山西大學(xué)2026年《統(tǒng)計學(xué)導(dǎo)論》期末試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.某研究者想比較三種不同教學(xué)方法對學(xué)生成績的影響，最適合的統(tǒng)計方法是A.單樣本t檢驗??B.配對t檢驗??C.單因素方差分析??D.卡方檢驗答案：C解析：比較三個及以上獨(dú)立組的均值差異，應(yīng)使用單因素方差分析（One-wayANOVA）。t檢驗僅適用于兩組，卡方檢驗用于分類變量。2.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(μ-1.96σ≤X≤μ+1.96σ)約為A.90%??B.95%??C.99%??D.68%答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在±1.96σ之間的面積約為0.95，即95%。3.在簡單線性回歸中，若決定系數(shù)R2=0.81，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值為A.0.81??B.0.9??C.0.656??D.無法確定答案：B解析：R2=r2，故|r|=√0.81=0.9。4.下列哪項不是時間序列的構(gòu)成要素A.長期趨勢??B.季節(jié)變動??C.循環(huán)波動??D.抽樣誤差答案：D解析：抽樣誤差屬于抽樣調(diào)查概念，與時間序列分解無關(guān)。5.在假設(shè)檢驗中，增大樣本量會導(dǎo)致A.α一定減小??B.β一定減小??C.檢驗功效一定增大??D.臨界值一定增大答案：C解析：樣本量增大，標(biāo)準(zhǔn)誤減小，檢驗功效（1-β）提高；α由研究者事先設(shè)定，與樣本量無關(guān)。6.對同一總體進(jìn)行重復(fù)抽樣，樣本均值的分布稱為A.樣本分布??B.抽樣分布??C.總體分布??D.經(jīng)驗分布答案：B解析：樣本統(tǒng)計量的概率分布稱為抽樣分布。7.若兩變量完全負(fù)線性相關(guān)，則其Pearson相關(guān)系數(shù)為A.0??B.1??C.-1??D.無法計算答案：C解析：完全負(fù)線性相關(guān)時，所有點落在一條斜率為負(fù)的直線上，r=-1。8.在列聯(lián)表檢驗中，當(dāng)期望頻數(shù)小于5的單元格比例超過20%時，應(yīng)A.增大樣本量??B.使用Fisher精確檢驗??C.合并行列??D.以上均可答案：D解析：卡方檢驗要求期望頻數(shù)不宜過小，可通過增大樣本、合并類別或改用精確方法解決。9.若某指數(shù)今年為120，去年為100，則今年相對于去年的增長速度為A.20%??B.120%??C.16.7%??D.1.2%答案：A解析：增長速度=(120-100)/100=20%。10.在Bootstrap估計中，重復(fù)抽樣的次數(shù)通常建議不少于A.100??B.500??C.1000??D.10000答案：C解析：為保證估計穩(wěn)定，Bootstrap重復(fù)次數(shù)一般≥1000。二、多項選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列屬于描述統(tǒng)計方法的有A.直方圖??B.箱線圖??C.假設(shè)檢驗??D.莖葉圖??E.散點圖答案：ABDE解析：假設(shè)檢驗屬于推斷統(tǒng)計，其余為描述統(tǒng)計。12.關(guān)于p值，正確的說法有A.p值越小，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越強(qiáng)B.p值表示原假設(shè)為真的概率C.p值大于顯著性水平時，不能拒絕原假設(shè)D.p值與樣本量無關(guān)E.p值依賴于檢驗統(tǒng)計量的觀測值答案：ACE解析：p值是原假設(shè)成立下出現(xiàn)當(dāng)前或更極端結(jié)果的概率，非原假設(shè)本身概率；樣本量影響標(biāo)準(zhǔn)誤，從而間接影響p值。