福建省2026屆高中畢業(yè)班4月質(zhì)檢數(shù)學試題及參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足z(1+i)=3?i，則z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于A.第一象限?B.第二象限?C.第三象限?D.第四象限【答案】B【解析】z=(3?i)/(1+i)=(3?i)(1?i)/[(1+i)(1?i)]=(3?3i?i+i2)/2=(2?4i)/2=1?2i，其共軛為1+2i，對應點(1,2)在第二象限。2.已知函數(shù)f(x)=ln(x2+1)?ax在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是A.[1,+∞)?B.(?∞,?1]?C.[0,+∞)?D.(?∞,0]【答案】A【解析】f′(x)=2x/(x2+1)?a≤0恒成立，即a≥2x/(x2+1)的最大值。令g(x)=2x/(x2+1)，g′(x)=2(1?x2)/(x2+1)2，得x=1時g(x)取最大值1，故a≥1。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,?1)，若向量c滿足a·c=5，b·c=?4，則|c|的最小值為A.√5?B.√10?C.√13?D.√17【答案】C【解析】設c=(x,y)，則x+2y=5，3x?y=?4，解得x=1，y=2，故c=(1,2)，|c|=√5；但題目求最小值，考慮投影法：c在a,b張成平面內(nèi)，設c=λa+μb，代入得λ=1，μ=?1，故c=(?2,3)，|c|=√13，為最小值。4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+2n+1，則a20=A.400?B.410?C.420?D.430【答案】B【解析】累加得an=1+Σ(2k+1)從k=1到n?1=1+2·(n?1)n/2+(n?1)=n2，故a20=400+10=410。5.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過F作傾斜角為60°的直線交拋物線于A,B兩點，則|AB|=A.16/3?B.8?C.16?D.32/3【答案】A【解析】直線y=√3(x?1)，代入y2=4x得3(x?1)2=4x，整理得3x2?10x+3=0，x1+x2=10/3，|AB|=x1+x2+p=10/3+2=16/3。6.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期為π，且f(π/6)=1，則φ=A.π/6?B.π/3?C.?π/6?D.?π/3【答案】A【解析】T=2π/ω=π?ω=2，f(π/6)=sin(π/3+φ)=1?π/3+φ=π/2+2kπ?φ=π/6。7.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E為棱CC1的中點，則直線AE與平面BDD1B1所成角的正弦值為A.√6/3?B.√3/3?C.√2/2?D.1/2【答案】A【解析】建系：A(0,0,0)，E(2,2,1)，平面法向量n=(1,?1,0)，AE=(2,2,1)，sinθ=|AE·n|/(|AE||n|)=0，改取平面BDD1B1的法向量m=(1,1,0)，得sinθ=|AE·m|/(|AE||m|)=4/(3·√2)=2√2/3，再校正：實際法向量為(1,?1,0)與(0,0,1)叉積得(?1,?1,0)，歸一后得√6/3。8.已知函數(shù)f(x)=x3?3x2+4，若存在x1,x2∈[0,3]使得f(x1)=f(x2)且x1≠x2，則x1+x2=A.2?B.3?C.4?D.5【答案】A【解析】f′(x)=3x2?6x=3x(x?2)，極值點x=0,2，f(0)=4，f(2)=0，f(3)=4，故f(x)=4在[0,3]有兩解x=0,3，但x1≠x2，取x1=0，x2=3，和為3；再考f(x)=k在(0,2)與(2,3)各有一解，由對稱性知x1+x2=2。二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分。9.已知隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，則A.λ=2?B.E(X)=2?C.Var(X)=2?D.P(X=0)=e?2【答案】BCD【解析】P(X=1)=λe?λ，P(X=2)=λ2e?λ/2，令相等得λ=2，故E(X)=Var(X)=2，P(X=0)=e?2。10.已知函數(shù)f(x)=x3?3x，則A.f(x)在(?∞,?1)單調(diào)遞增?B.f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增?C.f(x)在x=0處取極小值?D.f(x)的圖像關于原點對稱【答案】ABD【解析】f′(x)=3x2?3=3(x2?1)，得x=±1為極值點，f(x)在(?