山東大學(xué)2026年《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題及答案一、填空題（每空3分，共18分）1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則P(X>1/λ)=________。2.若隨機變量Y～N(0,1)，則E[Y?]=________。3.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=6x,0<y<x<1，則Cov(X,Y)=________。4.設(shè)樣本X?,…,X?來自U(θ,θ+1)，則θ的矩估計為________。5.設(shè)X?,…,X?i.i.d.～Poisson(λ)，則λ的UMVUE為________。6.在顯著性水平α下，若檢驗統(tǒng)計量T～t(n?1)，則雙側(cè)檢驗的臨界值為________。二、單項選擇（每題4分，共12分）7.設(shè)X,Y獨立同分布于Exp(λ)，則P(X<Y<2X)=A.1/6?B.1/4?C.1/3?D.1/28.設(shè)X?,…,X?i.i.d.～N(μ,σ2)，σ2已知，則μ的1?α置信區(qū)間長度為A.2σz_{α/2}/√n?B.σz_{α}/√n?C.2σt_{α/2}(n?1)/√n?D.2σz_{α}/√(n?1)9.設(shè)X～Bin(n,p)，若用正態(tài)近似求P(X≤k)，則連續(xù)性校正后的表達式為A.Φ((k+0.5?np)/√(np(1?p)))?B.Φ((k?np)/√(np(1?p)))C.Φ((k?0.5?np)/√(np(1?p)))?D.Φ((k+np)/√(np(1?p)))三、計算與證明（共70分）10.（10分）設(shè)隨機變量X的密度f(x)=c·x^{α?1}(1?x)^{β?1},0<x<1，α,β>0。(1)求常數(shù)c；(2)求E[X]與Var(X)。解：(1)由∫?1f(x)dx=1得c=1/B(α,β)，其中B(α,β)=Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)。(2)E[X]=∫?1xf(x)dx=B(α+1,β)/B(α,β)=α/(α+β)。E[X2]=B(α+2,β)/B(α,β)=α(α+1)/[(α+β)(α+β+1)]。Var(X)=E[X2]?(E[X])2=αβ/[(α+β)2(α+β+1)]。11.（12分）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=2,0<y<x<1。(1)求邊緣密度f_X(x)；(2)求條件密度f_{Y|X}(y|x)；(3)求E[Y|X=x]；(4)求P(Y>1/2|X=3/4)。解：(1)f_X(x)=∫?^x2dy=2x,0<x<1。(2)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=2/(2x)=1/x,0<y<x。(3)E[Y|X=x]=∫?^xy·(1/x)dy=x/2。(4)當X=3/4時，Y～U(0,3/4)，故P(Y>1/2|X=3/4)=(3/4?1/2)/(3/4)=1/3。12.（12分）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～N(μ,σ2)，記S2=1/(n?1)∑(X_i?X?)2。(1)證明S2是σ2的無偏估計；(2)求Var(S2)；(3)若n=10，σ2=4，求P(S2>5.5)。解：(1)已知(n?1)S2/σ2～χ2(n?1)，故E[S2]=σ2。(2)Var(S2)=Var[(σ2/(n?1))·χ2(n?1)]=σ?/(n?1)2·2(n?1)=2σ?/(n?1)。(3)(n?1)S2/σ2=9S2/4～χ2(9)，P(S2>5.5)=P(χ2(9)>9×5.5/4)=P(χ2(9)>12.375)。查表得χ2_{0.20}(9)=11.39，χ2_{0.10}(9)=14.68，線性插值：P≈0.20?(12.375?11.39)/(14.68?11.39)×0.10≈0.17。13.（12分）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～Exp(λ)，λ>0未知。(1)求λ的MLE；(2)求Fisher信息量I(λ)；(3)證明λ?_{MLE}達到Cramér-Rao下界；(4)構(gòu)造λ的1?α漸近置信區(qū)間。解：(1)L(λ)=λ?exp(?λ∑X_i)，lnL=nlnλ?λ∑X_i，令導(dǎo)數(shù)為0得λ?=n/∑X_i=1/X?。(2)得分函數(shù)U=?lnL/?λ=n/λ?∑X_i，I(λ)=?E[?2lnL/?λ2]=n/λ2。(3)Var(λ?)≈1/(nI(λ))=λ2/n，而λ?為指數(shù)族自然參數(shù)之MLE，故有效。(4)由漸近正態(tài)性，λ?≈N(λ,λ2/n)，樞軸量√n(λ??λ)/λ?→N(0,1)，置信區(qū)間：λ?/(1+z_{α/2}/√n)≤λ≤λ?/(1?z_{α/2}/√n)。14.（12分）某生產(chǎn)線袋裝食品標重500g，現(xiàn)隨機抽取9袋，得x?=495g，s=8g。假設(shè)重量服從正態(tài)分布。(1)檢驗H?:μ=500vsH?:μ≠500（α=0.05）；(2)求μ的95%置信區(qū)間；(3)若要求置信區(qū)間長度不超過4g，求最小樣本量n。解：(1)t=(495?500)/(8/√9)=?1.875，|t|=1.875<t_{0.025}(8)=2.306，不拒絕H?。(2)495±2.306×8/3→(488.85,501.15)。(3)長度=2×t_{0.025}(n?1)·8/√n≤4，查t表迭代：n=62時t≈2.00，2×2×8/√62≈4.06；n=63時≈3.99，故n_min=63。15.（12分）設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，參數(shù)μ_X=μ_Y=0，σ_X=σ_Y=1，ρ=0.5。(1)求條件期望E[Y|X=x]；(2)求條件方差Var(Y|X=x)；(3)求P(Y>0.5|X=1)；(4)設(shè)Z=Y?ρX，證明Z與X獨立。解：(1)E[Y|X=x]=ρx=0.5x。(2)Var(Y|X=x)=1?ρ2=0.75。(3)Y|X=1～N(0.5,0.75)，標準化得P=(0.5?0.5)/√0.75=0，P(Y>0.5|X=1)=0.5。(4)聯(lián)合密度可寫成f_X(x)·f_Z(z)，其中Z～N(0,1?ρ2)，故獨立。四、綜合應(yīng)用（共18分）16.（18分）某電商平臺研究用戶點擊—轉(zhuǎn)化漏斗。設(shè)每日訪問人數(shù)N～Pois(λ)，每人獨立轉(zhuǎn)化概率p。記M為轉(zhuǎn)化人數(shù)。(1)求M的分布；(2)求E[M|N]與E[M]；(3)設(shè)λ未知，觀測7天得N_i與M_i，給出p的矩估計；(4)若λ=1000，p=0.02，用正態(tài)近似求P(M≥25)。解：(1)給定N=n，M～Bin(n,p)，對N取混合得M～Pois(λp)。(2)E[M|N]=Np，E[M]=E[E[M|N]]=λp。(3)記N?=1/7∑N_i，M?=1/7∑M_i，則p?=M?/N?。(4)M≈N(λp,λp)=N(20,20)，連續(xù)性校正：P(M≥25)≈1?Φ((24.5?20)/√20)=1?Φ(1.006)≈0.157。五、附加題（不計入總分，僅作區(qū)分）17.設(shè)X?,…,X?i.i.d.，密度f(x)=e^{?(x?θ)},x≥θ。(1)求θ的MLE；(2)求θ的分布；(3)構(gòu)造θ的1?α精確置信區(qū)間。解：(1)L(θ)=e^{?∑(X_i?θ)}·I_{θ≤X_{(1)}}，當θ=X_{(1)}時最大，故θ?=X_{(1)}。(2)令Y_