專題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問(wèn)題(典型例題+題型歸類練)目錄角度1：在型求切線方程角度2：過(guò)型求切線方程角度3：已知切線條數(shù)求參數(shù)角度4：公切線問(wèn)題一、必備秘籍1、切線的斜率：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.2、曲線的切線問(wèn)題（基礎(chǔ)題）（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.（2）過(guò)型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過(guò)點(diǎn)（無(wú)論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.3、已知，過(guò)點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問(wèn)題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；4、已知和存在（）條公切線問(wèn)題第一步設(shè)的切點(diǎn)設(shè)的切點(diǎn)求公切線的斜率寫出并整理切線整理得：整理得：聯(lián)立已知條件消去得到關(guān)于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；消去得到關(guān)于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；二、典型例題角度1：在型求切線方程例題1．（2022·福建·莆田一中高二期末）曲線在處的切線方程為_______.解題思路點(diǎn)評(píng)第1步：根據(jù)題意求曲線在處的切線方程，即切點(diǎn)為求切線問(wèn)題，“在”字標(biāo)志著該點(diǎn)即為切點(diǎn)，有了切點(diǎn)，只需求斜率第2步：求斜率：；即由，有，所以利用導(dǎo)函數(shù)求斜率，公式中，此時(shí)的只能代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第3步：求切線方程：，整理得.利用點(diǎn)斜式求方程：例題2．（2022·貴州銅仁·高二期末（理））在處的切線交軸于，則切線方程為_____________．解題思路點(diǎn)評(píng)本題中函數(shù)含參數(shù)，題意中“在”字標(biāo)志切點(diǎn)為：含參數(shù)問(wèn)題，將參數(shù)代入運(yùn)算，后面根據(jù)已知條件求出參數(shù)；第1步：根據(jù)題意求曲線在處的切線方程，即切點(diǎn)為求切線問(wèn)題，“在”字標(biāo)志著該點(diǎn)即為切點(diǎn)；第2步：求斜率：；即由，有利用導(dǎo)函數(shù)求斜率，公式中，此時(shí)的只能代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第3步：求切線方程：.利用點(diǎn)斜式求方程：第4步：根據(jù)切線交軸于，代入切線方程求：，得，回代入切線方程中，得到切線方程為：角度2：過(guò)型求切線方程例題3．（2022·湖南衡陽(yáng)·高二期末）寫出過(guò)點(diǎn)與曲線相切的一條直線的方程：_____________.解題思路點(diǎn)評(píng)本題中求過(guò)點(diǎn)與曲線相切的一條直線的方程，統(tǒng)一設(shè)切點(diǎn)為：切線問(wèn)題，“過(guò)”字是另一種標(biāo)志，無(wú)論該點(diǎn)是否在曲線上，都統(tǒng)一設(shè)出切點(diǎn)為；而將過(guò)的那點(diǎn)“認(rèn)為”是非切點(diǎn).第1步：根據(jù)題意設(shè)切點(diǎn)為；求導(dǎo)：求切線問(wèn)題，“過(guò)”字也是一種標(biāo)志，要統(tǒng)一設(shè)出切點(diǎn)；第2步：求斜率：；即由，有利用導(dǎo)函數(shù)求斜率，公式中，此時(shí)的只能代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第3步：求切線方程：.利用點(diǎn)斜式求方程：第4步：根據(jù)題意，切線過(guò)點(diǎn)，代入切線中得，解得或根據(jù)題意，求切點(diǎn)，本題中求出或，說(shuō)明切點(diǎn)有兩個(gè)第5步：求切線方程：當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為.將或代入切線方程，求切線；“過(guò)”字標(biāo)志的切線問(wèn)題一般能求出多條切線例題4．（2022·新疆·烏魯木齊101中學(xué)高二期中（文））過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線方程為_____.角度3：已知切線條數(shù)求參數(shù)例題5．（2022·湖南郴州·高二期末）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．解題思路本題屬于已知切線有幾條問(wèn)題，注意到標(biāo)志詞“過(guò)”說(shuō)明，本題需先設(shè)出切點(diǎn),再求出切線，利用切線過(guò)點(diǎn)，代入切線中，，由題意知切線有2條；將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化：說(shuō)明兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；通過(guò)研究，畫出的圖象，在圖象中尋找使得；有兩個(gè)交點(diǎn)的范圍，從而求解.第1步：設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)：第2步：求切線：第3步：將代入切線中：第4步：等價(jià)轉(zhuǎn)化：有兩個(gè)根，等價(jià)于：兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)第5步：研究畫出圖象：，則，令則，令則，當(dāng)；畫出圖象:（注意:本題中畫圖是重點(diǎn)，如果沒(méi)有考慮：當(dāng)；畫出草圖可能就錯(cuò)誤了，這樣的取值范圍就錯(cuò)誤了）第6步：在圖象中尋找使得；有兩個(gè)交點(diǎn)的范圍：例題6．