13.下列哪些情況可能導(dǎo)致“偽回歸”A.序列存在單位根且未協(xié)整B.遺漏重要解釋變量C.解釋變量與被解釋變量互為因果D.殘差存在異方差E.樣本量過小答案：ABC解析：單位根非平穩(wěn)且未協(xié)整時，t統(tǒng)計量分布扭曲；遺漏變量與雙向因果造成估計偏誤；異方差與小樣本影響效率而非偽回歸本質(zhì)。14.關(guān)于置信區(qū)間，正確的有A.95%置信區(qū)間指參數(shù)有95%概率落入該區(qū)間B.區(qū)間寬度與樣本量成反比C.置信水平越高，區(qū)間越寬D.重復(fù)抽樣構(gòu)造的區(qū)間中，約95%包含真值E.置信區(qū)間中心是樣本統(tǒng)計量答案：BCDE解析：參數(shù)是固定常數(shù)，置信區(qū)間是隨機(jī)的，A表述錯誤。15.下列屬于非參數(shù)檢驗的有A.Wilcoxon符號秩檢驗??B.Kruskal-Wallis檢驗??C.Mann-WhitneyU檢驗??D.符號檢驗??E.單因素ANOVA答案：ABCD解析：E為參數(shù)檢驗，要求正態(tài)性與方差齊性。三、判斷題（每題1分，共10分，正確打“√”，錯誤打“×”）16.標(biāo)準(zhǔn)差一定小于均值。??答案：×解析：標(biāo)準(zhǔn)差與均值量綱相同，但數(shù)值大小無必然關(guān)系，如N(0,1)均值0，標(biāo)準(zhǔn)差1。17.若兩變量獨(dú)立，則其協(xié)方差一定為零。??答案：√解析：獨(dú)立?Cov(X,Y)=0；反之不成立，除非聯(lián)合正態(tài)。18.在泊松分布中，均值與方差相等。??答案：√解析：Poisson(λ)的期望與方差均為λ。19.增大顯著性水平α必然導(dǎo)致β減小。??答案：√解析：α與β呈反向關(guān)系，在樣本量固定時。20.決定系數(shù)R2可用來評價邏輯回歸模型的擬合優(yōu)度。??答案：×解析：邏輯回歸使用似然比、偽R2（如NagelkerkeR2），而非線性回歸的R2。21.峰度大于3表示分布比正態(tài)分布更尖峭。??答案：√解析：超額峰度=峰度-3，正值為尖峰。22.系統(tǒng)抽樣屬于概率抽樣。??答案：√解析：系統(tǒng)抽樣按固定間隔抽取，每個單元入樣概率已知。23.若殘差呈現(xiàn)漏斗形，說明存在多重共線性。??答案：×解析：漏斗形提示異方差，多重共線性表現(xiàn)為方差膨脹因子增大。24.中位數(shù)對極端值比均值更敏感。??答案：×解析：中位數(shù)是位置統(tǒng)計量，對極端值穩(wěn)健。25.在指數(shù)平滑中，平滑系數(shù)α越接近1，模型對歷史數(shù)據(jù)越依賴。??答案：×解析：α→1表示給予最新觀測值更大權(quán)重，對歷史衰減更快。四、填空題（每空2分，共20分）26.若X~B(n=100,p=0.2)，則E(X)=____，Var(X)=____。答案：20；16解析：二項分布期望np，方差np(1-p)。27.在假設(shè)檢驗中，同時控制α與β的有效方法是____。答案：增大樣本量解析：樣本量增加可同時降低α與β。28.若樣本均值x?=50，s=10，n=25，則均值標(biāo)準(zhǔn)誤為____。答案：2解析：標(biāo)準(zhǔn)誤=s/√n=10/5=2。29.拉氏價格指數(shù)使用____期數(shù)量作為權(quán)重。答案：基解析：Laspeyres指數(shù)以基期數(shù)量為權(quán)。30.若隨機(jī)變量Z~N(0,1)，則P(Z>1.645)=____。答案：0.05解析：單側(cè)5%臨界值。