九江市2025-2026學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試題卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.雙曲線的焦距為是（）A. B. C.5 D.103.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.已知變量與的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：245682742627287若與線性相關(guān)，且關(guān)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．據(jù)此估計(jì)，當(dāng)為9時(shí)，約為（）A.95 B.100 C.105 D.1105.四面體中，若，，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面6.2025年，江西省成功舉辦了城市足球超級聯(lián)賽（簡稱贛超）．在某場比賽開始前，主辦方安排了5名志愿者分別負(fù)責(zé)賽場3個(gè)不同入口的安保工作，要求每人只負(fù)責(zé)一個(gè)入口，每個(gè)入口至少有1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.90種 C.150種 D.240種7.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，關(guān)于的一條漸近線的對稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則的離心率為（）A. B.2 C. D.48.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與橢圓，斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段與橢圓交于點(diǎn)．若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量的分布列如下，則（）012A. B.C. D.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知過點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線的方程為B.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為C.當(dāng)面積最小時(shí)，其外接圓的方程為D.點(diǎn)在的外接圓內(nèi)11.棱長為2的正方體中，動點(diǎn)滿足：，其中，則以下說法中正確的是（）A.若，則平面B.若，則C.若，則的最小值為D.若，則三棱錐的體積為定值三、填空題：本題共3小題、每小題5分，共15分．12.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)值為________．13.展開式中的系數(shù)為________．14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于，兩點(diǎn)．若，則________．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文宇說明、證明過程或演算步驟.15.2025年，國慶與中秋雙節(jié)將至，九江市以一場盛大的文化盛宴——“歡樂國慶·九江GO”國慶中秋游園燈會，點(diǎn)燃了城市的節(jié)日熱情．為了解九江市民對此次活動的滿意情況，隨機(jī)調(diào)查了來游玩的200名市民，得到下表：性別對此次活動的滿意情況滿意不滿意總計(jì)女性95

男性

35100總計(jì)

200（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷：是否有的把握判斷市民的滿意情況與性別有關(guān)？（2）將樣本中對此次活動滿意的頻率作為市民對此次活動滿意的概率，從市民中隨機(jī)抽取3人，記為這3人中對此次活動滿意的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.100050.012.7063.8416.63516.設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（1）求的取值范圍；（2）若，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）求證：圓心在定直線上，并求出該直線方程．17.如圖，四棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．18.人工智能快速發(fā)展、給我們的生活帶來極大的便利．2026年某班元旦晚會上，同學(xué)們利用人工智能設(shè)置了一款有趣的答題游戲，游戲規(guī)則如下：1每位同學(xué)依次答題三道，每題答錯(cuò)得0分，答對得相應(yīng)分值；2第一題系統(tǒng)隨機(jī)出題，分值為4分；從第二題開始，后面每題根據(jù)前一答題情況給出、若前一題答對，則后一題增加難度，答對概率相對前一題減少0.1，分值加倍；若前一題答錯(cuò)，則后一題降低難度，答對概率相對前一題增加0.1，分值減半；3答題結(jié)束時(shí)，若總得分不少于8分，則參與者獲得一份獎(jiǎng)品，同學(xué)們紛紛踴躍參加游戲，已知甲同學(xué)答對第一題的概率為．（1）若①求甲同學(xué)答對第二題的概率；②記甲同學(xué)最后一題的得分為，求的分布列；（2）為增加趣味性，允許答題同學(xué)有一次場外求助機(jī)會，場外一定能答對，但下一題會增加更大難度，答對概率相對前一題減少0.2，分值仍加倍．若甲選擇求助，則選擇第幾題求助獲得獎(jiǎng)品的概率最大？19.在平面直角坐標(biāo)系中，對于兩點(diǎn)，，定義為這兩點(diǎn)的“距離”．已知定點(diǎn)，，若動點(diǎn)滿足，我們稱點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為“橢圓”，，為“焦點(diǎn)”．（1）若為圓上的動點(diǎn)，求的取值范圍；（2）探究“橢圓”的對稱性（關(guān)于，軸及原點(diǎn)對稱），并說明理由；（3）若，橢圓和“橢圓”共焦點(diǎn)且有公共點(diǎn)，求離心率最大值（用，表示）．

