2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研高二數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.涂寫在本試卷上無效.4.作答非選擇題時，將答案書寫在答題卡上，書寫在本試卷上無效.5.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量，且，則（）A B. C. D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.4.現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）A.120 B.60 C.30 D.205.若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)（）A.-1 B.2 C.-l或2 D.-2或l6.直線被圓截得的弦長為（）A. B. C. D.7.若直線與曲線至少有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.8.已知點F是雙曲的右焦點，O是坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點A，若的面積為5，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，直線，則（）A.直線可以與軸平行 B.直線可以與軸平行C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，10.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（）．A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形11.已知正方體棱長為2，點在線段上運動，則（

）A.直線與所成角的取值范圍是B.三棱錐的體積為定值C.D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有______種.13.已知空間向量，，若向量與垂直，則______.14.已知圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則最小值是_______________．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟.15.已知直線：，圓：.（1）求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)；（2）若直線的傾斜角為45°，求直線被圓截得的弦長.16.為考察某種藥物對預(yù)防疾病的效果，進行了動物（單位：只）試驗，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病總計未患病患病未服用10080s服用15070220總計250t400（1）求s，t；（2）記未服用藥物的動物患疾病的概率為，給出的估計值；（3）能否有99%的把握判斷藥物對預(yù)防疾病有效？附：.0.0100.0050.0016.6357.87910.82817.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為的中點．（1）求證：//平面；（2）再從條件（1）、條件（2）這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的平面角的余弦值．條件①：平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．18.中央政治局會議指出，要強化科技創(chuàng)新和產(chǎn)業(yè)鏈供應(yīng)鏈韌性，加強基礎(chǔ)研究，推動應(yīng)用研究，開展補鏈強鏈專項行動；加快解決“卡脖子”難題．某科研院所成立攻關(guān)研究小組，準(zhǔn)備攻克一個“卡脖子”難題，研究分兩個階段，第一階段研究三個基礎(chǔ)問題，第二階段研究三個應(yīng)用問題．若該攻關(guān)研究小組第一階段內(nèi)能解決這三個問題中的至少兩個，就可以進入第二階段，研究應(yīng)用性問題，否則該攻關(guān)研究小組解散．假設(shè)每個基礎(chǔ)問題，該小組在第一階段內(nèi)解決的概率均為0.5，若該攻關(guān)研究小組進入了第二階段，每個應(yīng)用問題，該攻關(guān)研究小組能解決的概率均為0.4（假設(shè)各個階段的每個問題均相互獨立）．（1）求該攻關(guān)研究小組能進入第二階段研究的概率；（2）在該攻關(guān)研究小組進入了第二階段研究的前提下，記該攻關(guān)研究小組解決應(yīng)用問題的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望；（3）第一階段，該攻關(guān)研究小組能獲得1（單位：億元）啟動經(jīng)費，第二階段，每解決一個應(yīng)用問題，該攻關(guān)研究小組能獲得5（單位：億元）費用．記該攻關(guān)研究小組在這兩階段獲得的總費用和為Y（單位：億元）．求隨機變量Y的期望值．19.已知橢圓：的左、右焦點分別為、，為橢圓的一個頂點，且右焦點到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點.①若直線過橢圓右焦點，且的面積為，求實數(shù)的值；②若直線過定點，且，在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研高二數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.涂寫在本試卷上無效.4.作答非選擇題時，將答案書寫在答題卡上，書寫在本試卷上無效.5.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性可求得的值.【詳解】因為隨機變量，且，則.故選：B.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，根據(jù)直線方程，即可求解.【詳解】因為，所以拋物線方程為，，因為拋物線準(zhǔn)線方程為，所以拋物線準(zhǔn)線方程為.