能量(與頻率對應(yīng))的取值將是不連續(xù)的。5.2傅里葉積分變換1.實數(shù)形式的傅里葉積分變換

其中其中式(5.2-1)即為實數(shù)形式的傅里葉變換式，A(k)和B(k)為傅里葉變換的系數(shù)。證明：根據(jù)上一節(jié)介紹的傅里葉級數(shù)展開式(5.1-8)1.實數(shù)形式的傅里葉積分變換

式(5.2-4)右邊的余弦部分為其中把對n

的求和變成了對k

的積分。同理，式(5.2-4)右邊的正弦部分為1.實數(shù)形式的傅里葉積分變換這樣在l→∞時，式(5.2-4)就變?yōu)榱耸?5.2-1)。物理上，通常視x

為空間變量，f(x)是一個隨空間變量x

變化的非周期函數(shù)，則式(5.2-1)被視為空間上的傅里葉變換，k

為波數(shù)。同樣，如果

f(t)是一個隨時間變量t變化的非周期函數(shù)，則有如下傅里葉變換其中通常稱A(ω)和B(ω)為譜函數(shù)，ω

為圓頻率。傅里葉積分變換與傅里葉級數(shù)展開最大的區(qū)別是物理量變化區(qū)域的不同。

對于前者，物理量的變化區(qū)域是無界的，對應(yīng)的波數(shù)或頻率的取值是連續(xù)的；而對于后者，物理量的變化區(qū)域是有界的，對應(yīng)的波數(shù)或頻率的取值則是離散的。1.實數(shù)形式的傅里葉積分變換討論矩形脈沖函數(shù)的傅里葉積分變換，其中T為脈沖半寬度。解：由于f(t)是偶函數(shù)，則這樣，由式(5.2-5)得到特別是當t=0及T=1時，可以得到這與前面用留數(shù)定理得到的結(jié)果一致，見式(4.4-4)。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換在許多情形下，復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分變換比實數(shù)形式的傅里葉積分變換使用起來更為方便。利用歐拉公式則可以將式(5.2-1)改寫為將上式右邊第二項積分中的k換成-k，并利用A(-k)=A(k)及B(-k)=-B(k)，則得到即2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換其中式(5.2-8)及式(5.2-9)就是函數(shù)

f(x)的復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換關(guān)系式。通常稱

f(x)是原函數(shù)，式(5.2-8)為正變換，其變換的核為eikx；稱F(k)為像函數(shù)，式(5.2-9)為逆變換，其變換的核為e-ikx

。習慣上，通常認為式(5.2-8)和式(5.2-9)是關(guān)于空間變量x

的傅里葉變換，k是波數(shù)。而對于時間變量t的傅里葉變換，通常表示為2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換其中ω

為圓頻率。可以看出，與式(5.2-8)和式(5.2-9)不同的是：在正變換中核為e-iωt，而在逆變換中核則為eiωt

。如果一個物理量

f(x，t)既是空間變量x

的函數(shù)，又是時間變量t的函數(shù)，則可以將它的傅里葉變換式寫為其中像函數(shù)為更一般地，如果

f(r，t)是一個在三維無界空間中隨時間變化的函數(shù)，則它的傅里葉變換式為其中r

=xex+yey+zez

是三維空間中的位置矢量，k

=kxex+kyey+kzez

是三維空間中的波矢量，且dr=dxdydz

及dk=dkxdkydkz。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換

解：根據(jù)式(5.2-9)，有再利用已知的積分結(jié)果[見式(4.4-8)]則可以得到在量子力學中將會看到，函數(shù)

f(x)相當于一維諧振子在坐標空間中的基態(tài)波函數(shù)，而F(k)則為諧振子在動量空間中的波函數(shù)。當a

較大時，它在坐標空間中的分布

f(x)較窄，而在動量空間中的分布則較寬。這與量子力學中所謂的“測不準關(guān)系”相對應(yīng)。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換

解：根據(jù)式(5.2-9)，則有將這個結(jié)果代入正變換式(5.2-8)中，則有即有這與用留數(shù)定理得到的結(jié)果是一致的。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換