九江市2025-2026學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試題卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，故可得傾斜角的正切值，故可求傾斜角.【詳解】設(shè)為直線的傾斜角，而直線方程為，故，，．故選：C．2.雙曲線的焦距為是（）A. B. C.5 D.10【答案】D【解析】【分析】由雙曲線方程確定焦距即可.【詳解】由題設(shè)，則焦距為.故選：D3.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性，列式計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，由正態(tài)分布對稱性可知：．故選：D．4.已知變量與的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：245682742627287若與線性相關(guān)，且關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．據(jù)此估計(jì)，當(dāng)為9時(shí)，約為（）A.95 B.100 C.105 D.110【答案】B【解析】【分析】由題意，求出，代入回歸方程求出，進(jìn)而求出回歸方程，令，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可得，，由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，所以，解得，故回歸方程為，當(dāng)時(shí)，．故選：B．5.四面體中，若，，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，作出三棱錐的高，根據(jù)側(cè)棱相等，判斷底面中心的位置，進(jìn)而說明面面垂直，判斷結(jié)果.【詳解】如圖，過點(diǎn)作平面，垂足為，，，即為的外心．又，為的中點(diǎn)．，，平面，平面，∴平面平面．故選：B．6.2025年，江西省成功舉辦了城市足球超級聯(lián)賽（簡稱贛超）．在某場比賽開始前，主辦方安排了5名志愿者分別負(fù)責(zé)賽場3個(gè)不同入口的安保工作，要求每人只負(fù)責(zé)一個(gè)入口，每個(gè)入口至少有1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.90種 C.150種 D.240種【答案】C【解析】【分析】將5名志愿者分成三組，有和兩種分組方案，再分配計(jì)算即可.【詳解】首先，將5名志愿者分成三組，有（種），然后，將這三組志愿者分配到三個(gè)入口，有（種），利用分步乘法原理，得不同的分配方案共有（種）．故選：C．7.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，關(guān)于的一條漸近線的對稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則的離心率為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱性求出漸近線的傾斜角，再根據(jù)漸近線的斜率得，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的兩條漸近線為，，，，由對稱性，不妨設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，設(shè)的傾斜角為，則，，，則，，故選：B．8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與橢圓，斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段與橢圓交于點(diǎn)．若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用橢圓的點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系、向量線性運(yùn)算和點(diǎn)差法求解斜率，先建立與的倍數(shù)關(guān)系，再通過向量轉(zhuǎn)化將與弦中點(diǎn)斜率關(guān)聯(lián).【詳解】設(shè)，，，，其中，．則，，即，，，．設(shè)，中點(diǎn)為，由于，則，，，三點(diǎn)共線．，，兩式相減得，整理得，，．故選：A．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量的分布列如下，則（）012A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對A，由分布列的性質(zhì)求解判斷；對B，由分布列求解判斷；對C，先求出，再根據(jù)均值的性質(zhì)求解；對D，根據(jù)條件概率公式計(jì)算.【詳解】對于A，由分布列的性質(zhì)可知：，解得，故A正確；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，，，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：AD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知過點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線的方程為B.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為C.當(dāng)面積最小時(shí)，其外接圓的方程為D.點(diǎn)在的外接圓內(nèi)【答案】ABD【解析】【分析】由兩直線垂直斜率關(guān)系和點(diǎn)斜式可得A；結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率公式可得B；設(shè)出截距式方程，代入點(diǎn)，由基本不等式確定直線方程，再得到外接圓方程可得C；將點(diǎn)代入外接圓方程可得D.【詳解】對于A，，，，直線的方程為，即，A正確；對于B，設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，可得,，B正確；對于C，依題意設(shè)，過，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立．外接圓方程為，即，所以C錯(cuò)誤；對于D，的外接圓方程為，整理得（*），將點(diǎn)代入（*）左邊，得又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，點(diǎn)在的外接圓內(nèi)，D正確．故選：ABD．11.棱長為2的正方體中，動點(diǎn)滿足：，其中，則以下說法中正確的是（）A若，則平面B.若，則C.若，則的最小值為D.若，則三棱錐的體積為定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，則.對于A，由可得，再求出平面的法向量，注意到，即可證明；對于B，驗(yàn)證是否為即可；對于C，根據(jù)，可知點(diǎn)在以為球心，的球面上，根據(jù)點(diǎn)到球面上的最短距離相關(guān)知識，即可判斷；對于D，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，求出點(diǎn)到平面的距離，作為三棱錐的高，再求出底面的面積，根據(jù)三棱錐的體積公式，即可得解.【詳解】可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.對于A：由，得，若，則有，得.，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，取，則，即.又因?yàn)?，故，又因?yàn)槠矫?，故平面，故A正確；對于B；，若，則，則，則，故B正確；對于C：，，，在以為球心，的球面上，的最小值為，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)椋?，故，又因?yàn)?，?，設(shè)平面的法向量為，則有，即，取，則，即，又因?yàn)?，故點(diǎn)到平面的距離，易知為邊長為的等邊三角形，，則三棱錐的體積，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題、每小題5分，共15分．12.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)值為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合直線垂直列式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，則，解得．故答案為：.13.展開式中的系數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，求出指定項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由二項(xiàng)式性質(zhì)可知的展開式的第項(xiàng)為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為．故答案為：.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于，兩點(diǎn)．若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式可得,進(jìn)而聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求解.【詳解】設(shè)，，,，，，．設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去整理得，，，．又，解得，．故答案為：2四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文宇說明、證明過程或演算步驟.15.2025年，國慶與中秋雙節(jié)將至，九江市以一場盛大的文化盛宴——“歡樂國慶·九江GO”國慶中秋游園燈會，點(diǎn)燃了城市的節(jié)日熱情．為了解九江市民對此次活動的滿意情況，隨機(jī)調(diào)查了來游玩的200名市民，得到下表：性別對此次活動的滿意情況滿意不滿意總計(jì)女性95

