目錄第9章

傅里葉級數(shù)展開法9.1強迫振動的定解問題9.2有源熱傳導的定解問題9.3泊松方程的定解問題9.4非齊次邊界的處理第2篇

數(shù)學物理方程9.1強迫振動的定解問題9.1強迫振動的定解問題我們以一個長為l的細桿的振動方程為例，不過這時細桿受到外界強迫力

f(x，t)的作用。此外，我們還假設細桿的兩端是自由振動的，即對應于第二類齊次邊界條件。這樣，細桿振動的泛定方程和定解條件為由上一章的討論可知，一維齊次方程在齊次邊界條件下的本征解為三角函數(shù)族，它具有完備正交性。因此，本章求解非齊次泛定方程的基本思想是:將非齊次泛定方程的解u(x，t)按照對應的齊次方程在齊次邊界條件下的本征解

Xn(x)進行傅里葉級數(shù)展開，即其中展開系數(shù)Tn(t)是隨時間變化的，由初始條件(9.1-3)來確定?？梢钥吹?，非齊次振動方程(9.1-1)所對應的齊次方程的本征解問題為9.1強迫振動的定解問題不難驗證，它的本征解為這樣可以將非齊次方程(9.1-1)的通解表示為為了確定出展開系數(shù)Tn(t)，我們還需要把方程(9.1-1)右邊的非齊次項及初始條件(9.1-3)按這個本征函數(shù)來展開，即9.1強迫振動的定解問題其中展開系數(shù)為9.1強迫振動的定解問題分別把式(9.1-5)-(9.1-8)代入泛定方程(9.1-1)及初始條件(9.1-3)，則可以得到其中kn=nπ/l。這樣通過上述級數(shù)展開，我們就把原來的一個非齊次二階偏微分方程的求解問題轉化成一個非齊次二階常微分方程的求解問題。接下來，我們采用第六章介紹的拉普拉斯變換來求解方程(9.1-11)。設與

Tn(t)對應的像函數(shù)為

Tn(p)，則借助于拉普拉斯變換，可以把方程(9.1-11)轉化為如下代數(shù)方程其中

fn(p)是函數(shù)

fn(t)對應的像函數(shù)。將初始條件(9.1-12)代入方程(9.1-13)，則可以得到然后再進行拉普拉斯反演，可以得到9.1強迫振動的定解問題最后，我們得到非齊次振動方程(9.1-1)的一般解為可以看到，一旦給定非齊次項f(x，t)及初始位移?(x)和初始速度ψ(x)的函數(shù)形式，就可以確定出展開系數(shù)fn(t)，?n

及ψn

的形式，進而可以確定出非齊次振動方程的解u(x，t)。上面介紹的求解非齊次方程的解法是一種較為普遍的方法，可以用來求解任意形式的線性非齊次方程，只是對于不同形式的齊次邊界條件，本征函數(shù)和本征值有所不同。9.1強迫振動的定解問題求解如下細桿強迫振動的定解問題其中A，ω

及a

均為常數(shù)。

9.1強迫振動的定解問題將以上結果代入式(9.1-17)，則可以得到

9.2有源熱傳導的定解問題9.2有源熱傳導的定解問題對于有源熱傳導問題，也可以采用上節(jié)介紹的傅里葉級數(shù)展開法進行處理。考慮如下細桿的熱傳導問題

并代入方程(9.2-1)，則可以得到其中9.2有源熱傳導的定解問題對于初始溫度?(x)也做類似地展開，可以得到其中采用拉普拉斯變換方法來求解非齊次常微分方程(9.2-5)，可以得到將初始條件(9.2-7)代入上式，并進行反演，則有最后，可以得到非齊次熱傳導方程(9.2-1)的一般解為這樣，一旦給定了非齊次項

f(x，t)和初始溫度?(x)的形式，非齊次熱傳導方程的解就完全被確定。9.2有源熱傳導的定解問題在上述非齊次熱傳導問題中，如果初始溫度為零，即?(x)=0，以及非齊次項為

f(x，t)=Asin(ωt)，求細桿上的溫度分布。解：由于?(x)=0及

f(x，t)=Asin(ωt)，則有這樣有可見在Tn(t)的表示中，第一部分為弛豫項，隨著t→∞，很快衰減為零;第二項為外界熱源維持的強迫項，隨外界熱源的變化而變化。將式(9.2-11)代入式(9.2-10)，即可以得到細桿上任意時刻的溫度場分布u(x，t)。9.2有源熱傳導的定解問題下面討論利用傅里葉級數(shù)展開法求解二維有源熱傳導問題。考慮一個長和寬分別為a

