2026屆江蘇省蘇州市常熟中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.2．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.3．一質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，每秒的速度為秒后質(zhì)點(diǎn)所處的位置為（）A. B.C. D.4．已知命題“若，則”，命題“若，則”，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.6．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.7．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面MBD的距離是（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.9．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.10．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C.當(dāng)時(shí)，取得極大值 D.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)11．已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.12．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱(chēng)這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，則歐拉線的方程為_(kāi)_____14．在2021件產(chǎn)品中有10件次品，任意抽取3件，則抽到次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值是______.15．如圖所示的是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，，則在原來(lái)的正方體中，直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.16．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與直線交于，兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)及的值18．（12分）已知拋物線C：焦點(diǎn)F的橫坐標(biāo)等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，判斷原點(diǎn)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時(shí)，y＝f(x)有極值（1）求a，b，c的值;（2）求y＝f(x)在區(qū)間[－3，1]上最大值和最小值20．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若在處取得極值，求a的值；（2）若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍21．（12分）如圖1，已知矩形ABCD，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將ABCD卷成一個(gè)圓柱，使得BC與AD重合（如圖2），MNGH為圓柱的軸截面，且平面平面MNGH，NG與曲線DE交于點(diǎn)P（1）證明：平面平面MNGH；（2）判斷平面PAE與平面PDH夾角與的大小，并說(shuō)明理由22．（10分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在棱，上運(yùn)動(dòng)，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當(dāng)，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先利用直線的斜率判定一條漸近線與直線垂直，求出，再利用雙曲線的離心率公式和進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，即，則雙曲線的離心率.故選：A.卷II（非選擇題2、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A3、A【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】2秒后質(zhì)點(diǎn)所處的位置為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，考查了基本知識(shí)掌握的情況以及學(xué)生的綜合素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假，利用特殊值法可判斷命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假可判斷出各選項(xiàng)中命題的真假.【詳解】對(duì)于命題，由于函數(shù)為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，命題為真命題；對(duì)于命題，若，取，，則，命題為假命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A6、A【解析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的極值，推出最大值，然后轉(zhuǎn)化列出不等式組求解的范圍即可【詳解】，或，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴f(x)有極大值，要使f(x)在上有最大值，則極大值3即為該最大值，則，又或，∴，綜上，.故選：A.7、A【解析】等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【詳解】連接，，則，，由勾股定理得：，，取BD中點(diǎn)E，連接ME，由三線合一得：ME⊥BD，則，故，設(shè)到平面MBD的距離是，則，解得：，故點(diǎn)到平面MBD的距離是.故選：A8、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】這是中點(diǎn)弦問(wèn)題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡(jiǎn)得：，，，；故選：B.10、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)圖象知：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D正確；故當(dāng)時(shí)，取得極小值，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，不是取得最小值，選項(xiàng)B不正確；故選：D.11、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)由題意，得，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D12、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定信息，利用三角形重心坐標(biāo)公式求出的重心，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性求出的外心，然后求出歐拉線的方程作答.【詳解】因的頂點(diǎn)，，，則的重心，顯然的外心在線段AC中垂線上，設(shè)，由得：，解得：，即點(diǎn)，直線，化簡(jiǎn)整理得：，所以歐拉線的方程為.故答案：14、【解析】設(shè)抽到的次品的個(gè)數(shù)為，則，求出對(duì)應(yīng)的概率即得解.【詳解】解：設(shè)抽到的次品的個(gè)數(shù)為，則，所以所以抽到次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值是故答案為：15、【解析】將展開(kāi)圖還原成正方體，通過(guò)建系利用空間向量的知識(shí)求解.【詳解】將展開(kāi)圖還原成正方體，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，.則.設(shè)平面的法向量為，由令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：16、【解析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為，即直線的普通方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，即，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，即曲線的直角坐標(biāo)方程【小問(wèn)2詳解】解：把代入，整理得，所以，設(shè)，，；故，代入，解得，故中點(diǎn)坐標(biāo)為；把直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）代入，設(shè)和對(duì)應(yīng)的參數(shù)為和，得到，整理得，所以18、（1）；（2）原點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上，詳見(jiàn)解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進(jìn)而可求拋物線的焦點(diǎn)，即求；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題可設(shè)直線l的方程為，由，得，設(shè)，則，又，故，∴，∴，即，故原點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上.19、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組，即可得解；（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，再和端點(diǎn)值比較即可得解.【詳解】（1）由題意，，因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，所以，，又當(dāng)時(shí)，y＝f(x)有極值，所以，所以；（2）由（1）得，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，，，，所以在[－3,1]上的最大值為，最小值為.20、（1）（2）【解析】(1)對(duì)求導(dǎo),再根據(jù)題意有,據(jù)此列式求出;(2)由題可知對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,因此求出在區(qū)間上的最小值即可得出結(jié)論.【詳解】(1),則,因?yàn)樵谔幦〉脴O值,所以,解得,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),在處取得極值;(2)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以對(duì)恒成立,則對(duì)恒成立,∵當(dāng)時(shí),,∴,即a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性與極值求參,需要學(xué)生對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)牢固掌握且靈活運(yùn)用.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）平面PAE與平面PDH夾角大于，理由見(jiàn)解析【解析】（1）由面面垂直證明，然后得證平面MNGH后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求出二面角的余弦可得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】如圖O，為圓柱上，下底面的中心，可知，，平面平面MNGH，所以是二面角的平面角，平面平面MNGH，所以，即，，平面MNGH，所以平面MNGH，因?yàn)槠矫鍼AE，所以平面平面MNGH；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以得，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，,所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則可知，，，，，則，，，，設(shè)平面AEP的法向量為，則，令，得，設(shè)平面DHP的法向量為，則，即令，得，，設(shè)平面PAE與平面PDH夾角為，則，，因?yàn)?，即，所以平面PAE與平面PDH夾角大于22、