第第頁湘教版高一下學(xué)期數(shù)學(xué)（必修二）《3.4復(fù)數(shù)的三角表示》同步練習(xí)題及答案一、必備知識基礎(chǔ)練1.復(fù)數(shù)z=2?2i的三角形式是(A.2(cosπ4+isinπ4B.2(cos3π4+isinC.2(cos7π4+isin7D.2(cos5π4+isin2.(2025甘肅酒泉高一期末)已知向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=-1+i,復(fù)數(shù)zi對應(yīng)的向量可以將向量OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到.(填最小正角)

3.[2(cos60°+isin60°)]3=.

4.計算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].5.已知復(fù)數(shù)z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式二、關(guān)鍵能力提升練6.復(fù)數(shù)(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)的三角形式是()A.sin30°+icos30°B.cos160°+isin160°C.cos30°+isin30°D.sin160°+icos160°7.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+2z+4=0,且argz∈π2,π,則z8.萊昂哈德·歐拉發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ,從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.若將其中的θ取作π就得到了歐拉恒等式eπi+1=0,它是數(shù)學(xué)里令人著迷的一個公式,它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個量聯(lián)系起來:兩個超越數(shù)(自然對數(shù)的底數(shù)e,圓周率π),兩個單位(虛數(shù)單位i,自然數(shù)單位1)以及0.請你根據(jù)歐拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解決以下問題:(1)試將復(fù)數(shù)eπ3i寫成a+bi(a,b(2)試求復(fù)數(shù)eπ39.已知復(fù)數(shù)z的模為2,實(shí)部為3,求復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式和三角形式.10.計算下列各式的值:(1)(-12+32i)·[2(cosπ(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).11.求證:(cos3θ+isin3θ)3·三、學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練12.已知k是實(shí)數(shù),ω是非零復(fù)數(shù),且滿足argω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+k(1)求ω;(2)設(shè)z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+2,求θ的值.參考答案1.Cz=2?2i=2(22?22i)=2(cos7π42.π2zi=(-1+i)i=-1-i設(shè)將向量OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ,可得到復(fù)數(shù)zi對應(yīng)的向量,則由-1-i=(-1+i)(cosθ+isinθ),化簡得-1-i=-cosθ-sinθ+(cosθ-sinθ)i,故有-cosθ-sinθ=-1,cosθ-sinθ=依題意求最小正角,則θ=π23.-8原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.4.解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]=42[cos(80°-320°)+isin(80°-=2[cos(-240°)+isin(-240°)]=2-=-1+3i.5.解1z=(cos0°+isin0°)r(cosθ+isinθ)=1r[cos(0°-θ)6.B(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)=sin210°-cos210°+2sin10°cos10°i=-cos20°+sin20°i=cos160°+isin160°.故選B.7.z=2(cos2π3+isin2π3)由z2+2z+4=0,得z=12(-2±23i)因?yàn)閍rgz∈(π2,π),所以z=-1-3i應(yīng)舍去所以z=-1+3i=2(cos2π3+isin28.解(1)根據(jù)歐拉公式可得eπ3i=cosπ3+(2)由題意可知eπ3i+12=1因此,eπ9.解由題意,可設(shè)z=3+bi(b∈R).∵|z|=2,∴3+b2=2,解得b=±1,∴z=3+i或z=3-將z化為三角形式,得z=2(cosπ6+isinπ6)或z=2[cos-π6+10.解(1)-12+32i·=(cos2π3+isin2π3)·[2(cosπ=2(cosπ+isinπ)=-2.(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.11.證明左邊=(cos9θ+isin9θ)·(cos14θ+isin14θ)=cosθ-isinθ=右邊.12.解(1)argω=3π4,可設(shè)ω=a-ai(a∈將其代入(1+ω)2+(1+i)2=1+kω,化簡可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,∴2a=ka,2