31.在聚類分析中，衡量樣本間距離的常用度量是____距離。答案：歐氏解析：Euclidean距離最常用。32.若回歸模型出現(xiàn)序列相關(guān)，可采用____檢驗。答案：DW（Durbin-Watson）解析：DW檢驗檢測一階自相關(guān)。33.若樣本偏度為-0.8，則分布呈____偏。答案：左解析：負(fù)偏度表示左偏，長尾在左。34.在貝葉斯框架中，先驗與似然的乘積正比于____。答案：后驗解析：Bayes定理：后驗∝先驗×似然。35.若將5點李克特量表視為連續(xù)變量進(jìn)行Pearson相關(guān)，需滿足____性假設(shè)。答案：近似正態(tài)解析：雖然有序，但大樣本下近似正態(tài)即可。五、簡答題（每題8分，共24分）36.說明中心極限定理的內(nèi)容及其在統(tǒng)計推斷中的作用。答案：中心極限定理（CLT）指出，從任意總體（均值為μ，方差為σ2有限）中抽取容量為n的隨機(jī)樣本，當(dāng)n足夠大時，樣本均值的分布近似服從N(μ,σ2/n)。作用：1.無需知道總體分布即可對均值進(jìn)行正態(tài)近似推斷；2.構(gòu)建置信區(qū)間：x?±zα/2·s/√n；3.進(jìn)行假設(shè)檢驗：t或z檢驗均依賴該近似；4.為大樣本理論奠定基礎(chǔ)，如Bootstrap、漸近分布。37.比較分層抽樣與整群抽樣的優(yōu)缺點。答案：分層抽樣：優(yōu)點：1.層內(nèi)同質(zhì)、層間異質(zhì)可提高估計精度；2.可對各層分別估計，靈活；3.便于組織與管理。缺點：1.需完整抽樣框且分層變量已知；2.分層變量選擇不當(dāng)反降低精度；3.加權(quán)復(fù)雜。整群抽樣：優(yōu)點：1.僅需群框，無需個體框，成本低；2.現(xiàn)場調(diào)查集中，節(jié)省交通費(fèi)用；3.適合自然成群總體。缺點：1.群間差異大導(dǎo)致設(shè)計效應(yīng)高，精度低；2.樣本量相同時誤差大于簡單隨機(jī)；3.統(tǒng)計分析需考慮群內(nèi)相關(guān)，復(fù)雜。38.解釋多重共線性對回歸模型的影響及診斷方法。答案：影響：1.系數(shù)估計方差膨脹，t值不顯著；2.系數(shù)符號與理論相反；3.模型對樣本微小變化敏感，預(yù)測不穩(wěn)定；4.難以區(qū)分各自變量邊際貢獻(xiàn)。診斷：1.方差膨脹因子VIF>10為嚴(yán)重；2.特征值與條件指數(shù)，>30提示問題；3.相關(guān)系數(shù)矩陣，|r|>0.9需警惕；4.系數(shù)符號與理論背離；5.剔除或合并變量、主成分、嶺回歸可緩解。六、計算與綜合題（共61分）39.（10分）某生產(chǎn)線袋裝面粉標(biāo)稱500g，隨機(jī)抽取16袋，測得x?=495g，s=8g。假定質(zhì)量服從正態(tài)分布，檢驗是否顯著不足（α=0.05）。答案：H0:μ=500；H1:μ<500t=(495-500)/(8/√16)=-5/2=-2.5臨界值t0.05,15=-1.753∵-2.5<-1.753，拒絕H0結(jié)論：袋裝面粉平均質(zhì)量顯著低于標(biāo)稱。解析：單側(cè)檢驗，使用t分布，自由度n-1=15。40.（12分）隨機(jī)調(diào)查200名本科生，記錄月消費(fèi)（元）與性別，得：男生n1=120，x?1=1800，s1=300；女生n2=80，x?2=1650，s2=250。（1）檢驗?zāi)信孪M(fèi)差異是否顯著（α=0.05）；（2）求均值差μ1-μ2的95%置信區(qū)間。答案：（1）H0:μ1=μ2；H1:μ1≠μ2合并標(biāo)準(zhǔn)誤：Sp2=((119·3002+79·2502))/(198)=77525SE=√(Sp2(1/120+1/80))=√(77525·0.0208)=√1612.5≈40.16t=(1800-1650)/40.16≈3.73t0.025,198≈1.972|t|>1.972，拒絕H0，差異顯著。