第八章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面

一、教學(xué)目標(biāo)1.理解平面的概念、三個基本事實(shí)及推論，會用圖形、文字和符號三種語言性質(zhì)表述三個基本事實(shí)和推論.2.在探究三個基本事實(shí)的情境中，感悟立體幾何結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過程，體驗(yàn)研究幾何體的方法，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：平面基本性質(zhì)（三個基本事實(shí)）及其推論．難點(diǎn)：對三個基本事實(shí)刻畫平面基本性質(zhì)的理解，三種語言（圖形語言、文字語言、符號語言）及其相互轉(zhuǎn)化．

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境觀察下面圖形，有你熟悉的空間圖形嗎？構(gòu)成這些幾何體的元素有哪些？點(diǎn)、直線、平面是空間圖形的基本元素，它們構(gòu)成了千姿百態(tài)的世界，初中我們已對點(diǎn)和直線進(jìn)行了研究，今天我們繼續(xù)探討平面及其基本性質(zhì).師生活動：教師展示圖片可以讓學(xué)生觀察說出熟悉的空間圖形，進(jìn)一步可以通過探討熟悉的長方體，讓學(xué)生分析長方體是有哪些幾何元素構(gòu)成的，進(jìn)而引出本節(jié)課的學(xué)習(xí).設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合身邊的事物舉例，引出數(shù)學(xué)知識，學(xué)生會感到親切、生動、真實(shí)、易于接受.同時，能使他們體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，我們生活在充滿數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實(shí)世界中.能促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識周圍的事物，有效的促進(jìn)知識的遷移.（二）探究新知任務(wù)1：探究平面的含義及其表示方法思考：(1)你能結(jié)合情境中的實(shí)例說出什么是平面嗎?(2)為了畫出直線，用直線的一部分(線段)表示直線，你能類比此方法將平面畫出來嗎？(3)同樣的類比直線，你能用符號語言表示出平面嗎？合作探究：先獨(dú)立思考，再小組內(nèi)交流，并匯報(bào)得出的結(jié)論.師生活動：學(xué)生從情境視頻中抽象出平面的概念，并由教師引導(dǎo)得到平面的是平面的，可以無限延伸的，類比畫直線和表示直線的方法，鼓勵學(xué)生畫出平面并表示出平面，最后由教師歸納總結(jié).答：(1)平面是從湖面、操場、草原等物體中抽象出來的,但幾何中所說的平面具有以下兩個特征：一是：可以無限延展；二是：平的(沒有厚薄).(2)我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.①當(dāng)平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；②當(dāng)平面豎直放置時，常把平性四邊形的一邊畫成豎向；(3)①用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ；②用代表平行四邊形的四個頂點(diǎn)，如平面ABCD；③用平行四邊形相對的兩個頂點(diǎn)的大寫英文字母，如平面AC或者平面BD如下圖的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.設(shè)計(jì)意圖：通過類比學(xué)習(xí)，建立知識之間的聯(lián)系，更好地理解平面的本質(zhì)特征，并提高學(xué)生概括、類比推理的能力.類比直線的圖形和符號表示給出平面的圖形和符號表示，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)研究方法的特點(diǎn)和一致性，平面的圖形表示實(shí)際也是其直觀圖表示，也可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng).任務(wù)2：探究平面的基本性質(zhì).思考：我們知道，過兩個點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾個點(diǎn)可以確定一個平面呢？合作探究：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào).(1)自行車兩個車輪著地時，不能“站穩(wěn)”，如果加上1個腳架，就可以“站穩(wěn)”了，你知道為什么嗎？(2)支撐照相機(jī)的架子，為何選擇三腳架呢？答：(1)如果把地面看成一個平面，兩個車輪著地地方看成兩點(diǎn)，腳架著地地方看成1個點(diǎn)，由于兩個點(diǎn)只能確定一條直線，這條直線所在的平面不確定，故兩個車輪著地不能站穩(wěn)；當(dāng)增加1個腳架即1個不在此直線上的點(diǎn)時，3個不共線的點(diǎn)都在地面，從而自行車能站穩(wěn).