和b的矩形薄板，在外界熱源作用下，對應的定解問題為

將上式代入方程(9.2-12)，并利用三角函數(shù)的正交性，則可以得到9.2有源熱傳導的定解問題其中對初始條件(9.2-14)，也可以做類似地展開，有其中利用拉普拉斯變換，很容易得到常微分方程(9.2-16)的解為將式(9.2-19)代入式(9.2-15)，即可以得到二維非齊次熱傳導方程(9.2-12)的一般解。9.3泊松方程的定解問題9.3泊松方程的定解問題我們再討論一下二維泊松方程的定解問題?？紤]一個長和寬分別為a和b的矩形區(qū)域，靜電勢u(x，y)滿足如下泊松方程及邊界條件其中

f(x，y)為電荷源的空間分布?？紤]到齊次邊界條件(9.3-2)，首先可以將函數(shù)u(x，y)展開成如下形式其中系數(shù)Yn(y)待定。將式(9.3-4)代入方程(9.3-1)及邊界條件(9.3-3)，則有9.3泊松方程的定解問題其中再考慮齊次邊界條件(9.3-6)，可以進一步地把Yn(y)展開成如下級數(shù)形式其中Cnm

為待定系數(shù)。把式(9.3-8)代入方程(9.3-5)，則可以確定出展開系數(shù)Cnm

為其中9.3泊松方程的定解問題最后可以得到泊松方程的一般解為這樣，一旦知道了非齊次項

f(x，y)的具體形式，就可以利用上述方法確定出泊松方程的解。在上面的討論中，我們假定了所有的邊界條件都是齊次的。實際上，對于直角坐標系中的二維泊松方程，只要其中的一對邊界條件是齊次的，而另外一對邊界條件是非齊次的，就可以利用傅里葉級數(shù)展開法進行求解。例如，在x=0及x=a處的邊界條件是齊次的，如式(9.3-2);而在y=0及y=b處的邊界條件是非齊次的，為這時仍然可以將泊松方程(9.3-1)的解寫成式(9.3-4)的形式，其中系數(shù)Yn(y)也仍然滿足方程(9.3-5)，不過方程(9.3-5)對應的邊界條件不再是式(9.3-6)，而是原則上講，利用常微分方程的求解方法，可以得到方程(9.3-5)在非齊次邊界條件下的一般解，進而可以確定出泊松方程的一般解。下面再來討論圓形區(qū)域內泊松方程的定解問題。在平面極坐標系中，齊次邊界條件下泊松方程的定解問題為9.3泊松方程的定解問題其中a

為圓的半徑?？紤]到周期性邊界條件u(r，φ)=u(r，φ+2π)，可以將方程(9.3-14)的解按照如下復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開將式(9.3-15)代入方程(9.3-14)，則可以得到展開系數(shù)An(r)滿足的方程為其中對應的齊次邊界條件則變?yōu)榱硗?，泊松方程在圓心處(r=0)的解應有限，因此有9.3泊松方程的定解問題方程(9.3-16)是一個二階非齊次常微分方程，原則上講可以求出它在邊界條件(9.3-18)和(9.3-19)下的解。

而當n≠±1時，方程(9.3-16)變?yōu)闅W拉方程，其解為An(r)=dnrn+enr-n，考慮邊界條件(9.3-19)和(9.3-18)，則有dn=en=0，即

