概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則P(X=2|X≥1)等于A.λ2e^{-λ}/[2(1-e^{-λ})]B.λ2e^{-λ}/2C.λ2e^{-λ}/(1-e^{-λ})D.λ2e^{-λ}/[2(1+λ)]答案：A解析：P(X=2|X≥1)=P(X=2)/P(X≥1)=(λ2e^{-λ}/2!)/[1-P(X=0)]=λ2e^{-λ}/[2(1-e^{-λ})].2.設(shè)X?,X?,…,X?獨(dú)立同分布于N(μ,σ2)，則下列統(tǒng)計(jì)量中服從t分布的是A.√n(X?-μ)/σB.√n(X?-μ)/SC.(X?-μ)/(σ/√n)D.(X?-μ)/(S/√n)答案：B解析：t分布定義要求用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替總體σ，故選B。A、C為N(0,1)，D分母寫法錯(cuò)誤。3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，則P(Y≤0.5)等于A.0.25B.0.125C.0.5D.0.375答案：B解析：積分區(qū)域0≤x≤y≤0.5，面積=∫?^{0.5}∫?^y2dxdy=∫?^{0.5}2ydy=y2|?^{0.5}=0.25，但密度為2，故概率=2×0.25×0.5=0.125（修正：2×三角形面積=2×0.125=0.25，再檢查積分限）。重新計(jì)算：P(Y≤0.5)=∫?^{0.5}∫?^y2dxdy=∫?^{0.5}2ydy=y2|?^{0.5}=0.25。故正確答案應(yīng)為0.25，選項(xiàng)A。原選項(xiàng)B錯(cuò)誤，勘誤后選A。4.設(shè)X~U(0,1)，Y=-lnX，則Y的密度函數(shù)為A.e^{-y},y>0B.1,0<y<1C.ye^{-y},y>0D.1/y,y>0答案：A解析：變換法：F_Y(y)=P(Y≤y)=P(-lnX≤y)=P(X≥e^{-y})=1-e^{-y},y>0，求導(dǎo)得f_Y(y)=e^{-y},y>0。5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若顯著性水平α減小，則A.第一類錯(cuò)誤概率減小，第二類錯(cuò)誤概率減小B.第一類錯(cuò)誤概率減小，第二類錯(cuò)誤概率增大C.第一類錯(cuò)誤概率增大，第二類錯(cuò)誤概率減小D.兩類錯(cuò)誤概率均不變答案：B解析：α=P(拒絕H?|H?真)即第一類錯(cuò)誤，α↓→拒絕域↓→更易接受H?→第二類錯(cuò)誤β↑。二、填空題（每題5分，共20分）6.設(shè)X~N(0,1)，則E|X|=________。答案：√(2/π)解析：E|X|=∫_{-∞}^{∞}|x|φ(x)dx=2∫?^{∞}xφ(x)dx=2/√(2π)∫?^{∞}xe^{-x2/2}dx=√(2/π)。7.設(shè)X?,X?,X?獨(dú)立同分布于Exp(λ)，則P(X?+X?+X?≤t)=________。答案：1-e^{-λt}(1+λt+(λt)2/2)解析：X?+X?+X?~Gamma(3,λ)，其CDF為F(t)=1-e^{-λt}∑_{k=0}^{2}(λt)^k/k!。8.設(shè)樣本方差S2=1/(n-1)∑(X?-X?)2，則E(S2)=________。答案：σ2解析：S2為σ2的無偏估計(jì)，E(S2)=σ2。9.設(shè)X~Bin(n,p)，則Var(X)=________。答案：np(1-p)解析：二項(xiàng)分布方差公式。三、計(jì)算題（共30分）10.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)=cx2,0<x<1，其余為0。(1)求常數(shù)c；(2)求E(X)和Var(X)；(3)設(shè)Y=X2，求Y的密度函數(shù)。解：(1)∫?1cx2dx=1?c[x3/3]?1=1?c=3。(2)E(X)=∫?1x·3x2dx=3∫?1x3dx=3/4；E(X2)=∫?1x2·3x2dx=3∫?1x?dx=3/5；Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=3/5-(3/4)2=3/5-9/16=3/80。(3)設(shè)Y=X2，則X=√Y，0<y<1，|dx/dy|=1/(2√y)，f_Y(y)=f_X(√y)·|dx/dy|=3y·1/(2√y)=(3/2)√y,0<y<1。11.（10分）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=e^{-y},0<x<y<∞。(1)求邊緣密度f_X(x)；(2)求條件密度f_{Y|X}(y|x)；(3)求E(Y|X=x)。解：(1)f_X(x)=∫_x^{∞}e^{-y}dy=e^{-x},x>0，即X~Exp(1)。(2)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=e^{-y}/e^{-x}=e^{x-y},y>x。(3)E(Y|X=x)=∫_x^{∞}ye^{x-y}dy=e^x∫_x^{∞}ye^{-y}dy分部積分：=e^x[-ye^{-y}-e^{-y}]|_x^{∞}=e^x[0-(-xe^{-x}-e^{-x})]=x+1。12.（10分）設(shè)X?,…,X?為來自N(μ,σ2)的樣本，記X?