解：根據(jù)三維傅里葉變換，則有在球坐標系中，選取k

的方向沿z

軸，并利用則得到

5.3傅里葉變換的性質(zhì)5.3傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉積分變換有一些基本的性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，可以簡化一些實際問題的傅里葉積分變換過程。為了便于書寫，我們將一維傅里葉積分變換簡記為其中

f(x)為原函數(shù)，F(xiàn)(k)為像函數(shù)，符號“?”表示兩者之間的變換。1.線性定理設(shè)f1(x)及f2(x)分別為兩個原函數(shù)，它們對應(yīng)的像函數(shù)分別為F1(k)及F2(k)，則有其中α，β

為常數(shù)。直接從傅里葉積分變換式(5.3-1)出發(fā)，就可以得到這個定理。5.3傅里葉變換的性質(zhì)2.導(dǎo)數(shù)定理

Ⅰ函數(shù)

f(x)的n階導(dǎo)數(shù)

f(n)(x)對應(yīng)的傅里葉積分變換為其中要求

f(n-1)(x)|x=±∞=0。證明：根據(jù)式(5.3-2)，則有即類似的，可以得到5.3傅里葉變換的性質(zhì)3.導(dǎo)數(shù)定理

Ⅱ其中F(n)(k)是F(k)的n

階導(dǎo)數(shù)。證明：由傅里葉積分變換式則有即5.3傅里葉變換的性質(zhì)4.積分定理

由導(dǎo)數(shù)定理得到其中Φ(k)是φ(x)的像函數(shù)。利用

f(x)?F(k)，則有即得到5.3傅里葉變換的性質(zhì)5.相似性定理其中a

為常數(shù)。6.延遲定理其中a

為常數(shù)。7.位移定理其中k0

為常數(shù)。8.卷積定理定義函數(shù)

f1(x)和

f2(x)的卷積為則它的傅里葉積分變換為其中F1(k)和F2(k)分別是函數(shù)

f1(x)和

f2(x)的像函數(shù)。5.3傅里葉變換的性質(zhì)證明：由傅里葉積分變換式(5.3-2)，有再令y=x-η，則有證畢。5.4δ

函數(shù)1.δ

函數(shù)的定義在物理學中，通常要研究一個物理量在空間或時間中的分布，如質(zhì)量密度、電荷密度或單位時間上的受力等。但為了簡化描述，通常采用一些“點”模型，如質(zhì)點、點電荷及脈沖力等，它們在空間上或時間上都不是連續(xù)分布的，而是集中于空間某一點或某一時刻?？紤]一質(zhì)量為m，長度為l的勻質(zhì)細桿，且其中心位于坐標的原點x=0處，則細桿的線質(zhì)量密度分布為其質(zhì)量為當細桿的長度無限小時，即l→0，這時細桿則趨向于一個質(zhì)點，其質(zhì)量仍為

m，即式(5.4-2)仍成立，但其質(zhì)量密度分布為由此可以看出，一個質(zhì)點的質(zhì)量密度分布：在x=0點處為無限大；在x≠0處為零。它的積分為m。1.δ

函數(shù)的定義為了描述這些質(zhì)點和點電荷的空間分布，或脈沖力的瞬時分布，在物理學中可引入一個所謂的δ

函數(shù)來描述，其定義式為這表明δ函數(shù)的分布是無限窄，且當x

→x0

時它的值趨于無限大，見圖5-2。δ

函數(shù)的這種特征明顯不同于常規(guī)的函數(shù)，但要求它的積分是有限的，即這說明δ

函數(shù)的確切含義應(yīng)在積分運算下來理解。δ

函數(shù)最初是由物理學家狄拉克(Dirac)引入的，它在物理學中有著廣泛地應(yīng)用。借助于δ

函數(shù)，就可以描述質(zhì)點的質(zhì)量密度分布，點電荷的電荷密度分布，以及脈沖力的瞬時分布等。如一個質(zhì)量為m

且位于x0

點的質(zhì)點的質(zhì)量分布為mδ(x-x0)，一個電荷量為Q

且位于x0

點的點電荷的電荷密度分布為Qδ(x-x0)，以及在t0

時刻出現(xiàn)的脈沖力為Kδ(t-t0)，其中K

為沖量。在三維情況下，類似地有三維的δ函數(shù)可以用一維δ函數(shù)的乘積來表示，即這樣有2.δ函數(shù)的性質(zhì)(1)δ(x)函數(shù)是偶函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)則是奇函數(shù)，即(2)可以用階躍函數(shù)來表示δ(x)函數(shù)，即2.δ函數(shù)的性質(zhì)這是因為(3)δ(x)函數(shù)具有挑選性，即其中

