一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖，全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）．A B. C. D.2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.3.設(shè),且,則（）A. B. C. D.4.已知，，且，的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.5.若，且，則直線必不過（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知，．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為（）A. B. C. D.7.數(shù)列是等比數(shù)列，則對于“對于任意的，”是“是遞增數(shù)列”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分也不必要8.已知球是正三棱錐的外接球，，過點(diǎn)作球的截面，若截面面積為，則直線與該截面所成的角為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖所示，在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與平面所成角正弦值為B.點(diǎn)到平面的距離為2C.直線與所成角的正切值是2D.平面截正方體所得的截面面積為10.已知直線，圓，則（）A.，與相交B.，使得圓心到距離為C.當(dāng)圓截所得的弦長為時(shí)，的值為D.當(dāng)圓上有個點(diǎn)到的距離為時(shí)，11.從數(shù)列中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、、第項(xiàng)，并按原順序構(gòu)成新數(shù)列稱為數(shù)列的“連續(xù)子列”．已知數(shù)列中，，，對，數(shù)列的“連續(xù)子列”是公比為的等比數(shù)列．則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_________.13.已知函數(shù)只有一個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14.已知底面半徑為的圓錐其軸截面面積為，過圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為，若，則該圓錐的側(cè)面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟．15.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若從數(shù)列中依次剔除與數(shù)列的公共項(xiàng)，剩下的項(xiàng)組成新的數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．16.如圖，三棱錐中，底面是正三角形，底面，平面，垂足為．（1）是否可能是的垂心，請說明理由（2）若恰是的重心，求直線與平面所成角的大小．17.在中，角，，對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，.設(shè)，的面積為，求的取值范圍.18.如圖1，在平面五邊形中，，，，，將三角形沿著向上翻折至三角形，得到四棱錐，如圖2所示.（1）求證：；（2）若平面平面，（i）求平面與平面所成角的余弦值；（ii）點(diǎn)在線段上，設(shè)平面將四棱錐分為兩個多面體，其中點(diǎn)所在的多面體體積為，另一個多面體體積為，若，求點(diǎn)到平面的距離.19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有3個零點(diǎn)，，，且.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論.2025－2026學(xué)年度高三年級上學(xué)期綜合素質(zhì)評價(jià)四數(shù)學(xué)學(xué)科主命題人：張金瑞一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖，全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圖中陰影部分表示，再根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義計(jì)算即可得出答案.【詳解】根據(jù)已知條件有：圖中陰影部分表示，，所以，所以圖中陰影部分所表示的集合為：.故選：B2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用輔助角公式將函數(shù)化簡為單一正弦函數(shù)形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式求解該函數(shù)的最小正周期.【詳解】函數(shù)化簡得，其中，，因?yàn)椋液瘮?shù)的周期公式為，所以函數(shù)的最小正周期是.故選：C.3.設(shè),且,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由特殊值代入可判斷ABD,由基本不等式可判斷C.【詳解】對于A：若則;若則,故A錯誤；對于B：若則,故B錯誤；對于C：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立.又.又,故C正確；對于D：若，則即,與題設(shè)矛盾，故D錯誤.故選：C.4.已知，，且，的夾角為，則在上的投影向量為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量定義以及向量數(shù)量積定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知所以在上的投影向量為.故選：D5.若，且，則直線必不過（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】對分成，，，去分母觀察，化簡可求得，再判斷直線不過第幾象限.【詳解】由，則，，，相加得，又，得，即直線為，即，顯然直線不過第四象限.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的觀察、分析能力，由比較整齊的式子，求得，再利用直線的性質(zhì)，判斷不過第幾象限.6.已知，．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為，解不等式即可得到答案.【詳解】由題意得，，函數(shù)定義域?yàn)?