第第頁(yè)人教A版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)（必修二）《6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示》同步練習(xí)題及答案一、必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(探究點(diǎn)一(角度1))已知向量a=(2,1),b=(3,2),則a·(a-b)=()A.-5 B.-3 C.3 D.52.(探究點(diǎn)二)已知BA=3CA,且AC=(-2,1),則|AB|=()A.43 B.32 C.33 D.353.(探究點(diǎn)一(角度1))已知向量a=(2,n),b=(-1,2),c=(n,n),若a∥b,則a·(2b+c)=()A.-12 B.24 C.-24 D.124.(探究點(diǎn)三)設(shè)向量a=(3,1),b=(x,-3),c=(1,-3).若b⊥c,則a-b與c的夾角為()A.0° B.30° C.60° D.90°5.(多選題)(探究點(diǎn)二、三·2025河北保定高一期中)已知向量a=(4,2),b=(-6,2),則()A.|a+b|=20B.與向量a共線的單位向量是(25C.(a+b)⊥aD.向量a在向量b上的投影向量是-126.(探究點(diǎn)二)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.

7.(探究點(diǎn)二、三)設(shè)向量a與b的夾角為θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),則|b|=,cosθ=.

8.(探究點(diǎn)一(角度2)·2025浙江舟山高一期末)在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)F是BC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)C,D),則EA·EF的取值范圍是9.(探究點(diǎn)一(角度2)·2025廣東深圳高一期中)在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,點(diǎn)E為線段CD上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),BE=λBA+μBC.(1)求λ+μ的值;(2)若F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F可以與點(diǎn)B,E重合,G為AF的中點(diǎn),求AF·二、關(guān)鍵能力提升練10.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),則下列說法不正確的是()A.若a∥b,則t的值為-1B.若|a+b|=|a-b|,則t的值為2C.|a+b|的最小值為1D.若a與b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是(-∞,2)11.已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為AO的中點(diǎn),若AB=2,∠BAD=60°,則AB·A.-2 B.-12 C.-72 12.(多選題)已知向量a=(sinθ,cosθ),b=(1,3),c=(3,3),則下列選項(xiàng)正確的是()A.若a∥b,則θ=πB.b在c上的投影向量為12C.存在θ,使得a在c-b上的投影向量的模為1D.|a-b|的取值范圍為[1,3]13.設(shè)向量m=(a,b),n=(c,d),規(guī)定兩向量m,n之間的一個(gè)運(yùn)算“?”為m?n=(ac-bd,ad+bc).若p=(1,2),p?q=(-4,-3),則q的坐標(biāo)為.

