二次函數(shù)y=x2

和y=-x2的圖象與性質(zhì)!

學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)I1.

經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=x2

和y=-x2圖象的畫法和性質(zhì)的過程，

獲得利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。2.能用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象，并能根據(jù)圖

象認(rèn)識(shí)和理解二次函數(shù)y=x2和y=-x2的性質(zhì)，說出二次函數(shù)

圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。3.建立二次函數(shù)表達(dá)式與圖象之間的聯(lián)系，理解表達(dá)式中的

系數(shù)對(duì)圖象的影響。一般地，若兩個(gè)變量x,y

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)的形式，則

稱y是x的二次函數(shù).復(fù)習(xí)回顧1.二次函數(shù)的定義：圖象k>0k<0b>0b<02.你還記得一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象嗎?(1)一次函數(shù)的圖象是一條直線.

(2)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線

●x2

中

叱

么

亦

業(yè)

工

變

化

的

規(guī)畫函數(shù)圖形的主要步驟是什么?

質(zhì)嗎?畫二次函數(shù)y=x2

的圖象.

知識(shí)點(diǎn)一

二次函數(shù)y=x2,y=-x2

的圖象的畫法探索新知①列表；

②描點(diǎn)；

③連線.10Xy=x22.描點(diǎn)

.3.連線

.-3-2

-1

0

1

2

39

4

1

0

1

49注意：①在連接時(shí)必須用光滑的曲線；②在連接時(shí)必須依次連接.62y=x24x1.列表：

在y=x2

中，自變量x可以是任意實(shí)數(shù).例

1

畫二次函數(shù)y=x2的圖象.

舉一反三訓(xùn)練

1-1

下列圖象中，是二次函數(shù)y=x2

的圖象的是(

)CDBA1-2

畫二次函數(shù)

y=-x2的圖象

.(1)你能描述圖象的形狀嗎?與同伴進(jìn)行交流.二次函數(shù)y=x2

的圖象是一條開口向上的曲線.(2)圖象與x

軸有交點(diǎn)嗎?如果有，交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?有交點(diǎn)，交點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)

.議一議(

3

)

當(dāng)x<0

時(shí)，隨著x的值增大，y

的值如何變化?當(dāng)x>0時(shí)呢?當(dāng)x<0時(shí)，y

隨著x的增大而減小.當(dāng)x>0

時(shí)，y

隨著x的增大而增大.(

4

)

當(dāng)x取什么值時(shí)，

y

的值最小?

最小值是什么?你是如何知道的?當(dāng)x=0時(shí)

，y有最小值0.議一議(5)圖象是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是，它的對(duì)稱軸是什么?請(qǐng)你找出幾對(duì)

對(duì)稱點(diǎn)，并與同伴交流.是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是y軸(直線x=0);如(1,1)和(-1,1)等.議一議二次函數(shù)y=x2的圖象是一條拋物線，開口方向：

向上對(duì)稱軸：y

軸頂點(diǎn)：對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)，它是圖象的最低點(diǎn).坐標(biāo)為

(0,0)歸納小結(jié)二次函數(shù)y=—x2的圖象是什么形狀?先想y一想，然后畫出它的圖象.3

-2

2①列表；②描點(diǎn)；③連線

.

-1

X二次函數(shù)y=

x2的圖象也是一條拋物線，它的

-

y=-x2開口向下，關(guān)于y軸對(duì)稱。對(duì)稱軸與拋物線的

—5—交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，它是圖象的最高點(diǎn).—10—-32做一做y=x2

和y=—x2

的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.x3-3

-2

0

x

-8-9—10——10—它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關(guān)系?1085-知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)y=x2,

y=-x2

的圖象與性質(zhì)重點(diǎn)y=x2y=—x2圖象y40x位置開口方

向開口向上，在x軸上方開口向下，在x軸下方對(duì)稱性關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸方程是直線x=0頂點(diǎn)最值頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)(0,0)當(dāng)x=0時(shí)，y最小值=0當(dāng)x=0時(shí)，y最大值=0增減性在對(duì)稱軸左側(cè)遞減在對(duì)稱軸右側(cè)遞增在對(duì)稱軸左側(cè)遞增在對(duì)稱軸右側(cè)遞減解題策略