男性

35100總計(jì)

200（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷：是否有的把握判斷市民的滿意情況與性別有關(guān)？（2）將樣本中對此次活動滿意的頻率作為市民對此次活動滿意的概率，從市民中隨機(jī)抽取3人，記為這3人中對此次活動滿意的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.100.050.012.7063.8416.635【答案】（1）表格見解析，有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意可補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，計(jì)算卡方即可得解；（2）得出的所有取值因?yàn)?，即可得其期?【小問1詳解】列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：性別對此次活動的滿意度滿意不滿意總計(jì)女性955100男性6535100總計(jì)16040200由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，∴有的把握判斷市民的滿意情況與性別有關(guān)．【小問2詳解】由題意，得的可能取值為0，1，2，3，滿意的概率，，16.設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（1）求的取值范圍；（2）若，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）求證：圓心在定直線上，并求出該直線方程．【答案】（1）（2）（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）分析可知函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外心的坐標(biāo)，可求出圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)圓的一般方程為，分別令、可得出、，可得出，設(shè)，求得，，代入等式即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，該函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，所以該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得且，故的取值范圍是．【小問2詳解】拋物線與軸交點(diǎn)是，當(dāng)時(shí)，由，得或，即拋物線與軸交點(diǎn)是、．因?yàn)椋€段的中點(diǎn)為，所以線段的中垂線方程為，即，同理可得線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，則圓心為，圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問3詳解】設(shè)圓的一般方程為，令，得，此方程有一根為，即，令，得，與是同一個(gè)方程，即，所以，設(shè)，則，，即，，所以，即，即圓心在定直線上．17.如圖，四棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）連交于點(diǎn)，計(jì)算可得，即可證得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證得結(jié)果；（2）由幾何計(jì)算可證得，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量計(jì)算即可求平面與平面夾角余弦值.【小問1詳解】連交于點(diǎn)，連，，，在中，，，，，又平面，平面，平面，【小問2詳解】平面，，平面，，，連接，，，，又，為等邊三角形，為中點(diǎn)，，即．故以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，由，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，得，即，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，得，，即，．即平面與平面夾角的余弦值為．18.人工智能快速發(fā)展、給我們的生活帶來極大的便利．2026年某班元旦晚會上，同學(xué)們利用人工智能設(shè)置了一款有趣的答題游戲，游戲規(guī)則如下：1每位同學(xué)依次答題三道，每題答錯(cuò)得0分，答對得相應(yīng)分值；2第一題系統(tǒng)隨機(jī)出題，分值為4分；從第二題開始，后面每題根據(jù)前一答題情況給出、若前一題答對，則后一題增加難度，答對概率相對前一題減少0.1，分值加倍；若前一題答錯(cuò)，則后一題降低難度，答對概率相對前一題增加0.1，分值減半；3答題結(jié)束時(shí)，若總得分不少于8分，則參與者獲得一份獎(jiǎng)品，同學(xué)們紛紛踴躍參加游戲，已知甲同學(xué)答對第一題的概率為．（1）若①求甲同學(xué)答對第二題的概率；②記甲同學(xué)最后一題的得分為，求的分布列；（2）為增加趣味性，允許答題同學(xué)有一次場外求助機(jī)會，場外一定能答對，但下一題會增加更大的難度，答對概率相對前一題減少0.2，分值仍加倍．若甲選擇求助，則選擇第幾題求助獲得獎(jiǎng)品的概率最大？【答案】（1）①05；②答案見解析（2）第1題【解析】【分析】（1）①利用全概率公式計(jì)算第二題的答對概率，②根據(jù)前兩題的結(jié)果推導(dǎo)最后一題得分的的可能取值為、、、，計(jì)算可求得分布列；（2）分別計(jì)算在第1、2、3題求助時(shí)獲獎(jiǎng)的概率，通過比較概率大小確定最優(yōu)求助策略.【小問1詳解】設(shè)甲同學(xué)答對第題事件，①,②若甲同學(xué)最后一題答錯(cuò)，則有4種情況，，，，此時(shí)，．若甲同學(xué)最后一題答對，則有4種情況，，，，，，．綜上可知：，分布列如下：014160.50.140.30.06【小問2詳解】若甲第一題進(jìn)行場外求助，設(shè)獲獎(jiǎng)的概率為，則．若甲第二題進(jìn)行場外求助，獲獎(jiǎng)的概率為，則，若甲第三題進(jìn)行場外求助，設(shè)獲獎(jiǎng)的概率為，則，令，該二次函數(shù)開口向下，對稱軸為.因?yàn)?，函?shù)的最小值在端點(diǎn)處取到，即，即.，故選擇第1題求助獲獎(jiǎng)概率最大．19.