An(r)=0(n≠±1)。

最后，可以得到方程(9.3-14)的解為可以看到在平面極坐標系中，當函數(shù)

f(r，φ)形式比較復雜時，很難得到方程(9.3-16)的解析解。這說明，當所考慮的坐標系不是直角坐標系時，采用這種傅里葉級數(shù)展開法求解泛定方程的解要受到一定的限制。9.4非齊次邊界的處理9.4非齊次邊界的處理在前面的討論中，無論方程是齊次的還是非齊次的，我們都假定邊界條件是齊次的。那么在非齊次邊界條件下，如何確定泛定方程的定解問題呢?由于所討論的泛定方程的定解問題都是線性的，因此可以采用疊加原理把邊界齊次化，其基本思路是:選擇一個合適的輔助函數(shù)v(x，t)，且令使得關于函數(shù)w(x，t)的定解問題具有齊次邊界條件。首先我們以細桿的自由振動為例來進行討論，其定解問題如下其中u1(t)和u2(t)是時間變量的任意函數(shù)，所對應的邊界條件為第一類非齊次邊界條件。輔助函數(shù)v(x，t)的選取所要遵循的基本原則是:在保證能夠使得邊界條件齊次化的前提下，使得v(x，t)的形式最為簡單。

對于上述第一類非齊次邊界條件，可以選取v(x，t)是空間變量x

的線性函數(shù)，即9.4非齊次邊界的處理將u(x，t)=v(x，t)+w(x，t)代入定解問題式(9.4-2)-式(9.4-4)，則可以得到關于w(x，t)的定解問題其中可以看到，經過上述處理后，原來的非齊次邊界條件變成了齊次邊界條件，原來的齊次方程變成了非齊次方程。這樣，我們就可以利用

§9.1節(jié)介紹的方法來求解該非齊次方程的定解問題。9.4非齊次邊界的處理還需要說明兩點:(1)盡管我們是以齊次泛定方程(9.4-2)為例來討論的，但如果在定解問題中，不僅邊界是非齊次的，泛定方程也是非齊次的，我們仍然可以按照上面的方法來把邊界齊次化。(2)輔助函數(shù)的形式依賴于邊界條件的類型，如對于第二類非齊次邊界條件可以選取輔助函數(shù)v(x，t)的形式為而對于“混合”邊界條件則對應的輔助函數(shù)分別為9.4非齊次邊界的處理求解如下定解問題其中A和ω

為常數(shù)。解：在這種情況下，可以選取輔助函數(shù)為并令u(x，t)=v(x，t)+w(x，t)，則可以把原來的定解問題轉化為9.4非齊次邊界的處理

則可以得到其中ωn=nπa/l及9.4非齊次邊界的處理再利用拉普拉斯變換法來求解常微分方程(9.4-26)，可以得到最后就得到9.4非齊次邊界的處理設一勻質細桿，長度為l，其初始溫度為常數(shù)u0，而且兩端的溫度分別保持為u1

及u2。求細桿的熱傳導問題。解：設細桿的溫度分布為u(x，t)，則對應的定解問題為

9.4非齊次邊界的處理由先前的討論可知，對于這樣一個齊次方程在第一類齊次邊界條件下，其一般解為其中kn=nπ/l。上式中的疊加系數(shù)由初始條件確定，即利用三角函數(shù)的正交性，可以得到這樣，最后得到細桿上的溫度分布為目錄第10章

積分變換法10.1傅里葉變換法10.2拉普拉斯變換法10.3聯(lián)合變換法第2篇

數(shù)學物理方程10.1傅里葉變換法10.1傅里葉變換法在第六章中，我們介紹了傅里葉積分變換。如果一個函數(shù)

f(x)是無界區(qū)域-∞<x<∞中的分段光滑的函數(shù)，則可以進行如下傅里葉積分變換其中像函數(shù)F(k)為下面通過幾個典型的例子，說明如何利用傅里葉積分變換方法來求解無界區(qū)域中泛定方程的定解問題。利用傅里葉積分變換法求解一維無界區(qū)域中的波動問題解：根據(jù)傅里葉變換式(10.1-1)，令10.1傅里葉變換法將其代入式(10.1-3)，則可以得到其中分別為初始位移和初始速度的傅里葉變換。方程(10.1-5)的通解為其中系數(shù)A(k)及B(k)由初始條件確定10.1傅里葉變換法由此可以解得將式(10.1-8)代入式(10.1-7)，并進行反演，有