故選：D3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.【詳解】的二項展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.4.現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）A120 B.60 C.30 D.20【答案】B【解析】【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.【詳解】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有種.故選：B.5.若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)（）A.-1 B.2 C.-l或2 D.-2或l【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用分類討論思想，結(jié)合平行直線的性質(zhì)以及距離公式，可得答案.【詳解】①當(dāng)時，可得，，由，則此時不符合題意；②當(dāng)時，可得直線的斜率，直線的斜率，由，整理可得，則，解得或，當(dāng)時，可得，，整理方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時不符合題意；當(dāng)時，可得，，整理的方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時符合題意.綜上可得.故選：A.6.直線被圓截得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，然后由勾股定理求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為3，則圓心到直線的距離為，則直線被圓截得的弦長為．故選：B7.若直線與曲線至少有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得直線恒過定點，曲線表示以為圓心，1為半徑的圓的右半部分，進而結(jié)合圖象及直線與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】由直線，恒過定點，曲線，即，該曲線表示以為圓心，1為半徑的圓的右半部分，如圖，當(dāng)直線與該半圓相切時，，且，解得；當(dāng)直線過點時，有，解得，結(jié)合圖象可知，要使直線與該半圓至少有一個公共點，則，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B8.已知點F是雙曲的右焦點，O是坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點A，若的面積為5，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點到直線的距離公式求出雙曲線焦點到漸近線的距離為，再結(jié)合的面積可求的值，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖：由題有，由雙曲線性質(zhì)有，，所以.所以，所以.又雙曲線方程，則，，所以，則雙曲線離心率.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，直線，則（）A.直線可以與軸平行 B.直線可以與軸平行C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行和垂直時的系數(shù)關(guān)系逐個選項計算判斷即可.【詳解】當(dāng)時，直線：，此時直線與軸平行，故A項正確；當(dāng)時，直線：，此時直線與軸平行，故B項正確；若，則，解得，此時直線與重合，故C項錯誤；若，則，解得，故D正確.故選：ABD.10.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（）．A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設(shè)的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.11.已知正方體棱長為2，點在線段上運動，則（

）A.直線與所成角的取值范圍是B.三棱錐的體積為定值C.D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】由，根據(jù)在線段的位置，即可確定異面直線與所成角的范圍可判斷A；利用等體積法可判斷B；由數(shù)量積的定義可判斷C；將旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)，如圖所述，旋轉(zhuǎn)到，由余弦定理可判斷D.【詳解】對于A，由，異面直線與所成角即為與所成角，又為等邊三角形，當(dāng)與線段的兩端點重合時，與所成角取最小值，當(dāng)與線段的中點重合時，與所成角取最大值，故與所成角的范圍，故A正確.對于B，因為，平面，平面，所以平面，所以直線上任意一點到平面的距離相等，所以點到平面的距離等于點到平面，所以，故B錯誤；對于C，，設(shè)，所以，當(dāng)時，有最小值為；當(dāng)或時，有最大值為；故，所以，所以，則，故C正確；對于D，將旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)，如圖所述，旋轉(zhuǎn)到，且最小值為：，故D錯誤.故選：AC.方法點睛：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：（1）立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；（2）對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；（3）對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有______種.【答案】【解析】【分析】由排列組合中的捆綁法和插空法計算.