北京交通大學2026年8月《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》作業(yè)考核試題及答案1.設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，已知P{X=2}=P{X=3}，求λ的值，并計算P{X≥5}。答案：由泊松分布概率質量函數(shù)P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!，得e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!?λ^{2}/2=λ^{3}/6?λ=3。P{X≥5}=1?∑_{k=0}^{4}e^{-3}3^{k}/k!=1?e^{-3}(1+3+9/2+27/6+81/24)=1?e^{-3}(1+3+4.5+4.5+3.375)=1?e^{-3}·16.375≈1?0.0498·16.375≈1?0.8155≈0.1845。解析：泊松分布的“無記憶性”體現(xiàn)在參數(shù)λ唯一決定分布形態(tài)。通過等概率條件反解λ，再借助互補事件求尾部概率，避免直接求和無窮級數(shù)。2.某地鐵站早高峰每10秒通過一列列車，乘客到達服從強度為每分鐘18人的泊松流。設X為乘客等待第一列列車的時間（秒），求X的分布函數(shù)、期望及P{X>15}。答案：列車間隔固定10秒，乘客到達為泊松過程，則等待時間X服從[0,10]上的連續(xù)均勻分布。分布函數(shù)F(x)=x/10，0≤x≤10；期望E[X]=∫_{0}^{10}x·1/10dx=5秒；P{X>15}=0，因為最大等待10秒。解析：泊松過程的“到達”與“服務”獨立，但服務（列車出發(fā)）為確定性周期事件，故等待時間被截斷在[0,10]區(qū)間，形成均勻分布而非指數(shù)分布。3.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=k(x+y)，0≤x≤1，0≤y≤1，其他區(qū)域為零。(1)求常數(shù)k；(2)求邊緣密度f_{X}(x)；(3)求條件密度f_{Y|X}(y|x)；(4)計算Cov(X,Y)。答案：(1)由∫∫f(x,y)dxdy=1?k∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}(x+y)dydx=k∫_{0}^{1}(x+1/2)dx=k·1=1?k=1。(2)f_{X}(x)=∫_{0}^{1}(x+y)dy=x+1/2，0≤x≤1。(3)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_{X}(x)=(x+y)/(x+1/2)，0≤y≤1。(4)E[X]=∫_{0}^{1}x(x+1/2)dx=7/12，E[Y]=7/12（對稱），E[XY]=∫∫xy(x+y)dxdy=∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}(x^{2}y+xy^{2})dydx=∫_{0}^{1}(x^{2}/2+x/3)dx=1/6+1/6=1/3，Cov(X,Y)=E[XY]?E[X]E[Y]=1/3?(7/12)^{2}=1/3?49/144=?1/144。解析：聯(lián)合密度含交叉項x+y，導致X與Y負相關。計算協(xié)方差時，利用對稱性簡化期望運算，避免重復積分。4.設X_{1},…,X_{n}獨立同分布于U(0,θ)，θ>0未知。令θ?_{1}=2X?，θ?_{2}=max{X_{i}}。(1)求θ?_{1}與θ?_{2}的期望；(2)比較兩者的均方誤差MSE；(3)若n=10，觀測到max{x_{i}}=9.2，求θ的矩估計與最大似然估計。答案：(1)E[X_{i}]=θ/2?E[θ?_{1}]=2·θ/2=θ，無偏；max{X_{i}}的密度f_{(n)}(x)=nx^{n?1}/θ^{n}，0≤x≤θ，E[θ?_{2}]=∫_{0}^{θ}x·nx^{n?1}/θ^{n}dx=nθ/(n+1)，有偏。(2)MSE(θ?_{1})=Var(θ?_{1})=4Var(X?)