這樣，最后該波動方程的解為這種形式的解稱為達朗貝爾公式?？梢?，一旦知道了初始時刻(t=0)的振動位移?(x)和振動速度ψ(x)，那么任意時刻t的解u(x，t)就完全確定了。10.1傅里葉變換法求解無限長細桿的熱傳導問題解：對該方程及初始條件同時作傅里葉變換，則定解問題變?yōu)槠渲袨槌跏紲囟鹊母道锶~變換。方程(10.1-12)的解為對上式進行傅里葉變換反演，可以得到10.1傅里葉變換法這就是無限長細桿熱傳導定解問題(10.1-11)的形式解。利用式(10.1-13)，可以進一步得到利用積分公式[見式(4.4-8)]則最后得到無限長細桿的溫度分布為可見，一旦知道了初始時刻(t=0)的溫度分布?(x)，由上式就可以確定t>0以后任意時刻的溫度分布u(x，t)。10.1傅里葉變換法一個位于y=0的無限大金屬平板，其上電勢分布為

f(x)。確定上半平面(y>0)的電勢分布。解：根據(jù)題意，上半平面的電勢分布u(x，y)服從如下拉普拉斯方程及邊界條件該定解問題在x

軸方向是無界的，而在y軸方向則是半無界的。將方程(10.1-17)作關于x

的傅里葉變換，有其中為原函數(shù)

f(x)的傅里葉變換。考慮到邊界條件，方程(10.1-18)的解為10.1傅里葉變換法進行反演后，并將式(10.1-19)代入，則有而這樣，最后上半平面中的電勢分布為10.1傅里葉變換法求解三維無界空間中的波動問題解：借助于第六章引入的三維無界空間中的傅里葉變化，可以把上面的定解問題轉化為其中改變上式中的積分順序，則有10.1傅里葉變換法為初始位移和初始速度的像函數(shù)。由式(10.1-22)可以解得再進行逆變換將式(10.1-23)代入，有10.1傅里葉變換法借助δ

函數(shù)的定義，可以證明有[見式(5.4-21)]其中r0=at。將式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24)，并考慮到t>0，則可以得到10.1傅里葉變換法其中r0=at。將式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24)，并考慮到t>0，則可以得到由于δ(|r-r'|-at)的出現(xiàn)，上式右邊的積分只需在以r

為圓心、以at為半徑的球面Sat

上進行，即其中dSat

=r0sinθ0dθ0dφ0。θ0

和φ0

分別是矢量r0

的極角和方法角，r0=at。式(10.1-27)稱為泊松公式。式(10.1-27)表明，只要知道了初始時刻(t=0)的波動狀態(tài)，即初始位移?(r')和初始速度ψ(r')，將它們在球面Sat

上積分，就可以得到以后任意時刻(t>0)的波動狀態(tài)u(r，t)。10.1傅里葉變換法求解三維無界空間中的熱傳導問題解：借助于三維空間中的傅里葉變換，可以把定解問題轉化為其中為初始溫度的傅里葉變換。由式(10.1-29)，可以得到10.1傅里葉變換法再進行逆變換，并利用式(10.1-30)，有注意到積分則最后可以得到在一維情況下，上式即可以退化為式(10.1-16)。10.1傅里葉變換法求解無限長細桿的非齊次熱傳導方程的解其中

f(x，t)為已知的熱源分布函數(shù)。解：對該方程進行傅里葉變換，可以得到其中

將上式兩邊對時間t積分，并利用初始條件，有10.1傅里葉變換法將式(10.1-35)代入上式，有最后再進行反演，則得到可見，一旦知道了源函數(shù)

f(x，t)的形式，由上式即可以確定在任意地點x

和任意時刻t的溫度分布u(x，t)。由以上討論可以看出，傅里葉變換法求解定解問題的步驟如下:(1)借助于傅里葉變換把偏微分方程變換成一個關于時間變量的常微分方程;(2)求解這個一階或二階常微分方程，并由初始條件確定積分常數(shù);(3)進行傅里葉反演，確定出定解問題的解。在傅里葉積分變換法中，泛定方程可以是齊次的，也可以是非齊次的，但物理量的變化區(qū)域必須是無界的。10.2拉普拉斯變換法10.2拉普拉斯變換法本節(jié)介紹采用拉普拉斯變換法求解偏微分方程的定解問題。不管方程是齊次的還是非齊次的，所選的區(qū)域是無界的還是半無界的，原則上都可以采用拉普拉斯變換法。但實際情況下，由于拉普拉斯變換的反演過程極為復雜，使得這種方法的應用也受到一定的限制?，F(xiàn)在考慮一個隨空間變量x