，，，所以函?shù)為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)為增函數(shù)，不等式，可化為，利用奇函數(shù)得，，利用增函數(shù)得，，即，解得或故選：D.7.數(shù)列是等比數(shù)列，則對于“對于任意的，”是“是遞增數(shù)列”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及等比數(shù)列的單調(diào)性與通項(xiàng)公式判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，若，則，當(dāng)時(shí)，由得，解得或，若，則，此時(shí)與已知矛盾；若，則，此時(shí)為遞增數(shù)列．當(dāng)時(shí)，由，得，解得或，若，則，此時(shí)與已知矛盾；若，則，此時(shí)為遞增數(shù)列．反之，若是遞增數(shù)列，則，所以“對于任意的，”是“是遞增數(shù)列”的充要條件．故選：C．8.已知球是正三棱錐的外接球，，過點(diǎn)作球的截面，若截面面積為，則直線與該截面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作平面，垂足為，由正三棱錐性質(zhì)求出及外接球的半徑，進(jìn)而求得，利用球的截面性質(zhì)求解.【詳解】如圖，作平面，垂足為，則是正三角形的中心，因?yàn)?/p>

，，所以，則，因?yàn)?，取的中點(diǎn)，所以，，設(shè)正三棱錐外接球的半徑為，則，得，所以，故，設(shè)過點(diǎn)的球的截面圓的半徑為，圓心為，為截面圓上一點(diǎn)，，則，所以，則，所以與該截面所成角為，故，，即與該截面所成角為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖所示，在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與平面所成角的正弦值為B.點(diǎn)到平面的距離為2C.直線與所成角的正切值是2D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角可判斷A；用點(diǎn)到平面距離可判斷B；利用空間向量求線線角即可判斷C；畫出平面的完整圖形并計(jì)算可判斷D.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)D點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸.，，，，，對于A，平面的法向量為,直線的方向向量為,設(shè)直線與平面所成角，則,故A正確.對于B，,設(shè)面的法向量為,，,令得,距離，故B正確.對于C，，，設(shè)直線與所成角為，則所以，，故C不正確；對于D，因?yàn)?連,，所以平面截正方體所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰，所以面積,故D正確.故選：ABD.10.已知直線，圓，則（）A.，與相交B.，使得圓心到的距離為C.當(dāng)圓截所得的弦長為時(shí)，的值為D.當(dāng)圓上有個點(diǎn)到的距離為時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)利用直線恒過的定點(diǎn)在圓內(nèi)即可判斷；B選項(xiàng)圓心到的距離公式即可求解；C選項(xiàng)利用直線與圓相交的弦長公式即可求解；D選項(xiàng)利用當(dāng)圓上有個點(diǎn)到的距離為時(shí)，需滿足圓心到直線的距離即可求解.【詳解】直線可變形為，令，則，解得，，則直線恒過定點(diǎn)；又圓的圓心為，半徑為.則圓心到直線的距離為.對于A選項(xiàng)，，點(diǎn)在圓內(nèi)，對，與相交，故A正確；對于B選項(xiàng)，令，兩邊平方化簡得，，，此方程無解，不存在實(shí)數(shù)，使得圓心到的距離為，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，直線與圓相交弦長，則，解得，，兩邊平方解得，當(dāng)圓截所得的弦長為時(shí)，的值為，故C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)圓上有個點(diǎn)到的距離為時(shí)，需滿足圓心到直線的距離，即，兩邊平方解得，即，故D正確.故選：ACD.11.從數(shù)列中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、、第項(xiàng)，并按原順序構(gòu)成的新數(shù)列稱為數(shù)列的“連續(xù)子列”．已知數(shù)列中，，，對，數(shù)列的“連續(xù)子列”是公比為的等比數(shù)列．則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依題意對恒成立，代入計(jì)算可得、的值，可判斷AB選項(xiàng)；依題意可得，，再利用累乘法求出，可判斷C選項(xiàng)；再結(jié)合，計(jì)算可得，由放縮法得出，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可判斷D選項(xiàng).【詳解】A，由題意知、、是公比為的等比數(shù)列，所以對恒成立，又，所以，，A對；B，因?yàn)椋?，B對；C，因?yàn)閷愠闪ⅲ?，，所以，?dāng)時(shí)也成立，所以，C錯；D，因?yàn)?，所以，故，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上可得，D對.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)三角形式是,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故答案為：13.已知函數(shù)只有一個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】或【解析】【分析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，觀察得到，并且將函數(shù)只有一個極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)等于零只有一個根，結(jié)合圖象得到結(jié)果.【詳解】，函數(shù)只有一個極值點(diǎn)，即只有1個實(shí)根，且在根的兩側(cè)異號，可以求得，令，得，則設(shè)，求導(dǎo)，設(shè)，，設(shè)，，可知當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，且，所以恒成立，所以為減函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，畫出圖象如圖所示：可以確定，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個極值點(diǎn)，且，所以要求無解，所以或，故答案為：或.