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．解題思路本題屬于已知切線有幾條問(wèn)題，注意到標(biāo)志詞“過(guò)”說(shuō)明，本題需先設(shè)出切點(diǎn),再求出切線，利用切線過(guò)點(diǎn)，代入切線中，，由題意知切線有3條；將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化：說(shuō)明該方程有三個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)：，說(shuō)明函數(shù)與軸有3個(gè)交點(diǎn)，接下去研究，令，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,在上遞減,在上遞增,所以在時(shí)取得極大值,在時(shí)取得極小值,由三次函數(shù)圖象知（極大值，且極小值），從而：得.第1步：設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)：第2步：求切線：第3步：將代入切線中：第4步：構(gòu)造函數(shù)：等價(jià)于函數(shù)與軸有3個(gè)交點(diǎn)第5步：研究令，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,在上遞減,在上遞增,所以在時(shí)取得極大值,在時(shí)取得極小值,由三次函數(shù)圖象知，解得角度4：公切線問(wèn)題例題7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若曲線與曲線：=有公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．+ B．- C．+ D．解題思路本題屬于，兩條曲線與曲線=有公切線問(wèn)題，解題時(shí)，分別求出每條曲線的切線，對(duì)比兩條曲線的斜率，縱截距：設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為，則切線斜率為，在曲線上的切點(diǎn)為，切線斜率為，得到第一個(gè)等式：；寫出兩條曲線的切線方程分別為、，化簡(jiǎn)為斜截式：、，對(duì)比縱截距相等，得到第二個(gè)等式：；聯(lián)立兩個(gè)條件得到：，代入消去；再分離變量得：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：和有交點(diǎn)；問(wèn)題轉(zhuǎn)為研究函數(shù)，畫出的圖象，，令，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，畫出圖象：最后在尋找與圖象有交點(diǎn)的情況，求出例題8．（2022·福建省福州第八中學(xué)高二期末）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.三、題型歸類練1．（2022·江西·金溪一中高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·福建廈門·高二期末）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江省長(zhǎng)興中學(xué)高二期末）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·益陽(yáng)平高學(xué)校高二期末）若過(guò)點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B． C． D．6．（2022·山東泰安·高二期中）過(guò)曲線外一點(diǎn)作的切線恰有兩條，則（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北·宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．且8．（多選）（2022·河北石家莊·高二期末）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值可能是（

）A．1.2 B．4 C．5.6 D．9．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B． C． D．11．（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高二期末（文））已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______．12．（2022·河北張家口·高二期末）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為___________.13．（2022·福建三明·高二期末）已知曲線在點(diǎn)處的切線為l，則直線l的方程為___．14．（2022·廣東茂名·高二期中）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線l的方程為__________.15．（2022·北京·匯文中學(xué)高二期中）過(guò)點(diǎn)的切線方程是__________.16．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函數(shù)f（x）=x3－3x，則過(guò)點(diǎn)（1，－2）的切線方程為__________．17．（2022·四川成都·高二期中（文））過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線相切，則直線l的斜率為___________.18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知（