在解決與二次函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的題目時(shí)，可先畫出函數(shù)的大致圖象，再結(jié)合圖象進(jìn)行分析說明.草圖分析圖象的開口向上圖象的對(duì)稱軸為y軸圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0)當(dāng)x<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小；當(dāng)x>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大(D)A.圖象的開口向上B.圖象的對(duì)稱軸為y軸C.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0)

D.y的值隨x值的增大而減小例2

對(duì)于二次函數(shù)y=x2,下列說法不正確的是

舉一反三訓(xùn)練2-1

關(guān)于二次函數(shù)y=x2

與y=-x2

的圖象，下列說法中

不正確的是(

)A.頂點(diǎn)相同B.對(duì)稱軸相同C.形狀相同D.最低點(diǎn)相同2-2如果點(diǎn)A(-3,m)在二次函數(shù)y=x2的圖象上，那么

m

的值為

,點(diǎn)A關(guān)于

x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是

,點(diǎn)

A

關(guān)于

y

軸的對(duì)稱點(diǎn)

C

的坐標(biāo)是

,B,C

兩點(diǎn)中在

拋物線

y=x2

上的點(diǎn)是2-3若二次函數(shù)y=-x2

的圖象經(jīng)過點(diǎn)(a,-4.5)

和(-a,

b),

則

b=

2-4

已知二次函數(shù)y=-x2,當(dāng)

-1≤x≤2

時(shí)，函數(shù)y

的最

小值為

2-5[整體思想]如圖，圓的半徑

為

2

,C?是

函

數(shù)

y=x2

的

圖

象

，C?

是函

數(shù)

y=-x2

的

圖象，則陰影部分的面積【解析】觀察圖形可知，把x軸

上

邊

的

陰影

部分

對(duì)

稱到下邊就得到一個(gè)半圓陰影，則陰影部分的面積S=是和

B(-2,n)在二次函數(shù)y=-x2

的圖象上，試比較m與

n

的大小關(guān)系.解法1(利用增減性比較):因?yàn)?2<-1<0,所以點(diǎn)A,B都在y=-x2的圖象的對(duì)稱軸y

軸的左側(cè).因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，y

的值隨x值的增大而增大，且-1>-2,所以m>n.提

升

訓(xùn)

練例3

★☆☆[天津中考]如果點(diǎn)A(-1,m)解法2(直接代入求值比較):因?yàn)辄c(diǎn)A(-1,m),B(-2,n)在

二

次

函

數(shù)

y=-x2的圖象上，所以m=-(-1)2=-1,n=-

(-2)2=-4,所以

m>n.解法3(畫圖象比較):畫出

y=-x2

的

草圖如圖所示，在圖上標(biāo)出A,B

兩點(diǎn)，由圖可知，m>n.解法4(利用距離比較):因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線x=0,且開口向下，所以拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就越小.又因?yàn)辄c(diǎn)B(-2,n)

到對(duì)稱軸

的距離比點(diǎn)A(-1,m)到對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)，所以n<m,即

m>n.解題策略比較函數(shù)值的大小，一般可利用下列四種方法：(1)利用函數(shù)的增減性比較；(2)先求出函數(shù)值再比較；(3)先畫出函數(shù)的大致圖象再比

較；(4)利用點(diǎn)與對(duì)稱軸之間的距離進(jìn)行比較.例4

如圖，平行于x

軸的直線與拋物線

y=x2

相交于A,B

兩點(diǎn)，且點(diǎn)

A的

橫坐標(biāo)為4,若在直線AB

下方的拋物線

上存在點(diǎn)C,使得△ABC

的面積為28,求點(diǎn)C的

坐

標(biāo)

.

?思路分析對(duì)稱性x?=4點(diǎn)C的坐標(biāo)x?=-4→AB=8SAABc=2A求h解：因?yàn)槠叫杏趚

軸的直線與拋物線y=x2

相交于A,B兩點(diǎn)，所以點(diǎn)A,B關(guān)于y

軸對(duì)稱.因?yàn)辄c(diǎn)A

的橫坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為42=16,點(diǎn)

B的橫坐標(biāo)為-4,所以AB=4-(-4)=8.設(shè)點(diǎn)

C

的坐標(biāo)為(m,n),則n=m2,0≤n<16.因?yàn)椤鰽BC的面積為所以當(dāng)

時(shí)，△ABC的面積為28,此時(shí)n=9,所以m2=9,解得m

=±3,所以點(diǎn)C

的坐標(biāo)為(3,9)或(-3,9).四知識(shí)點(diǎn)睛