【詳解】利用捆綁法可得，丙和丁相鄰的排法有種，然后將乙、戊和丙、丁4人進行排列，排法有種，因為甲不站在兩端，且乙、戊和丙、丁排完會形成2個空位，利用插空法排列甲，排法有種，所以不同的排列方法有種.故答案為：13.已知空間向量，，若向量與垂直，則______.【答案】5【解析】【分析】先求出與的坐標(biāo)，再由垂直得到，求解.【詳解】因為，，所以，，又因為向量與垂直，所以，解得.故答案為：5.14.已知圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的最小值是_______________．【答案】2【解析】【分析】依題意有直線過圓心，得到，再利用重要不等式求的最小值.【詳解】圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，有，即.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.∴，即，所以時，的最小值為2.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟.15.已知直線：，圓：.（1）求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)；（2）若直線的傾斜角為45°，求直線被圓截得的弦長.【答案】（1）證明見解析，.（2）.【解析】【分析】對于（1），將化為即可得答案；對于（2），由（1）結(jié)合題意可得l方程，求得l到圓C圓心距離，結(jié)合圓半徑可得答案.【小問1詳解】：，聯(lián)立解得故直線恒過定點.【小問2詳解】由題意直線的斜率，得，∴：圓：，圓心，半徑，圓心到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長為.16.為考察某種藥物對預(yù)防疾病的效果，進行了動物（單位：只）試驗，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病總計未患病患病未服用10080s服用15070220總計250t400（1）求s，t；（2）記未服用藥物的動物患疾病的概率為，給出的估計值；（3）能否有99%的把握判斷藥物對預(yù)防疾病有效？附：.0.0100.00500016.6357.87910.828【答案】（1），（2）（3）的把握認為藥物A對預(yù)防疾病B有效【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求和即可；（2）用頻率估計概率，計算即可；（3）根據(jù)公式計算，然后根據(jù)臨界值表分析判斷即可.【小問1詳解】由列聯(lián)表知，．【小問2詳解】由列聯(lián)表知，未服用藥物A的動物有180只，未服用藥物A且患疾病B的動物有80只，所以未服用藥物A的動物患疾病B的頻率為，所以未服用藥物A的動物患疾病B的概率的估計值為．【小問3詳解】零假設(shè)為：藥物對預(yù)防疾病無效，由列聯(lián)表得到，所以有的把握認為藥物A對預(yù)防疾病B有效．17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為的中點．（1）求證：//平面；（2）再從條件（1）、條件（2）這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的平面角的余弦值．條件①：平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明線面平行，再利用面面平行的判定可證結(jié)論；（2）無論選擇哪個條件都能得到側(cè)棱與底面垂直，然后利用空間向量可求答案或者找出二面角的平面角，利用三角形知識求解.【小問1詳解】取的中點為，連接，∵三棱柱，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴．又平面平面，∴平面．∵分別為中點，∴．又平面平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．又平面，∴平面．【小問2詳解】選條件①∵平面，∴．又∵側(cè)面為正方形，∴．∵，∴平面．選條件②∵在中，，∴．∴．又∵側(cè)面為正方形，∴．∵，∴平面．解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，；；設(shè)平面的法向量為，令得，即．,設(shè)平面的法向量為，，令得，即平面的法向量為．∴．即二面角的平面角的余弦值為．解法二：過點作交于點，過點作交于點，連結(jié)，∵平面，∴．∵，，，∴平面．又平面，∴．∵，∴平面．∴．∴即為所求角．在直角三角形中，，∴，；在正方形中，，∴；在中，由等面積可得，∴，∴．即二面角的平面角的余弦值為．18.中央政治局會議指出，要強化科技創(chuàng)新和產(chǎn)業(yè)鏈供應(yīng)鏈韌性，加強基礎(chǔ)研究，推動應(yīng)用研究，開展補鏈強鏈專項行動；加快解決“卡脖子”難題．某科研院所成立攻關(guān)研究小組，準(zhǔn)備攻克一個“卡脖子”難題，研究分兩個階段，第一階段研究三個基礎(chǔ)問題，第二階段研究三個應(yīng)用問題．若該攻關(guān)研究小組第一階段內(nèi)能解決這三個問題中的至少兩個，就可以進入第二階段，研究應(yīng)用性問題，否則該攻關(guān)研究小組解散．假設(shè)每個基礎(chǔ)問題，該小組在第一階段內(nèi)解決的概率均為0.5，若該攻關(guān)研究小組進入了第二階段，每個應(yīng)用問題，該攻關(guān)研究小組能解決的概率均為0.4（假設(shè)各個階段的每個問題均相互獨立）．（1）求該攻關(guān)研究小組能進入第二階段研究的概率；（2）在該攻關(guān)研究小組進入了第二階段研究的前提下，記該攻關(guān)研究小組解決應(yīng)用問題的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望；（3）第一階段，該攻關(guān)研究小組能獲得1（單位：億元）啟動經(jīng)費，第二階段，每解決一個應(yīng)用問題，該攻關(guān)研究小組能獲得5（單位：億元）費用．記該攻關(guān)研究小組在這兩階段獲得的總費用和為Y（單位：億元）．求隨機變量Y的期望值．【答案】（1）0.5（2）分布列見解析，1.2（3）4【解析】【分析】（1）根據(jù)