14.(2025天津南開高一期中)已知扇形AOB半徑為1,∠AOB=60°,AB上的點(diǎn)P滿足OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ的最大值是?;PA·PB的最小值是15.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),設(shè)m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求當(dāng)|m|取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t(2)若a⊥b,問:是否存在實(shí)數(shù)t,使得向量a-b與向量m的夾角為π4?若存在,求出實(shí)數(shù)t三、學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=(22,-22),n=(sinx,cosx),x∈(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m與n的夾角為π3,求x參考答案1.B∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),則a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故選B.2.D由BA=3CA,得AB=3AC,又AC=(-2,1),所以AB=3AC=(-6,3),故|AB|=(-6)2+32=3.A因?yàn)閍∥b,所以2×2-(-1)×n=0,解得n=-4,故a=(2,-4),c=(-4,-4),所以a·(2b+c)=(2,-4)·[2×(-1,2)+(-4,-4)]=(2,-4)·(-6,0)=-12.故選A.4.D根據(jù)題意,設(shè)a-b與c的夾角為θ,b=(x,-3),c=(1,-3),b⊥c,則b·c=x+33=0,解得x=-33,則b=(-33,-3),a-b=(43,4),則(a-b)·c=(43,4)·(1,-3)=43-43=0,所以(a-b)⊥c.因?yàn)棣取蔥0°,180°],所以θ=90°.故選D.5.CD因?yàn)閍=(4,2),b=(-6,2),所以a+b=(4,2)+(-6,2)=(-2,4),則|a+b|=(-2)2+42又|a|=42+22=25,則與向量a共線的單位向量為±a|a|,即(255,5因?yàn)?a+b)·a=4×(-2)+2×4=0,所以(a+b)⊥a,C正確;因?yàn)閍·b=4×(-6)+2×2=-20,|b|2=(-6)2+22=40,所以向量a在向量b上的投影向量是a·b|b|2·b=-126.-2(方法一)a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.(方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.7.21設(shè)b=(x,y),則2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,-1),∴2x-3=-1,2y-3=-1,解得x8.[-116,12]以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在的直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則設(shè)E(x,1),x∈[0,1],EA=(-x,-1),EF=(32-x,-12),所以EA·EF=x(x-32)+12=(x-因?yàn)閤∈[0,1],所以EA·EF=(x-34)2-116∈[9.解(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D(-1,1),E(-13,1),可得BA=(-1,0),BC=(0,1),BE=(-1因?yàn)锽E=λBA+μBC=(-λ,μ),則-λ=-13,μ(2)因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE:y=-3x,x∈[-13,0]上所以可設(shè)F(a,-3a),a∈[-13,0],且G為AF的中點(diǎn),則G(a-12,-32a),可得AF=(a+1,-3a),DG=(a+12,-32a-1),則AF·DG=(a+1)22+(-3a)·(-32a-1)=5(a+25)2-3所以當(dāng)a=-13時(shí),AF·DG取到最小值,為10.D選項(xiàng)A中,若a∥b,則-2×t=1×1,即t=-12,選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B中,若|a+b|=|a-b|,兩邊平方并化簡(jiǎn),得a·b=0,即-2+t=0,即t=2,選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C中,|a+b|=|(-1,1+t)|=(t+1)2+1,當(dāng)t=-1時(shí),有最小值1,選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D中,若a與b的夾角為鈍角,則a·11.B如圖,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OD,OA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,由AB=2,∠BAD=60°,得A(0,3),B(-1,0),D(1,0),E(0,32),所以AB=(-1,-3),DE=(-1,3所以AB·DE=1-32=-1212.BCD對(duì)于A,若a∥b,則3sinθ-cosθ=0,則tanθ=33,故A錯(cuò)誤對(duì)于B,b在c上的投影向量為(|b|cos<b,c>)c|c|=(|b|b·c|b|·|c對(duì)于C,c-b=(2,0),所以a在c-b上投影向量的模為|a||cos<a,c-b>|=|a·(c-b)||c-b|=|sinθ|,當(dāng)θ=π2時(shí),sinθ=1,所以存在θ,對(duì)于D,向量a=(sinθ,cosθ),b=(1,3),|a-b|=(sinθ-1)2+(cosθ-3)2=5-2sinθ-23cosθ=513.(-2,1)設(shè)q=(x,y),則p?q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).∴x-2y=-4,14.23332?3由題設(shè),構(gòu)建如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,且A(12,32),則P(cosθ,sinθ),OA=(12,32),OB=(1,0),OP=(cosθ,sinθ),由OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),得(cosθ,sinθ)=λ(12,32)+μ(1,0),即cosθ=λ2+μ,sinθ=32λ,解得λ=23sinθ,μ=cosθ-13sinθ,故λ+μ=13sinθ+cosθ=23(12sinθ+32cosθ)=23PA·PB=(12-cosθ,32-sinθ)·(1-cosθ,-sinθ)=(12-cosθ)(1-cosθ)+(32-sinθ)(-sinθ)=cos2θ-32cosθ+12+sin2θ-32sinθ=32?32sin所以當(dāng)θ=π6時(shí),PA·PB15.解(1)當(dāng)α=π4時(shí),b=22,22,a∴|m|=(a+tb)2=5+t2+2ta·(2)存在.假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)t.由條件得cosπ4=(a-b)·(a+tb)|a-b||a+tb|,∵a⊥b,∴a·b=0,則|a-b|=(a-b∴t2+5t