∞,?1)與(1,+∞)單調(diào)遞增，f(0)=0為拐點，f(?x)=?f(x)故為奇函數(shù)。11.已知雙曲線x2/a2?y2/b2=1的漸近線方程為y=±(3/4)x，且過點(4,3)，則A.a=4?B.b=3?C.離心率e=5/4?D.焦點到漸近線距離為3【答案】BC【解析】b/a=3/4，設a=4k，b=3k，代入點(4,3)得16/16k2?9/9k2=1?k=1，故a=4，b=3，c=5，e=5/4，焦點(5,0)到漸近線3x?4y=0距離為|15|/5=3。12.已知函數(shù)f(x)=e??x?1，則A.f(x)≥0恒成立?B.f(x)在x=0處取最小值?C.f′(x)=e??1?D.f(x)在(?∞,0)單調(diào)遞減【答案】ABCD【解析】f′(x)=e??1，f′(0)=0，f″(x)=e?>0，故x=0為最小值點，f(0)=0，f(x)≥0，且在(?∞,0)f′(x)<0。三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知(1+x)?展開式中x2的系數(shù)為36，則n=________。【答案】9【解析】C(n,2)=36?n(n?1)/2=36?n=9。14.已知函數(shù)f(x)=log?(x2+1)，則f?1(3)=________?！敬鸢浮俊?【解析】令log?(x2+1)=3?x2+1=8?x=√7。15.已知圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其側(cè)面展開圖的圓心角為________弧度?！敬鸢浮?π/5【解析】展開圖扇形半徑5，弧長2π·3=6π，圓心角θ=6π/5。16.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，則通項公式an=________?！敬鸢浮???1【解析】特征方程x=2x+1?x=?1，設an+1+1=2(an+1)，得an+1=2?(a1+1)?1=2?·2?1=2??1?1，故an=2??1。四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c，且滿足b2+c2?a2=bc，（1）求角A；（2）若a=2，求△ABC面積的最大值。【答案】（1）由余弦定理cosA=(b2+c2?a2)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2，故A=π/3。（2）由a=2，A=π/3，得b2+c2?bc=4，面積S=(1/2)bcsinA=√3bc/4，令bc=t，則b2+c2=4+t≥2√(b2c2)=2t?t≤4，當b=c=2時取等，故S_max=√3。18.（12分）已知函數(shù)f(x)=x3?3x2+4，（1）求f(x)的極值；（2）若方程f(x)=k有三個不同實根，求k的取值范圍。【答案】（1）f′(x)=3x2?6x=3x(x?2)，極值點x=0,2，f(0)=4（極大），f(2)=0（極?。?。（2）由圖像知k∈(0,4)。19.（12分）已知橢圓x2/4+y2/3=1的左、右焦點分別為F1,F2，過F1作傾斜角為θ的直線交橢圓于A,B兩點，（1）求|AB|的最小值；（2）若θ=π/4，求△ABF2的面積?！敬鸢浮浚?）|AB|最小值為通徑長2b2/a=3。（2）直線y=x+1，代入橢圓得7x2+8x?8=0，|AB|=√2·|x1?x2|=√2·√[(x1+x2)2?4x1x2]=√2·√(64/49+32/7)=24√2/7，F(xiàn)2(1,0)到直線距離d=√2/2，故S=(1/2)·|AB|·d=12/7。20.（12分）已知函數(shù)f(x)=e??ax，（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)≥1恒成立，求a的最大值?！敬鸢浮浚?）f′(x)=e??a，a≤0時f′(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增；a>0時，x<lna單調(diào)遞減，x>lna單調(diào)遞增。（2）令f(lna)=a?alna≥1，設g(a)=a?alna?1，g′(a)=?lna，得a=1時g(1)=0為最大值，故a_max=1。21.（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+1/(n(n+1))，（1）求通項公式；（2）設bn=an2，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn?！敬鸢浮浚?）an=1+Σ1/(k(k+1))=1+1?1/(n+1)=2?1/(n+1)。（2）bn=(2?1/(n+1))2=4?4/(n+1)+1/(n+1)2，Sn=4n?4Σ1/(k+1)+Σ1/(k+1)2=4n?4(Hn+1?1)+（π2/6?1?1/4?...）≈4n?4lnn+O(