=4·θ^{2}/(12n)=θ^{2}/(3n)；MSE(θ?_{2})=E[(θ?_{2}?θ)^{2}]=E[θ?_{2}^{2}]?2θE[θ?_{2}]+θ^{2}=∫_{0}^{θ}x^{2}·nx^{n?1}/θ^{n}dx?2θ·nθ/(n+1)+θ^{2}=nθ^{2}/(n+2)?2nθ^{2}/(n+1)+θ^{2}=θ^{2}[n/(n+2)?2n/(n+1)+1]=θ^{2}[n(n+1)?2n(n+2)+(n+1)(n+2)]/[(n+2)(n+1)]=θ^{2}(n^{2}+n?2n^{2}?4n+n^{2}+3n+2)/[(n+2)(n+1)]=2θ^{2}/[(n+1)(n+2)]。比較：MSE(θ?_{1})/MSE(θ?_{2})=(n+1)(n+2)/(6n)，當n≥2時大于1，故θ?_{2}的MSE更小。(3)矩估計：E[X]=θ/2?θ?_{mom}=2x?；但x?未知，僅知max=9.2，無法直接得矩估計；最大似然：L(θ)=θ^{?n}I_{θ≥max{x_{i}}}，在θ≥9.2時L(θ)隨θ增大而減小，故θ?_{mle}=max{x_{i}}=9.2。解析：均勻分布的最大次序統(tǒng)計量雖偏，但MSE更小，體現(xiàn)“偏差—方差”權衡。MLE為邊界值，矩估計需樣本均值，反映信息利用差異。5.某型芯片壽命T服從指數(shù)分布，平均壽命為8000小時。抽取n=25片，測得平均壽命7500小時。(1)在α=0.05下檢驗H_{0}:μ=8000vsH_{1}:μ<8000；(2)求檢驗的p值；(3)若真實μ=7500，求檢驗功效。答案：(1)指數(shù)分布均值μ=1/λ，樣本均值X?~Gamma(n,nλ)，近似正態(tài)X?≈N(μ,μ^{2}/n)。檢驗統(tǒng)計量Z=(X??μ_{0})/(μ_{0}/√n)=(7500?8000)/(8000/5)=?500/1600=?0.3125。單側臨界值?z_{0.05}=?1.645，?0.3125>?1.645，不拒絕H_{0}。(2)p值=Φ(?0.3125)=1?Φ(0.3125)≈1?0.6227=0.3773。(3)功效=P(拒絕|μ=7500)=P(X?≤c|μ=7500)，其中c=μ_{0}?1.645·μ_{0}/√n=8000?1.645·1600=5368。標準化：Z′=(5368?7500)/(7500/5)=?2132/1500≈?1.4213，功效=Φ(?1.4213)≈0.0776。解析：指數(shù)分布均值檢驗借助正態(tài)近似，因樣本量25較大。功效較低源于真實均值與假設接近，且變異系數(shù)大。6.設X~N(μ,σ^{2})，Y~N(μ,σ^{2})獨立。定義U=X+Y，V=X?Y。(1)求(U,V)的聯(lián)合分布；(2)證明U與V獨立；(3)若μ=0，σ=1，求P(max{X,Y}>1.5)。答案：(1)線性變換：[U,V]^{T}=A[X,Y]^{T}，A=[[1,1],[1,?1]]，Cov([X,Y])=σ^{2}I，Cov([U,V])=Aσ^{2}IA^{T}=σ^{2}AA^{T}=σ^{2}[[2,0],[0,2]]，故(U,V)服從二維正態(tài)，均值向量(2μ,0)，協(xié)方差矩陣diag(2σ^{2},2σ^{2})。(2)協(xié)方差矩陣對角?U,V不相關，聯(lián)合正態(tài)?獨立。(3)μ=0,σ=1：P(max{X,Y}>1.5)=1?P(X≤1.5,Y≤1.5)=1?Φ(1.5)^{2}=1?0.9332^{2}=1?0.8708=0.1292。解析：正態(tài)線性變換保持聯(lián)合正態(tài)性，對角協(xié)方差即獨立。max事件轉化為一維累積分布乘積，避免二重積分。7.設隨機變量序列{X_{n}}獨立同分布，E[X_{n}]=0，Var(X_{n})=σ^{2}。令S_{n}=∑_{i=1}^{n}X_{i}，Y_{n}=S_{n}/√n。(1)求Y_{n}的特征函數(shù)；(2)證明Y_{n}依分布收斂于N(0,σ^{2})；(3)若X_{n}服從對稱貝努利±1，σ=1，求n=100時P(S_{n}≥14)的正態(tài)近似及連續(xù)性修正。