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，涉及到的知識點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)的取值范圍，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．其中將函數(shù)有一個極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程只有一個根，結(jié)合圖象得到結(jié)果，屬于較難題目.14.已知底面半徑為的圓錐其軸截面面積為，過圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為，若，則該圓錐的側(cè)面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得圓錐軸截面頂角為鈍角，再利用三角形面積公式求出母線長，進(jìn)而求出圓錐側(cè)面積.【詳解】依題意，圓錐軸截面面積小于過圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值，則該圓錐軸截面頂角為鈍角，設(shè)該圓錐母線長，軸截面頂角為，則，由，得，則，而圓錐底面圓半徑，則，所以該圓錐的側(cè)面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟．15.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若從數(shù)列中依次剔除與數(shù)列的公共項(xiàng)，剩下的項(xiàng)組成新的數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．【答案】（1），（2）4231【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用降標(biāo)作差求得，再代入檢驗(yàn)即可；（2）計(jì)算以及至，即可觀察得出數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算.【小問1詳解】因數(shù)列是等差數(shù)列，則，得，又，所以，所以等差數(shù)列的公差，則，因，則當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，即，令，得，則，滿足上式，則，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）可得，，且，經(jīng)驗(yàn)證數(shù)列前50項(xiàng)中與數(shù)列的公共項(xiàng)共有4項(xiàng)，分別為，從而數(shù)列中去掉的是這4項(xiàng)，所以.16.如圖，三棱錐中，底面是正三角形，底面，平面，垂足為．（1）是否可能是的垂心，請說明理由（2）若恰是的重心，求直線與平面所成角的大小．【答案】（1）不是，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）先假設(shè)是垂心，得出，結(jié)合條件推出，這與已知矛盾，從而可得不是的垂心；（2）由平面，可得為所求的與平面所成角大小，利用解三角形知識計(jì)算即得答案.【小問1詳解】如圖：假設(shè)是的垂心，則：，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又因?yàn)榈酌?，所以，又平面，所以平面，所以，與底面是正三角形矛盾，所以不是的垂心.【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，所以為所求的與平面所成角大小，取中點(diǎn)，連結(jié)，不妨設(shè)，則：，因?yàn)槠矫?，所以：，又因?yàn)榈酌妫?，所以在三角形中，有，所以，所以，又，所以，所以與平面所成角大小為.17.在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，.設(shè)，的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先邊角互化，將邊轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再根據(jù)三角恒等變形，即可求解；（2）首先結(jié)合正弦定理，利用三角函數(shù)分別表示，再表示三角形的面積，根據(jù)三角恒等變形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】由及正弦定理得：，整理得，因，所以，所以，又，所以.【小問2詳解】由及可知為等邊三角形，∴，∴為邊的中點(diǎn)，∴又因?yàn)椋?，所?在中，，由正弦定理可得，，即.在中，，由正弦定理可得，，即.所以，因?yàn)椋?，所以，所?所以，故的取值范圍為18.如圖1，在平面五邊形中，，，，，將三角形沿著向上翻折至三角形，得到四棱錐，如圖2所示.（1）求證：；（2）若平面平面，（i）求平面與平面所成角的余弦值；（ii）點(diǎn)在線段上，設(shè)平面將四棱錐分為兩個多面體，其中點(diǎn)所在的多面體體積為，另一個多面體體積為，若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）在平面圖形中作出輔助線，分析得到四邊形為矩形，且，由余弦定理得，，折疊后有，，證明出線面垂直，得到；（2）（i）由面面垂直得到線面垂直，故，所以兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量夾角余弦公式進(jìn)行求解；（ii）設(shè)平面交直線于點(diǎn)，證明出，設(shè)，，由三角形相似得，由（1）知，，所以⊥平面，表達(dá)出，四棱錐的體積為，根據(jù)體積之比得到方程，求出，進(jìn)而由比例關(guān)系求出到平面的距離.【小問1詳解】如圖，連接，，因?yàn)榍?，，故四邊形為矩形，因?yàn)?，，由勾股定理得，且，又，由余弦定理得，所以，，所以，連接交于點(diǎn)，則等腰三角形中，為角平分線，也是垂線，所以.折疊之后有，，，平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】（i）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，故，又，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，設(shè)平面與平面所成角為，，所以平面與平面所成角的余弦值為.（ii）