f(x)是[-∞，∞]區(qū)間中的連續(xù)函數(shù)。由此，有(4)若φ(x)=0的實根為xk(k=1，2，…)，且全為單根，則3.δ

函數(shù)的輔助函數(shù)

很容易驗證，它們都符合

δ(x)函數(shù)的上述兩個特征。4.δ

函數(shù)的傅里葉變換根據(jù)前面介紹過的傅里葉積分變換，可以將δ函數(shù)表示為其中傅里葉變換為這樣，δ

函數(shù)的傅里葉積分為同樣，對于三維情況，δ

函數(shù)的傅里葉積分為利用δ

函數(shù)的傅里葉積分式，很容易推導(dǎo)出它的廣義函數(shù)表示式(5.4-16)。令k

→∞，則4.δ

函數(shù)的傅里葉變換求函數(shù)sinax

和cosax

的傅里葉變換，其中a

是實常數(shù)。解：由傅里葉積分變換，有嚴格地講，函數(shù)sinax

和cosax并不滿足絕對可積條件，但利用δ函數(shù)的定義，可以計算出它們的傅里葉變換式。4.δ

函數(shù)的傅里葉變換

解：根據(jù)傅里葉變換，有在球坐標系中，選取k

的方向沿z

軸，并利用則可以得到可見，對于三維傅里葉變換，有如下變換關(guān)系成立這個變換關(guān)系很重要，我們將在第十章中討論積分變換法時用到。4.δ

函數(shù)的傅里葉變換利用傅里葉積分變換，求解如下含有δ

函數(shù)的常微分方程其中a>0，x0

為給定的參數(shù)。解：令并對方程(5.4-22)兩邊進行傅里葉積分變換，則得到即將該式代入式(5.4-23)，則有利用留數(shù)定理，不難得到4.δ

函數(shù)的傅里葉變換利用δ函數(shù)的性質(zhì)，求解如下常微分方程解：根據(jù)δ

函數(shù)的性質(zhì)，有并令借助于式(5.4-26)和式(5.4-27)，可以把方程(5.4-25)轉(zhuǎn)化為根據(jù)前面例3的結(jié)果，則有這樣，常微分方程(5.4-25)的解為目錄第6章

拉普拉斯變換

6.1拉普拉斯變換的定義6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)6.3拉普拉斯變換的反演6.4拉普拉斯變換的應(yīng)用第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用6.1拉普拉斯變換的定義6.1拉普拉斯變換的定義由上一章的討論可以知道，對于傅里葉積分變換，要求原函數(shù)

f(x)在區(qū)間-∞，∞上分段光滑，而且絕對可積。這個條件相當苛刻，以至于許多常見的函數(shù)(如多項式、三角函數(shù)等)都不滿足這個條件。下面我們將看到，對于拉普拉斯變換，對原函數(shù)的要求要寬松得多。拉普拉斯變換的定義為其中

f(t)是原函數(shù)，F(xiàn)(p)是像函數(shù)，e-pt

是積分變換的核，p=s+iσ

為復(fù)數(shù)，且要求Re(p)=s>0。這里需要說明的一點是，在式(6.1-1)的積分變換中，要求

f(t)在t<0時刻的值為零，即這樣才能保證式(6.1-1)的積分變換有意義。拉普拉斯變換存在的條件是：(1)f(t)在區(qū)間0≤t<∞中是分段連續(xù)的，而且導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)；(2)存在正常數(shù)

M>0及s0

≥0，使得對于任何t值，有在實際應(yīng)用中，所遇到的大多數(shù)函數(shù)都能滿足上述要