答案：(1)φ_{Y_{n}}(t)=E[e^{itS_{n}/√n}]=[φ_{X}(t/√n)]^{n}。對任意X_{i}，φ_{X}(u)=1?σ^{2}u^{2}/2+o(u^{2})，故φ_{Y_{n}}(t)=[1?σ^{2}t^{2}/(2n)+o(1/n)]^{n}→e^{?σ^{2}t^{2}/2}，即N(0,σ^{2})特征函數(shù)。(2)由Lévy連續(xù)性定理，特征函數(shù)逐點收斂?分布收斂。(3)S_{100}≈N(0,100)，連續(xù)性修正：P(S_{n}≥14)≈P(N(0,100)≥13.5)=1?Φ(13.5/10)=1?Φ(1.35)=1?0.9115=0.0885。解析：中心極限定理的特征函數(shù)證明體現(xiàn)“局部線性化”思想。連續(xù)性修正補償離散到連續(xù)的誤差，提升近似精度。8.設總體X的密度f(x;θ)=θx^{θ?1}，0<x<1，θ>0。(1)求θ的充分統(tǒng)計量；(2)求θ的Fisher信息量I(θ)；(3)構造θ的UMVUE。答案：(1)聯(lián)合密度L(θ)=θ^{n}(∏x_{i})^{θ?1}，由因子分解定理，T=∑ln(1/x_{i})為充分統(tǒng)計量。(2)得分函數(shù)：lnf=lnθ+(θ?1)lnx，?lnf/?θ=1/θ+lnx，?^{2}lnf/?θ^{2}=?1/θ^{2}，I(θ)=?E[?^{2}lnf/?θ^{2}]=1/θ^{2}。(3)令Y_{i}=?lnX_{i}~Exp(θ)，則T=∑Y_{i}~Gamma(n,θ)，E[1/T]=θ/(n?1)，故θ?=(n?1)/T為無偏估計，且為充分統(tǒng)計量的函數(shù)，因此是UMVUE。解析：Beta分布族的對數(shù)變換將問題轉化為指數(shù)族，充分統(tǒng)計量與Fisher信息量直接可得。UMVUE通過逆矩估計實現(xiàn)，體現(xiàn)指數(shù)族完備性。9.某實驗室測量誤差ε~N(0,4)，獨立進行n=9次測量，得樣本方差s^{2}=6.25。(1)求σ^{2}的95%置信區(qū)間；(2)若要求區(qū)間長度不超過2，求所需最小樣本量；(3)若真實σ^{2}=4，求(1)中區(qū)間覆蓋概率。答案：(1)(n?1)s^{2}/σ^{2}~χ^{2}(n?1)，95%置信區(qū)間：[(n?1)s^{2}/χ^{2}_{0.975},(n?1)s^{2}/χ^{2}_{0.025}]=[8·6.25/17.535,8·6.25/2.180]=[2.85,22.94]。(2)區(qū)間長度=(n?1)s^{2}(1/χ^{2}_{0.025}?1/χ^{2}_{0.975})≤2，以s^{2}≈σ^{2}=4代入，得4(n?1)(1/χ^{2}_{0.025}?1/χ^{2}_{0.975})≤2，查χ^{2}表試算：n=30時長度≈4·29(1/16.047?1/45.722)≈4.6>2；n=60時≈4·59(1/40.482?1/91.952)≈2.2；n=70時≈4·69(1/48.758?1/105.267)≈1.96≤2，故最小n=70。(3)覆蓋概率即95%，與真實σ^{2}無關，因為構造基于樞軸量分布。解析：χ^{2}分布不對稱導致區(qū)間右偏，樣本量需較大才能壓縮長度。覆蓋概率由置信水平固定，體現(xiàn)頻率學派性質。10.設X_{1},…,X_{n}來自Logistic分布，F(xiàn)(x)=1/(1+e^{?(x?μ)})。(1)求μ的MLE方程；(2)證明該方程唯一有解；(3)若n=5，觀測值為?2.1,?0.5,0.8,1.5,2.3，用Newton法求μ的MLE數(shù)值（迭代兩步，初值μ_{0}=0）。答案：(1)對數(shù)似然l(μ)=∑[?(x_{i}?μ)?2ln(1+e^{?(x_{i}?μ)})]，導數(shù)：l′(μ)=∑[1?2e^{?(x_{i}?μ)}/(1+e^{?(x_{i}?μ)})]=∑tanh((x_{i}?μ)/2)，令l′(μ)=0即得MLE方程。(2)l″(μ)=?∑sech^{2}((x_{i}?μ)/2)/2<0，嚴格凹?唯一最大值。