甘肅省臨洮縣第二中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.212．已知F是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線(xiàn)交E于A，B兩點(diǎn)，若E的漸近線(xiàn)上恰好存在四個(gè)點(diǎn)，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知向量分別是直線(xiàn)的方向向量，若，則（）A. B.C. D.4．如圖，A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O為平面ABC外一點(diǎn)，且平面ABC中的小方格均為單位正方形，，，則（）A.1 B.C.2 D.5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.6．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.7．若點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若等邊三角形的面積為，則該拋物線(xiàn)的方程是（）A. B.C. D.8．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.69．雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤(rùn)人生．某市舉辦“中華經(jīng)典誦寫(xiě)講大賽”，大賽分為四類(lèi)：“誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀大賽、“詩(shī)教中國(guó)”詩(shī)詞講解大賽、“筆墨中國(guó)”漢字書(shū)寫(xiě)大賽、“印記中國(guó)”學(xué)生篆刻大賽．某人決定從這四類(lèi)比賽中任選兩類(lèi)參賽，則“誦讀中國(guó)”被選中的概率為（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）A. B.13C.45 D.11711．如圖，在空間四邊形中，（）A. B.C. D.12．總體由編號(hào)為的30個(gè)個(gè)體組成.利用所給的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取的方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開(kāi)始，由左到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）A.20 B.26C.17 D.03二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線(xiàn)l:y=-x+m與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.14．點(diǎn)P(8，1)平分橢圓x2+4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線(xiàn)的方程是_______.15．在區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于2的概率為_(kāi)__________.16．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，A為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)．以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)于B，D兩點(diǎn)，A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線(xiàn)，且，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)且前項(xiàng)和為，求18．（12分）已知橢圓，離心率為，短半軸長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線(xiàn)，問(wèn)：在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線(xiàn)l的距離最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知（1）求角的大?。唬?）若的面積，求的值20．（12分）如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）[79.5，89.5)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是多少？21．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線(xiàn)與所成角的余弦值22．（10分）某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級(jí)有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個(gè)年級(jí)中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)及圖中的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因?yàn)?，所?故選：A2、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)此時(shí)以AB為直徑的圓M上與雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿(mǎn)足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)有四個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)圓M與漸近線(xiàn)相切時(shí)，圓心到漸近線(xiàn)的距離，則必有，即，則雙曲線(xiàn)E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，，解得E的離心率為，此時(shí)以AB為直徑圓M與雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D3、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線(xiàn)的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，將向量表示為，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算可得答案,【詳解】因?yàn)椋?，故選：B.5、C【解析】先由cosA的值求出，進(jìn)而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因?yàn)閏osA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C6、C【解析】由平面，直線(xiàn)與平面所成角的最大時(shí)，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長(zhǎng)，然后取外心，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，求出的長(zhǎng)即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線(xiàn)與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線(xiàn)上7、A【解析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長(zhǎng)，根據(jù)角度求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程求得的值.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則，解得根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，且，設(shè)點(diǎn)在軸上方，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，將代入拋物線(xiàn)方程得，解得，故拋物線(xiàn)方程為故選：A8、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D9、B【解析】由已知條件得基本事件總數(shù)為種，符合條件的事件數(shù)為3中，由古典概型公式直接計(jì)算即可.【詳解】從四類(lèi)比賽中選兩類(lèi)參賽，共有種選擇，其中“誦讀中國(guó)”被選中的情況有3種，即“誦讀中國(guó)”和“詩(shī)教中國(guó)”，“誦讀中國(guó)”和“筆墨中國(guó)”，“誦讀中國(guó)”和“印記中國(guó)”，由古典概型公式可得，故選：.10、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C11、A【解析】利用空間向量加減法法則直接運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則得.故選：A.12、D【解析】根據(jù)題目要求選取數(shù)字，在30以?xún)?nèi)的正整數(shù)符合要求，不在30以?xún)?nèi)的不合要求，舍去，與已經(jīng)選取過(guò)重復(fù)的舍去，找到第5個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】已知選取方法為從第一行的第3列和第4列數(shù)字開(kāi)始，由左到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，所以選取出來(lái)的數(shù)字分別為12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（與前面重復(fù)，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為03.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】曲線(xiàn)表示圓的右半圓，結(jié)合的幾何意義，得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】曲線(xiàn)表示圓的右半圓，當(dāng)直線(xiàn)與相切時(shí)，，即，由表示直線(xiàn)的截距，因?yàn)橹本€(xiàn)l與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖可知，所以.故答案為：.14、【解析】結(jié)合點(diǎn)差法求得正確答案.【詳解】橢圓方程可化為，設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，所以弦所在直線(xiàn)方程為，即.故答案為：15、【解析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)“區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對(duì)應(yīng)集合為，區(qū)間長(zhǎng)度為3，“取到的數(shù)小于2”，對(duì)應(yīng)集合為，區(qū)間長(zhǎng)度為1，所以.故答案為：16、2【解析】求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，由，，三點(diǎn)共線(xiàn)，推得，由三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)可得到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，可得的值【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線(xiàn)，可得為圓的直徑，如圖示：設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于E，所以，則，由拋物線(xiàn)的定義可得，又是的中點(diǎn)，所以到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知變形得出，即可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算，利用并項(xiàng)求和法可求得.【小問(wèn)1詳解】證明：對(duì)任意的，，則，且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比也為，故.【小問(wèn)2詳解】解：，所以，，因此，.18、（1）；（2）存在，最大距離為.，理由見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長(zhǎng)求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)為平行于直線(xiàn)且與橢圓相切的切線(xiàn)與直線(xiàn)最大距離，設(shè)直線(xiàn)方程聯(lián)立橢圓方程根據(jù)求參數(shù)，進(jìn)而判斷點(diǎn)T的存在性，即可求最大距離.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)知：且，又，∴，故橢圓C的方程為.小問(wèn)2詳解】聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，可得：，∴，即直線(xiàn)與橢圓相離，∴只需求平行于直線(xiàn)且與橢圓相切的切線(xiàn)與直線(xiàn)最大距離即為所求，令平行于直線(xiàn)且與橢圓相切的直線(xiàn)為，聯(lián)立橢圓，整理可得：，∴，可得，當(dāng)，切線(xiàn)為，其與直線(xiàn)距離為；當(dāng)，切線(xiàn)為，其與直線(xiàn)距離為；綜上，時(shí)，與橢圓切點(diǎn)與直線(xiàn)距離最大為.19、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，將條件中的邊化成角，可得，進(jìn)而可得的值；（2）由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，得最后結(jié)論試題解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理【易錯(cuò)點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題的兩重性：①作為三角形問(wèn)題，它必須要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及其有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路；②它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見(jiàn)的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”（即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”）是使問(wèn)題獲得解決的突破口20、（1）0.25，15；（2）眾數(shù)為74.5，中位數(shù)為72.8，平均分為70.5.【解析】（1）直接利用頻率和頻數(shù)公式求解；（2）利用頻率分布直方圖的公式求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【詳解】（1）頻率＝(89.5－79.5)×0.025＝0.25；頻數(shù)＝60×0.25＝15.（2）[69.5，79.5)一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為74.5，左邊三個(gè)矩形的面積和為0.4，左邊四個(gè)矩形的面積和為0.7，所以中位數(shù)在第4個(gè)矩形中，設(shè)中位數(shù)為,所以中位數(shù)為72.8.平均分為44.5×0.1＋54.5×0.15＋64.5×0.15＋74.5×0.3＋84.5×0.25＋94.5×0.05＝70.521、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，由，，證出平面，即可證出.（2）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與所成角的余弦值為22、（1）樣本中高一