第第頁人教A版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)（必修二）《6.3.1平面向量基本定理》同步練習(xí)題及答案一、必備知識基礎(chǔ)練1.(探究點一)設(shè)向量e1與e2不共線,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,則實數(shù)x,y的值分別為()A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,42.(探究點二(角度1))如圖所示,在△ABC中,AD=23AB,BE=12BC,則A.13AC?C.12AC?3.(探究點二(角度1))如圖,平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含邊界).設(shè)OP=mOP1+nOP2,且點P落在第Ⅲ部分,則實數(shù)A.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<04.(探究點二(角度1)·2025四川瀘州高一期中)如圖,在△ABC中,設(shè)AB=a,AC=b,2BD=3DC,則AD=()A.25a+35b B.25aC.25b+35a D.25b5.(多選題)(探究點三)已知向量i=(1,0),j=(0,1),對于該坐標平面內(nèi)的任一向量a,給出下列四個選項,其中不正確的選項是()A.存在唯一的一對實數(shù)x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),則x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,則a的起點是原點OD.若x,y∈R,a≠0,且a的終點坐標是(x,y),則a=(x,y)6.(探究點二(角度1)·2025山東濟寧高一期中)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD上靠近A的三等分點,則BE=()A.34AB?C.56AB?7.(探究點二(角度2))已知O,A,B是平面內(nèi)任意不共線三點,點P在直線AB上,若OP=3OA+xOB,則x=.

8.(探究點二(角度2)·2025江蘇南京高一期中)在平行四邊形ABCD中,CM=2MD,AM交BD于點Q,若AQ=λAD+μAC,則λ+μ=.

9.(探究點一)設(shè)e1,e2是兩個不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求證:{a,b}可以作為一個基底;(2)以{a,b}為基底,表示向量c=3e1-e2.10.(探究點二(角度2))在△ABC中,∠BAC=120°,AB=3,AC=1,D是邊BC上一點,CD=2BD,設(shè)AB=a,AC=b.(1)試用a,b表示AD;(2)求AD·二、關(guān)鍵能力提升練11.在△ABC中,AB=4,AC=2,點M是邊BC的中點,則BC·A.-6 B.6 C.-8 D.812.如圖,在△ABC中,AD=13DC,P是線段BD上一點,若AP=mA.13 B.23 C.2 13.如圖,在△ABC中,AD=DB,AE=13EC,若DE=A.8 B.4 C.2 D.114.如圖,在△ABC中,BM=2MC,N為線段AM上一點,且AN=(1-λ)AB+λ3A.34 B.25 C.5615.已知在平面直角坐標系中,O是坐標原點,OA=(3,1),將OA繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)π6弧度得到OB,則點B的坐標為16.(2025山東濰坊高一期中)如圖,在平行四邊形ABCD中,P,Q分別為線段BC,CD的中點.(1)若AC=λAP+μBQ,求λ,μ的值;(2)若AB=2,AD=1,∠BAD=60°,求AP與三、學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.在邊長為1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,記AB=a,AD=b,M是線段BD上一點,N是線段DC上一點,且A,M,N三點共線.若ANAM=3參考答案1.D因為向量e1與e2不共線,所以3x=42.DDE=DB+BE3.B如圖所示,利用平行四邊形法則,將OP分解到OP1和OP2上,有OP=OA+OB,則OA=mOP1,OB=nOP4.A由2BD=3DC,可得BD=35BC,AD=AB故選A.5.BCD由平面向量基本定理,知A正確;舉反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B錯誤;因為向量可以平移,所以a=(x,y)與a的起點是不是原點無關(guān),故C錯誤;當(dāng)a的終點坐標是(x,y)時,a=(x,y)是以a的起點是原點為前提的,故D錯誤.6.D如圖,BE=BA+AE=BA+137.-2∵點P在直線AB上,且OP=3OA+xOB,∴3+x=1,∴x=-2.8.34如圖,在?ABCD中,DM∥AB,則△DQM∽△BQA,因為CM=2MD,所以DMAB=QMAQ=13,所以AQ=34AM=34(AD+DM)=349.(1)證明假設(shè)a,b共線,則a=λb(λ∈R),則e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共線,得λ所以λ不存在,故a,b不共線,即{a,b}可以作為一個基底.(2)解設(shè)c=ma+nb(m,n∈R),則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+n,-1=-2m+310.解(1)∵D是邊BC上一點,CD=2BD,∴BD=13BC,又∵AB=a,AC=b,得BC=b-a,∴AD=AB+BD=AB+13BC=a(2)∵|a|=|AB|=3,|b|=|AC|=1,∠BAC=120°,∴a·b=|a|·|b|cos∠BAC=-32,AD·BC=(23a+13b)·(b-a)=13b2+13a11.A∵在△ABC中,點M是邊BC的中點,∴AM=12(AB+AC).∴BC·AM=12(AC?AB)·(AB+AC)=1212.A設(shè)BP=λBD,因為AD=13DC,所以AD=14AC,則AP=AB+BP=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=(1-λ)AB+13.A因為DE=DA+AE,AD=DB,AE=13EC,所以DE=12BA+14AC=12BA+14(14.D因為BM=2MC,所以BM=23BC,所以AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23(AC?AB)=13AB+所以1-λ=t3,λ315.(1,3)設(shè)與x軸方向相同的單位向量為i,由題意,|OB|=|OA|=12+(3)2=2,所以O(shè)A與i的夾角θ的正弦值為sinθ=12,故θ=π6,所以由題意得OB與i的夾角為π6+π6=π316.解(1)因為P,Q分別為BC,CD的中點,所以AP=AB+于是AC=λAP+μBQ=λ(AB+12AD)+μ(-12AB+AD)=(λ-12μ)AB又AC=AB+AD,AB,AD不共線,由平面向量基本定理得λ-(2)由(1)可知AP=AB+所以|AP|=AB2+14AD2+2×12AB·AD=4+14+2×12×2×1×12=212.同理|BQ|=(-12AB所以cos<AP,BQ>=AP·17.b+12a43設(shè)DN=λAB,λ∈[0,1],則AN=b+λa,若ANAM=32,則AM因為B,M,D三點共線,則23+23λ=1,得λ=12,所以AN=b+λa=設(shè)ANAM=μ,μ∈[1,2],則AM=1μAN又B,M,