2026屆湖南省衡陽(yáng)市正源學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若橢圓上一點(diǎn)到C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則（）A.1 B.3C.6 D.1或32．某地為響應(yīng)總書(shū)記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開(kāi)展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線(xiàn)距離約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米3．已知橢圓的離心率為.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.4．下列說(shuō)法正確的是（）A.空間中的任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B.四邊相等的四邊形一定是菱形C.兩條相交直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面D.正四棱柱的側(cè)面都是正方形5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半?！苯裼斨?，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.7．某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是對(duì)軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是1，且，.記數(shù)列的前項(xiàng)和、前項(xiàng)積分別為，，若，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.58．已知、，則直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.C. D.9．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．圓的圓心到直線(xiàn)的距離為2，則（）A. B.C. D.211．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.12．若拋物線(xiàn)與直線(xiàn)：相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（）A.6 B.8C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：只要必有則稱(chēng)為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”.已知為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，且前四項(xiàng)成等比數(shù)列，，則=_________.14．已知正數(shù)，滿(mǎn)足.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．已知斜率為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得的重心恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率______.16．將車(chē)行的30輛大巴車(chē)編號(hào)為01，02，…，30，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為3的樣本，且在某組隨機(jī)抽得的一個(gè)號(hào)碼為08，則剩下的兩個(gè)號(hào)碼依次是__________（按號(hào)碼從小到大排列）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，且，E為PD的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求二面角的大小；（3）在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線(xiàn)PA與CD所成角為60°.（1）求直線(xiàn)PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù)的圖像在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限；（1）若直線(xiàn)的斜率為，求的值；（2）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值21．（12分）已知直線(xiàn)，圓.（1）若l與圓C相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若l與圓C交于A，B，且，求的面積.22．（10分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（0，）的距離與它到直線(xiàn)的距離相等（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（，－1）作C的兩條切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求直線(xiàn)AB的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】討論焦點(diǎn)的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得故選：B.2、C【解析】應(yīng)用正弦定理有，結(jié)合已知條件即可求A，B間的直線(xiàn)距離.【詳解】由題設(shè)，，在△中，，即，所以米.故選：C3、D【解析】由題意，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長(zhǎng)為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì).4、C【解析】根據(jù)立體幾何相關(guān)知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)公理2及推論可知，不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在一個(gè)平面內(nèi)，四邊相等的四邊形才一定是菱形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)公理2及推論可知，兩條相交直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面，故C正確；對(duì)于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，側(cè)面可以是矩形，故D錯(cuò)誤.故選：C5、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，即故答案為D.6、A【解析】本題考查雙曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因?yàn)?，，所以在中，邊上的中線(xiàn)等于的一半，所以．因?yàn)?，所以可設(shè)，，則，解得，所以，由雙曲線(xiàn)的定義得，所以雙曲線(xiàn)的離心率故選：A7、C【解析】先利用序列的所有項(xiàng)都是1，得到，整理后得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求出公比和首項(xiàng)，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因?yàn)椋?，所以，又序列的所有?xiàng)都是1，所以它的第項(xiàng)，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值為4.故選：C.8、B【解析】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，利用直線(xiàn)的斜率公式求出直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可得出直線(xiàn)的傾斜角.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，由斜率公式可得，，因此，.故選：B.9、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.10、B【解析】配方求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式計(jì)算【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】作出線(xiàn)面角構(gòu)造三角形直接求解，建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求解.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，由正方體性質(zhì)知平面，所以平面平面，在平面作，則平面，因?yàn)椋约礊樗蠼?，所?故選：B12、B【解析】由題得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線(xiàn)上，再聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，利用韋達(dá)定理和拋物線(xiàn)的定義求解.【詳解】解：由題得.由題得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線(xiàn)上，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程得,所以.所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7578【解析】根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，∴，又，為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，∴，，，，…，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4∴故答案為：757814、【解析】利用基本不等式性質(zhì)可得的最小值，由恒成立可得即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)，滿(mǎn)足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)因?yàn)楹愠闪?，所以，解?故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案填：.【點(diǎn)睛】熟練掌握基本不等式的性質(zhì)和正確轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.15、【解析】設(shè)點(diǎn)，，坐標(biāo)分別為，則根據(jù)題意有，分別將點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入橢圓方程得，然后聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和的值，代入得到關(guān)于的齊次式，然后解出離心率.【詳解】設(shè)，，坐標(biāo)分別為，因?yàn)榈闹匦那『檬亲鴺?biāo)原點(diǎn)，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，且過(guò)左焦點(diǎn)，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率求解問(wèn)題，難度較大.解答時(shí),注意，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，注意韋達(dá)定理在解題中的運(yùn)用.16、18，28【解析】根據(jù)等距抽樣的性質(zhì)確定剩下的兩個(gè)號(hào)碼即可.【詳解】由于從30輛大巴車(chē)中抽取3輛車(chē)，故分組間距為10，又第一組的號(hào)碼為08，所以其它兩個(gè)號(hào)碼依次是18，28故答案為：18，28.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出輔助線(xiàn)，證明線(xiàn)面垂直，進(jìn)而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解二面角；（3）設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，用空間向量的點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】證明：連接BD，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，連接PO．因?yàn)?，所以四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，則又，所以平面PBD，因?yàn)槠矫鍼BD，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以由?）知平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面AEC的法向量，則，即，令，則平面ACD的法向量，，所以二面角為；【小問(wèn)3詳解】存在點(diǎn)F到平面AEC的距離為，理由如下：由（2）得，，設(shè)，則，所以點(diǎn)F到平面AEC的距離，解得，，所以18、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過(guò)P在平面PAB內(nèi)作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過(guò)B在平面PAB內(nèi)作，連結(jié)CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋訮A與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過(guò)P在平面PAB內(nèi)作，垂足為E，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，是直線(xiàn)PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線(xiàn)PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過(guò)B在平面PAB內(nèi)作，垂足為F，連結(jié)CF，又,則平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因?yàn)?，，所以，從而所以二面角正弦值?19、（1）（2）【解析】（1）由求得的值.（2）由分離常數(shù)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處取得極值，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以在恒成立，即對(duì)任意恒成立.令，則.設(shè)，易得是增函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則，所以.20、（1）3；（2）12.【解析】(1)聯(lián)立直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C的方程，求出A和B的橫坐標(biāo)即可得AFBF(2)設(shè)直線(xiàn)l方程為，與拋物線(xiàn)C方程聯(lián)立，求出線(xiàn)段AB長(zhǎng)度求其最小值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率，直線(xiàn)l的方程為，將直線(xiàn)l方程與拋物線(xiàn)消去y可得，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，解方程得，∴.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題知直線(xiàn)l斜率不為0，故設(shè)直線(xiàn)l的方程為：，代入拋物線(xiàn)C的方程化簡(jiǎn)得，，∵＞0，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取等號(hào)，∴AB長(zhǎng)度最小值為12.21、（1）（2）【解析】（1）求出直線(xiàn)的定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓上得出切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）知，證明為直角三角形，求出，，最后由三角形的面積公式求出的面積.【詳解】（1）圓可化為直線(xiàn)可化為，由解得即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，由于，則點(diǎn)在圓上因?yàn)閘與圓C相切，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（2）因?yàn)閘與圓C交于A，B，所以點(diǎn)如下圖所示，與相交于點(diǎn)，由以及圓的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且由，則直線(xiàn)的方程為圓心到直線(xiàn)的距離為，即直線(xiàn)與圓相切即，則因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問(wèn)中，關(guān)鍵是先確定直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓上，從而確定切點(diǎn)的坐標(biāo).22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義或者直接列式化簡(jiǎn)即