(3)Newton迭代：μ_{k+1}=μ_{k}?l′(μ_{k})/l″(μ_{k})，μ_{0}=0，l′(0)=∑tanh(x_{i}/2)=tanh(?1.05)+tanh(?0.25)+tanh(0.4)+tanh(0.75)+tanh(1.15)≈?0.781+?0.245+0.380+0.635+0.818=0.807，l″(0)=?∑sech^{2}(x_{i}/2)/2≈?[0.390+0.940+0.855+0.660+0.340]/2=?1.423，μ_{1}=0?0.807/(?1.423)≈0.567，第二輪：l′(0.567)≈tanh(?1.334)+tanh(?0.408)+tanh(0.116)+tanh(0.466)+tanh(0.866)≈?0.871+?0.390+0.116+0.435+0.699=?0.011，l″(0.567)≈?1.380，μ_{2}=0.567?(?0.011)/(?1.380)≈0.559。解析：Logistic分布的得分函數(shù)含雙曲正切，凹性保證全局唯一解。Newton法二次收斂，兩步即近最優(yōu)。11.設X~Bin(n,p)，Y~Bin(m,p)獨立。(1)求p的共軛先驗；(2)在后驗均值意義下，求貝葉斯估計；(3)若n=m=10，x=8，y=7，采用無信息先驗，求p的95%可信區(qū)間。答案：(1)二項分布的共軛先驗為Beta(α,β)。(2)后驗分布：p|x,y~Beta(α+x+y,β+n+m?x?y)，后驗均值=(α+x+y)/(α+β+n+m)。(3)無信息先驗取α=β=1，后驗p~Beta(1+8+7,1+20?15)=Beta(16,6)，95%可信區(qū)間取分位數(shù)：[Beta_{0.025},Beta_{0.975}]，查Beta(16,6)表或用軟件得[0.544,0.896]。解析：共軛性簡化后驗計算，Beta分位數(shù)提供直接區(qū)間。無信息先驗讓數(shù)據(jù)主導，結果與頻率近似但解釋不同。12.設隨機變量Z~N(0,1)，定義停時T=min{n≥1:|S_{n}|≥c}，其中S_{n}=∑_{i=1}^{n}Z_{i}。(1)求E[T]的近似表達式（c較大）；(2)若c=3，用Wald方程求E[S_{T}]；(3)計算P(S_{T}≥c)。答案：(1)對大c，T≈c^{2}，更精確地，由布朗運動逼近，E[T]≈c^{2}。(2)Wald方程：E[S_{T}]=E[Z_{1}]E[T]=0，但|S_{T}|=c，故E[S_{T}]=0由對稱性。(3)由對稱隨機游走，P(S_{T}=c)=P(S_{T}=?c)=1/2。解析：停時問題借助布朗運動縮放，Wald方程在零均值時給出平凡結果，反映對稱性。邊界命中概率均等。13.設(X,Y)服從二元t分布，自由度ν=5，均值向量(0,0)，尺度矩陣[[1,ρ],[ρ,1]]。(1)求Y|X=x的一維t分布參數(shù)；(2)求相關系數(shù)Corr(X,Y)；(3)若ρ=0.8，生成一對樣本的R代碼片段。答案：(1)二元t條件分布：Y|X=x~t(ν+1,ρx,(ν+x^{2})(1?ρ^{2})/(ν+1))。(2)二元t的Corr(X,Y)=ρ，與尺度矩陣一致。(3)R代碼：library(mvtnorm)Sigma<matrix(c(1,0.8,0.8,1),2,2)sample<rmvt(1,sigma=Sigma,df=5)解析：t分布的條件仍t，自由度增加1，體現(xiàn)厚尾特性。相關系數(shù)與Gaussian相同，但邊緣亦t。14.設隨機過程X(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)，其中A,B~N(0,σ^{2})獨立，ω為常數(shù)。(1)求均值函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)；(2)判斷過程是否平穩(wěn)；(3)求X(t)的一維密度。答案：(1)E[X(t)]=0，Cov(X(s),X(t))=σ^{2}cos(ω(s?t))，僅依賴|s?t|。(2)均值常數(shù)，協(xié)方差僅依賴時差?寬平穩(wěn)。(3)線性組合正態(tài)?X(t)~N(0,σ^{2})。解析：諧波過程為平穩(wěn)高斯典型例子，協(xié)方差函數(shù)余弦形式體現(xiàn)周期結構。