(2)由于三個支點(diǎn)在底面上且不共線保證了三腳架的穩(wěn)定性.基于此，我們可以歸納得出：基本事實(shí)1過不在同一直線上的三個點(diǎn)，有且只有有一個平面.注意：“有且只有一個”必須完整表述，缺一不可.“有”說明圖形存在，強(qiáng)調(diào)了存在性；“只有一個”是說圖形唯一，強(qiáng)調(diào)了唯一性說一說：你能舉出生活中的實(shí)例來說明基本事實(shí)1嗎？預(yù)設(shè)答案：如：自行車用一個腳架和兩個車輪著地就可以“站穩(wěn)”；三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī)；將教室的門的兩個鉸鏈看成兩個點(diǎn)，門插銷看成一個點(diǎn)，當(dāng)插銷插上時，門不再動了．思考：如何將這一事實(shí)用圖形表示？又如何用符號表示點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系呢？提示：直線上有無數(shù)個點(diǎn)，平面內(nèi)也有無數(shù)個點(diǎn).因此，直線、平面都可以看成是無數(shù)個點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示．答：如圖，不共線的三點(diǎn)A，B，C確定一個平面，記為平面ABC．點(diǎn)A在直線l上，記作A∈l；點(diǎn)B在直線l外，記作B?l；點(diǎn)A在平面α內(nèi)，記作A∈α；點(diǎn)P在平面α外，記作P?α．這樣，基本事實(shí)1也可以用符號表示為：設(shè)計(jì)意圖：通過對上述問題的探索與研究,引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)例中發(fā)現(xiàn)三個不共線的點(diǎn)可以確定一個平面,自己得出基本事實(shí)1,然后啟發(fā)學(xué)生用三種語言描述基本事實(shí)1,形成對基本事實(shí)1的正確認(rèn)識和理解,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象等素養(yǎng).思考：如果直線l與平面α有一個公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？如果直線l與平面α有兩個公共點(diǎn)呢？答：如圖，若直線l上僅有一個點(diǎn)P在平面α內(nèi)，則直線l不在平面α內(nèi).若直線l上有兩個點(diǎn)（不妨設(shè)為A、B）在平面α內(nèi)，則直線l在平面α內(nèi)．將上述事實(shí)進(jìn)行抽象，可得：基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．思考：如何將這一基本事實(shí)用圖形表示？如何用符號表示直線和平面的位置關(guān)系？提示：直線與平面都可以看成是由無數(shù)個點(diǎn)構(gòu)成的集合，故它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，用“?”或“?”表示．答：如圖直線l上有兩個點(diǎn)A、B在平面α內(nèi)，則直線l在平面α內(nèi)．直線l上所有的點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，記作l?α；否則，就說直線l不在平面α內(nèi)，記作這樣，基本事實(shí)2也可以用符號表示為：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α．說一說：我們知道，平面具有“平”和“無限延展”的特征，而基本事實(shí)2反映了直線與平面的位置關(guān)系，我們能不能利用這種位置關(guān)系，用直線的“直”和“無限延伸”刻畫平面的“平”和“無限延展”？答：如右圖，由基本事實(shí)1，給定不共線三點(diǎn)A，B，C，它們可以確定一個平面ABC；連接AB，BC，CA，由基本事實(shí)2，這三條直線都在平面ABC內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得直線也都在平面ABC內(nèi)，所有這些直線可以編織成一個“直線網(wǎng)”，這個“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面ABC．組成這個“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”．設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合基本事實(shí)1和2，用直線的“直”和“無限延伸”的基本特征說明平面的“平”和“無限延展”的基本特征，這也說明對于不加定義的“平面”概念，就是用刻畫它的基本事實(shí)說明其基本特征的，從而也加深對于平面概念的理解．思考：把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)？為什么？答：不止一個公共點(diǎn)．