和時間變量t變化的函數(shù)u(x，t)，其中變量x

的變化范圍可以是無界的或半無界的，而時間t的變化范圍是(0，∞)。根據(jù)第六章給出的拉普拉斯變換的定義式，原函數(shù)u(x，t)與像函數(shù)U(x，p)之間的變換關系由下式給出其中Rep>0。下面通過幾個典型的例子，說明如何利用拉普拉斯積分變換方法來求解無界或半無界區(qū)域中泛定方程的定解問題。求解半無限長細桿的熱傳導定解問題10.2拉普拉斯變換法解：對上述定解問題作關于時間t的拉普拉斯變換，則有其中F(p)是

f(t)的像函數(shù)?？紤]到在x

→∞時，定解應該有限，則由式(10.2-3)可以得到利用反演公式[見式(6.4-3)及式(6.4-4)]及拉普拉斯變換的卷積定理，可以得到10.2拉普拉斯變換法這就是半無限長細桿中的溫度分布。式(10.2-6)也適用于半無界區(qū)域中擴散過程的定解問題。在式(10.2-2)中，如果取u|x=0=u0(常數(shù))，則由式(10.2-6)可以得到令并代入式(10.2-7)，有

10.2拉普拉斯變換法采用拉普拉斯變換法求解無限長細桿的非齊次熱傳導問題其中

f(x，t)為已知的熱源分布函數(shù)。解：對方程(10.2-9)作關于時間t的拉普拉斯變換，則有這是一個二階非齊次常微分方程?？紤]到該方程的解在x

→±∞時應有界，則它的一般解為(見

§5.4節(jié)中的例4)對上式進行拉普拉斯反演，并利用則得到這與用傅里葉變換法得到的結果一致，見

§10.1節(jié)的例6。10.2拉普拉斯變換法利用拉普拉斯變換法求解一維無界區(qū)域中的波動問題解：對泛定方程進行拉普拉斯變換，并利用初始條件，則有該方程為一個二階非齊次常微分方程。考慮到該方程的解在x

→±∞時應有界，則它的一般解為10.2拉普拉斯變換法利用及對式(10.2-14)進行反演，可以得到這正是

§10.1節(jié)中得到的達朗貝爾公式。利用拉普拉斯變換，還可以求解有界區(qū)域中偏微分方程的定解問題。10.2拉普拉斯變換法利用拉普拉斯變換求解有限長度細桿的熱傳導問題解：對定解問題進行拉普拉斯變換，并考慮到初始條件，則得到這是一個二階非齊次常微分方程，它的解由兩部分組成，即對應的齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解。對應的齊次方程通解為10.2拉普拉斯變換法可以設非齊次方程的一個特解為將該特解代入非齊次方程(10.2-17)中，可以確定出系數(shù)為這樣非齊次方程(10.2-17)的通解為再考慮到邊界條件，有c1=c2=0，這樣有最后，再進行拉普拉斯反演，可以得到可以驗證，這與用分離變量法得到的結果是一致的。由以上討論可以看出，利用拉普拉斯變換法求解定解問題的步驟如下:(1)借助于拉普拉斯變換把偏微分方程變換成一個關于空間變量的二階常微分方程，同時包括了初始條件;(2)求解這個常微分方程，并考慮方程的解在x

→±∞時有界;(3)進行拉普拉斯反演，確定出定解問題的解。在拉普拉斯積分變換法中，泛定方程可以是齊次的，也可以是非齊次的;考慮的區(qū)域可以是無界的，也可以是有界的。10.3聯(lián)合變換法1.傅里葉

拉普拉斯積分聯(lián)合變換法求解三維無界空間中的受迫振動問題解：對上述定解問題進行傅里葉

拉普拉斯積分聯(lián)合變換，并在拉普拉斯變換中考慮初始條件