2.2.3用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件目標(biāo)導(dǎo)航課標(biāo)要求1.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量共線條件.2.運(yùn)用向量共線條件,解決有關(guān)的幾何問題.素養(yǎng)達(dá)成通過學(xué)習(xí)用向量的坐標(biāo)表示共線向量的條件,使學(xué)生了解坐標(biāo)的運(yùn)算更為方便,因?yàn)橄蛄康墓簿€就是坐標(biāo)成比例,那么對所求參數(shù)就容易列方程求解.新知探求課堂探究新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成知識探究a1b2-a2b1=0兩向量平行的條件(1)設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a∥b?

.(2)設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),如果向量b不平行于坐標(biāo)軸,即b1≠0,b2≠0,則a∥b?

.用語言可以表述為:兩個(gè)向量平行的條件是

.相應(yīng)坐標(biāo)成比例【拓展延伸】兩向量共線的表示方法及作用(1)兩個(gè)向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)共線的條件有以下三種表示方法.①當(dāng)b≠0時(shí),a=λb.這是幾何運(yùn)算,體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系.②x1y2-x2y1=0.這是代數(shù)運(yùn)算,用它解決向量的共線問題,好處在于不需要引入?yún)?shù)“λ”,從而減少未知數(shù)個(gè)數(shù),而且使問題解決具有代數(shù)化的特點(diǎn),程序化的特征.③當(dāng)x2y2≠0時(shí),=,即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例.通過這種形式較易記住向量共線的坐標(biāo)表示,而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤.溫馨提示:前兩種方法本質(zhì)是一致的.第三種方法是第二種方法的變式.我們可以利用第三種方法記憶.在研究兩向量平行時(shí),若坐標(biāo)已知,用第二種方法更簡單一些.(2)兩向量共線的坐標(biāo)表示有以下兩個(gè)方面的作用①已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線.聯(lián)系平面幾何平行、共線知識,可以證明三點(diǎn)共線、直線平行等幾何問題.要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線、平行.②已知兩個(gè)向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo),求參數(shù)的值,求軌跡方程.要注意方程思想的應(yīng)用,向量共線的條件,向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).自我檢測B1.若三點(diǎn)A(1,1),B(2,-4),C(x,-9)共線,則x的值為(

)(A)1 (B)3 (C) (D)512.設(shè)向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x等于(

)(A)2 (B)3 (C)4 (D)6B解析:由向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,可得4x=2×6,解得x=3.故選B.B答案:2類型一向量共線的坐標(biāo)表示課堂探究·素養(yǎng)提升【例1】設(shè)i,j分別是與x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量,a=i-(2m-1)j,b=2i+mj(m∈R),若a∥b,求向量a,b的坐標(biāo).思路點(diǎn)撥:利用向量共線的條件,設(shè)a=λb(λ∈R).由平面向量基本定理建立m的關(guān)系式,求m值進(jìn)而可得向量坐標(biāo).方法技巧在坐標(biāo)平面內(nèi),用i,j作基底表示向量a,利用平面向量基本定理及向量坐標(biāo)的定義求a的坐標(biāo)是解決這類問題的一種最基本的方法.類型二兩向量平行的判定及應(yīng)用思路點(diǎn)撥:類型三三點(diǎn)共線問題思路點(diǎn)撥:本題可以直接利用向量共線的條件來求解;也可以根據(jù)i,j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量,利用向量的直角坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.方法技巧利用向量證明三點(diǎn)共線的思路是:先利用三點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)向量,然后利用平行向量定理的幾何運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算解決.要注意向量共線的一般表示與坐標(biāo)表示雖然形式不同,但實(shí)質(zhì)一樣,在解決具體問題時(shí)要注意選擇使用.類型四易錯(cuò)辨析—錯(cuò)用共線的條件致錯(cuò)【例4】已知a=(3,2-m)與b=(m,-m)平行,求m的值.正解:a∥b?3(-m)-(2-m)m=0,所以m2