因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”課桌，可以想象，這兩個平面相交于一條直線．由此，我們可以歸納出：基本事實(shí)3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．追問1：你能用符號表示基本事實(shí)3嗎？答：基本事實(shí)3也可以用符號表示為：若P∈α，且P∈β?α∩β=l且P∈設(shè)計(jì)意圖：通過對上述問題的探索與研究,引導(dǎo)學(xué)生從自己身邊熟悉的生活實(shí)例中發(fā)現(xiàn)和抽象出基本事實(shí)3,并學(xué)會運(yùn)用三種語言描述基本事實(shí)3,以形成對基本事實(shí)3的正確認(rèn)識和深刻理解,為運(yùn)用基本事實(shí)3探究空間圖形中的問題作好鋪墊,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等素養(yǎng).追問2：你能給出兩個平面相交的畫法嗎？答：當(dāng)在畫兩個相交平面時,如果其中一個平面的一部分被另一個平面擋住,通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫,這樣可使畫出的圖形立體感更強(qiáng)一些．說一說：你還能舉出生活中其它平面與平面相交的例子嗎？答：如教室相鄰的兩個墻面在地面的墻角處有一個公共點(diǎn)，這兩個墻面相交于過這個點(diǎn)的一條直線等．追問：結(jié)合基本事實(shí)3，你能進(jìn)一步說明平面的“平”和“無限延展”的特征嗎？答：基本事實(shí)3說明：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么這兩個平面一定相交于過這個公共點(diǎn)的一條直線．兩個平面相交成一條直線的事實(shí)，可以讓我們進(jìn)一步認(rèn)識了平面的“平”和“無限延展”．設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合基本事實(shí)3，用直線的“直”和“無限延伸”的基本特征說明平面的“平”和“無限延展”的基本特征，這也說明對于不加定義的“平面”概念，就是用刻畫它的基本事實(shí)說明其基本特征的，從而也加深對于平面概念的理解．任務(wù)3：探究平面的基本性質(zhì)的三個推論.合作探究：1.直線外一點(diǎn)和直線能確定一個平面嗎?為什么?2.兩條相交直線能不能確定一個平面?3.兩條平行直線能不能確定一個平面?為什么?師生活動：學(xué)生結(jié)合基本事實(shí)1，2和“兩點(diǎn)確定一條直線”進(jìn)行思考、討論、交流，得出三個推論，對于三個推論，教師要求學(xué)生畫出圖形，并結(jié)合圖形，給出三種語言的描述，教師說明基本事實(shí)和推論在后續(xù)研究直線、平面之間的關(guān)系的作用.1.直線外一點(diǎn)和直線能確定一個平面嗎?為什么?答：能確定一個平面,如圖，因?yàn)辄c(diǎn)A與直線BC上的兩點(diǎn)B,C不共線,根據(jù)基本事實(shí)1,A,B,C三點(diǎn)能確定一個平面ABC.總結(jié)：推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個平面.符號語言：A?l?存在唯一的平面α,使A∈α,且l?α.圖形語言:2.兩條相交直線能不能確定一個平面?答：能確定一個平面.因?yàn)橹本€AB,AC相交于點(diǎn)A,不共線的三點(diǎn)A,B,C確定的平面就是AB和AC確定的平面,由基本事實(shí)1可證得.總結(jié)：推論2：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.符號語言:l?m=A?存在唯一的平面α,使l?α,且m?α.圖形語言:3.兩條平行直線能不能確定一個平面?為什么?答：能確定一個平面,因?yàn)檫@兩條平行線中含有不共線的三點(diǎn)A,B,C,由基本事實(shí)1可知,這個平面是確定的.總結(jié)：推論3：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.符號語言:l∥m?存在唯一的平面α,使l?α,且m?α.圖形語言:總結(jié)：推論1：一條直線和該直線外一點(diǎn)確定一個平面；推論2：兩條相交直線確定一個平面；推論3：兩條平行直線確定一個平面．以上三條推論與基本事實(shí)1都是確立平面的依據(jù)．設(shè)計(jì)意圖：．三個基本事實(shí)和三個推論，在后續(xù)的直線、平面位置關(guān)系的研究中發(fā)揮著基礎(chǔ)作用，本活動引導(dǎo)學(xué)生從基本事實(shí)得到它們的三個推論，在這一過程中，進(jìn)一步體會關(guān)于直線、平面的基本事實(shí)在得到確定平面的結(jié)論中的作用.由于推論的證明涉及存在性和唯一性兩個方面，學(xué)生初次接觸這樣的證明比較困難.教學(xué)中采用說理的方式讓學(xué)生確認(rèn)其正確性即可，不必要求學(xué)生寫出完整的證明.（三）應(yīng)用舉例例1下列命題正確的是(