一維密度隨時間不變。15.設N(t)為強度λ的泊松過程，定義M(t)=N(t)?λt。(1)求M(t)的均值與協(xié)方差；(2)證明M(t)為鞅；(3)求E[M(t)^{3}]。答案：(1)E[M(t)]=0，Cov(M(s),M(t))=λmin(s,t)。(2)對s<t，E[M(t)|F_{s}]=M(s)+E[N(t)?N(s)?λ(t?s)|F_{s}]=M(s)，滿足鞅性。(3)中心化泊松的三階矩：E[(N(t)?λt)^{3}]=λt，因偏度系數(shù)1/√λt。解析：補償泊松過程鞅性質源于獨立增量與期望線性。三階矩非零反映泊松分布右偏。16.設X_{1},…,X_{n}獨立同分布，密度f(x)=e^{?(x?θ)}，x≥θ。(1)求θ的MLE；(2)求θ的分布；(3)構造θ的置信水平1?α的精確區(qū)間。答案：(1)L(θ)=e^{?∑(x_{i}?θ)}I_{θ≤minx_{i}}，在θ=minx_{i}時最大，故θ?=minX_{i}。(2)P(θ??θ>t)=P(minX_{i}>θ+t)=e^{?nt}，即θ??θ~Exp(n)。(3)取樞軸量n(θ??θ)~Exp(1)，P(θ??θ≤?lnα/n)=1?α，故θ的1?α區(qū)間：[θ?+lnα/n,θ?]。解析：指數(shù)分布平移參數(shù)MLE為最小次序統(tǒng)計量，其分布仍指數(shù)，提供精確區(qū)間，無需正態(tài)近似。17.設隨機變量X取值{1,2,…,N}，且P(X=k)∝k。(1)求歸一化常數(shù)；(2)求E[X]與Var(X)；(3)若從X中有放回抽取n次，記Y為最大觀測值，求P(Y≤m)。答案：(1)∑k=1^{N}k=N(N+1)/2?P(X=k)=2k/[N(N+1)]。(2)E[X]=∑k^{2}·2k/[N(N+1)]=2/[N(N+1)]·∑k^{2}=2/[N(N+1)]·N(N+1)(2N+1)/6=(2N+1)/3，E[X^{2}]=∑k^{3}·2k/[N(N+1)]=2/[N(N+1)]·[N(N+1)/2]^{2}=N(N+1)/2，Var(X)=E[X^{2}]?(E[X])^{2}=N(N+1)/2?(2N+1)^{2}/9=(N^{2}+N?2)/18。(3)P(Y≤m)=P(所有觀測≤m)=[∑k=1^{m}2k/[N(N+1)]]^{n}=[m(m+1)/[N(N+1)]]^{n}。解析：線性增長概率的離散分布，期望與方差封閉形式。最大次序統(tǒng)計量利用CDF冪次。18.設隨機向量X~N_{p}(μ,Σ)，Σ正定。(1)求X^{T}Σ^{?1}X的分布；(2)設μ=0，求E[exp(tX^{T}Σ^{?1}X)]；(3)若p=2，Σ=[[2,1],[1,2]]，生成1000樣本并畫散點圖。答案：(1)令Z=Σ^{?1/2}X~N_{p}(Σ^{?1/2}μ,I)，則X^{T}Σ^{?1}X=(Z?Σ^{?1/2}μ+Σ^{?1/2}μ)^{T}(Z?Σ^{?1/2}μ+Σ^{?1/2}μ)~χ^{2}_{p}(μ^{T}Σ^{?1}μ)。(2)μ=0時，X^{T}Σ^{?1}X~χ^{2}_{p}，矩生成函數(shù)E[e^{tY}]=(1?2t)^{?p/2}，t<1/2。(3)R代碼：library(MASS)Sigma<matrix(c(2,1,1,2),2,2)X<mvrnorm(1000,mu=c(0,0),Sigma=Sigma)plot(X,pch=19,col="#00000040",asp=1)解析：二次型轉標準正態(tài)，得到非中心卡方。MGF封閉形式便于計算尾概率。散點圖可視化相關結構。19.設隨機變量X服從參數(shù)為(p_{1},…,p_{k})的多項分布，n次試驗。(1)求Cov(X_{i},X_{j})；(2)求p_{i}的Jeffreys先驗；(3)若k=3，n=20，觀測(7,8,5)，求p_{1}的后驗邊緣密度。答案：(1)Cov(X_{i},X_{j})=?np_{i}p_{j}，i≠j；Var(X_{i})=np_{i}(1?p_{i})。(2)Fisher信息矩陣對角元I_{ii}=n/(p_{i})+n/(1?∑p_{j})，非對角復雜，Jeffreys先驗∝