（2）置信區(qū)間：(1800-1650)±1.972·40.16=150±79.2=(70.8,229.2)元解析：方差齊性下用合并方差t檢驗；區(qū)間不含0，與檢驗一致。41.（12分）某市近12個月二手房均價（萬元/㎡）如下：3.2,3.3,3.5,3.4,3.6,3.8,3.7,3.9,4.0,4.1,4.2,4.3（1）用3期簡單移動平均預(yù)測第13個月價格；（2）計算指數(shù)平滑（α=0.3）第12期平滑值S12；（3）比較兩種方法哪種對本期誤差更小。答案：（1）F13=(4.1+4.2+4.3)/3=4.2（2）S1=3.2S2=0.3·3.3+0.7·3.2=3.23迭代至S12=3.89（3）實際第12期為4.3移動平均誤差：|4.2-4.3|=0.1平滑誤差：|3.89-4.3|=0.41∴移動平均更小。解析：指數(shù)平滑需遞推，α小則平滑度高，對近期變化反應(yīng)慢。42.（13分）為研究廣告投入x（萬元）對銷售額y（萬元）的影響，收集15個城市數(shù)據(jù)，擬合得：?=20+1.5x，SST=1200，SSE=300（1）求決定系數(shù)R2并解釋；（2）檢驗x對y的線性關(guān)系是否顯著（α=0.01）；（3）若x=10，求y的90%預(yù)測區(qū)間（x?=8，Σ(x-x?)2=200，s=√(300/13)=4.8）。答案：（1）R2=1-SSE/SST=1-300/1200=0.75，解釋75%銷售變動。（2）F=(SSR/1)/(SSE/(n-2))=(900/1)/(300/13)=39F0.01,1,13=9.0739>9.07，拒絕H0，關(guān)系顯著。（3）預(yù)測值：20+1.5·10=35標(biāo)準(zhǔn)誤預(yù)測：s_pred=4.8√(1+1/15+(10-8)2/200)=4.8√1.0867≈5.0t0.05,13=1.771區(qū)間：35±1.771·5.0=(26.1,43.9)萬元解析：預(yù)測區(qū)間含未來隨機(jī)誤差，比置信區(qū)間寬。43.（14分）某電商平臺想比較三種快遞包裝方案對破損率的影響，隨機(jī)分配90個訂單，每種30個，記錄破損情況：方案A：破損5件；B：破損3件；C：破損10件。（1）構(gòu)建3×2列聯(lián)表；（2）用卡方檢驗判斷破損率差異是否顯著（α=0.05）；（3）若差異顯著，進(jìn)一步比較哪兩種方案差異主要來源。答案：（1）列聯(lián)表：方案?破損?完好?合計A??5??25??30B??3??27??30C??10??20??30合計?18??72??90（2）期望頻數(shù)：A破損=18·30/90=6，同理B=6，C=6χ2=Σ(O-E)2/E=(5-6)2/6+(3-6)2/6+(10-6)2/6+(25-24)2/24+(27-24)2/24+(20-24)2/24=1/6+9/6+16/6+1/24+9/24+16/24=26/6+26/24=4.33+1.08=5.41df=(3-1)(2-1)=2χ20.05,2=5.995.41<5.99，不拒絕H0，差異不顯著。（3）因整體差異不顯著，無需事后比較。解析：期望頻數(shù)均>5，卡方近似有效；若顯著可用Bonferroni校正兩兩比較。七、軟件應(yīng)用題（共20分）44.使用R語言完成下列任務(wù)，并寫出關(guān)鍵代碼與結(jié)果解讀。數(shù)據(jù)集：shauni.csv，包含變量height（cm）、weight（kg）、gender（M/F）、college（文理法醫(yī)工）。（1）讀取數(shù)據(jù)并計算男女平均身高差異的t檢驗（方差齊性）；（2）繪制weight對height的散點圖，并添加回