)A.三點(diǎn)確定一個平面 B.一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面C.圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個平面 D.梯形可確定一個平面提示：利用基本事實(shí)1及平面的性質(zhì)推論進(jìn)行判斷.解：對于A，空間不共線的三點(diǎn)可以確定一個平面，所以A錯；對于B，在空間中，如果這個點(diǎn)在直線上，就不能確定一個平面，所以B錯；對于C，圓心和圓上的兩點(diǎn)如果在一條直線上，就不能確定一個平面，故C錯；對于D，梯形只有一組對邊平行，所以梯形可以確定一個平面，故D正確；故選D．例2下列敘述中，正確的是(

)A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，則l?αB.若A∈α，B∈β，則α∩β=ABC.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，則α，β重合D.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β=AB提示：將符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，再利用平面的性質(zhì)進(jìn)行判斷.解：A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根據(jù)平面性質(zhì)的公理，可知正確，故A正確；B.A∈α，B∈β，A，B兩點(diǎn)不一定是兩個平面的公共點(diǎn)，故B錯誤；C.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，當(dāng)A，B，C在一條直線上時，則α，β不重合，故C錯誤；D.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則A，B兩點(diǎn)是兩個平面的公共點(diǎn)，根據(jù)平面性質(zhì)的公理，得到α∩β=AB，故D正確．故選AD．例3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，如圖所示．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．證明：∵AB∩α=P，∴P∈AB，P∈平面α，又∵AB?平面ABC，∴P∈平面ABC，∴由公理3可知，點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．總結(jié)：證明點(diǎn)共線，常采用以下兩種方法:①轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個平面的公共點(diǎn)，然后根據(jù)公理3證得這些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上;②證明多點(diǎn)共線問題時,通常是過其中兩點(diǎn)作一直線，再證明其他的點(diǎn)都在這條直線上.設(shè)計(jì)意圖：通過例題，熟悉平面的3個基本事實(shí)及其推論，并體會如何確定一個平面．課堂練習(xí)1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√“.錯誤的畫“ד．(1)平面α與平面β相交，它們只有有限個公共點(diǎn)．______(2)經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面．______(3)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．______(4)如果兩個平面有三個不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合．______解：在(1)中，平面α與平面β相交，它個相交于一條直線，有無限個公共點(diǎn)．故(1)錯誤；在(2)中，由公理二的推論一得：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面．故(2)正確；在(3)中，由公理二的推論二得：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．故(3)正確；在(4)中，由公理三得：如果兩個平面有三個不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合，故(4)正確．故答案為：×，√，√，√．2.若線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系是．(

)A.AB?α B.AB?αC.由線段AB的長短而定 D.以上都不對解：∵線段AB在平面α內(nèi)，∴直線AB上所有的點(diǎn)都在平面α內(nèi)，∴直線AB與平面α的位置關(guān)系：直線在平面α內(nèi)，用符號表示為：AB?α．故選B．3.如圖所示，用符號語言可表示為(

)A.α∩β=m，n?α，m∩C.α∩β=m，n?α，A?m，A?解：由圖形可知，兩個平面α與β相交于直線m，直線n在平面α內(nèi)，直線m和直線n相交于點(diǎn)A，故用符號語言可表達(dá)為α∩β=m，n?α，m∩n=A．故選A．4.當(dāng)我們