=1/n∑X?，S2=1/(n-1)∑(X?-X?)2。(1)證明X?與S2獨(dú)立；(2)求Cov(X?,S2)。解：(1)正態(tài)樣本中，樣本均值與樣本方差獨(dú)立是經(jīng)典結(jié)論，可通過Basu定理或聯(lián)合分布分解證明。(2)因獨(dú)立，Cov(X?,S2)=0。四、綜合應(yīng)用題（共30分）13.（15分）某生產(chǎn)線袋裝食品標(biāo)重500g，長期經(jīng)驗(yàn)表明標(biāo)準(zhǔn)差σ=5g。現(xiàn)隨機(jī)抽取n=16袋，測得平均重X?=498g。(1)在α=0.05下檢驗(yàn)H?:μ=500vsH?:μ≠500；(2)求檢驗(yàn)的p值；(3)若真實(shí)均值μ=497g，求此檢驗(yàn)的功效（power）。解：(1)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=√n(X?-μ?)/σ=4(498-500)/5=-1.6。雙側(cè)臨界值±1.96，|Z|=1.6<1.96，故不拒絕H?。(2)p值=2P(Z≤-1.6)=2Φ(-1.6)=2×0.0548=0.1096。(3)功效=1-β=P(拒絕|μ=497)。拒絕域|X?-500|>1.96×5/4=2.45，即X?<497.55或X?>502.45。在μ=497下，X?~N(497,25/16)，P(X?<497.55)=Φ((497.55-497)/1.25)=Φ(0.44)=0.67；P(X?>502.45)=1-Φ((502.45-497)/1.25)=1-Φ(4.36)≈0；功效≈0.67。14.（15分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度f(x;θ)=θx^{θ-1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估計(jì)θ?_M；(2)求θ的最大似然估計(jì)θ?_L；(3)計(jì)算θ?_L的漸近方差，并構(gòu)造θ的近似95%置信區(qū)間。解：(1)E(X)=∫?1xθx^{θ-1}dx=θ∫?1x^θdx=θ/(θ+1)。令樣本均值X?=θ/(θ+1)?θ?_M=X?/(1-X?)。(2)似然函數(shù)L(θ)=∏θx?^{θ-1}=θ?(∏x?)^{θ-1}，lnL=nlnθ+(θ-1)∑lnx?，求導(dǎo)：n/θ+∑lnx?=0?θ?_L=-n/∑lnx?。(3)Fisher信息I(θ)=-E[?2lnf/?θ2]=-E[-1/θ2]=1/θ2，漸近方差=1/(nI(θ))=θ2/n。用θ?_L代換，得近似95%CI：θ?_L±1.96·θ?_L/√n。五、證明題（共20分）15.（10分）設(shè)X?,…,X?獨(dú)立同分布，E(X?)=μ,Var(X?)=σ2<∞。記S?=∑X?，證明(S?-nμ)/(σ√n)→dN(0,1)并由此說明樣本均值X?的漸近分布。證明：這是獨(dú)立同分布情形下的中心極限定理（CLT）。令Y?=(X?-μ)/σ，則EY?=0,Var(Y?)=1，由Lindeberg-LevyCLT，∑Y?/√n→dN(0,1)，即(S?-nμ)/(σ√n)→dN(0,1)。而X?=S?/n，故√n(X?-μ)/σ→dN(0,1)，即X?≈N(μ,σ2/n)對充分大的n成立。16.（10分）設(shè)X~Poisson(λ)，Y|X=x~Bin(x,p)。證明Y~Poisson(λp)。證明：用全概率公式：P(Y=k)=∑_{x=k}^{∞}P(Y=k|X=x)P(X=x)=∑_{x=k}^{∞}C(x,k)p^k(1-p)^{x-k}·e^{-λ}λ^x/x!=e^{-λ}p^k/k!∑_{x=k}^{∞}λ^x(1-p)^{x-k}/(x-k)!令t=x-k，得=e^{-λ}(λp)^k/k!∑_{t=0}^{∞}[λ(1-p)]^t/t!=e^{-λ}(λp)^k/k!e^{λ(1-p)}=e^{-λp}(λp)^k/k!，即Y~Poisson(λp)。六、拓展題（共20分）17.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度f(x)=1/(π(1+x2))，即標(biāo)準(zhǔn)柯西分布。(1)證明E|X|不存在；(2)設(shè)X?,…,X?為i.i.d.樣本，證明樣本均值X?與X?同分布；(3)由此說明CLT為何不適用。解：(1)E|X|=∫_{-∞}^{∞}|x|/(π(1+x2))dx=2/π∫?^{∞}x/(1+x2)dx=1/πl(wèi)n(1+x2)|?^{∞}=∞，故不存在。(2)柯西分布的特征函數(shù)φ(t)=e^{-|t|}，X?的特征函數(shù)φ_{X?}(t)=E[e^{itX?}]=∏E[e^{itX?/n}]=[φ(t/n)]?=[e^{-|t|/n}]?=e^{-|t|}=φ(t)，故X?與X?同分布。(3)CLT要求有限方差，柯西方差無窮，故CLT不適用，X?不收斂到正態(tài)，而保持柯西形狀。18.（10分）設(shè)線性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)，X為n×p列滿秩矩陣。(1)求β的最小二乘估計(jì)β?及其分布；(2)證明σ2的無偏估計(jì)為σ?2=‖Y-Xβ?‖2/(n-p)；(3)構(gòu)造β?_j的精確95%置信區(qū)間。解：(1)β?=(X?X)^{-1}X?Y，線性變換下β?~N(