2026統(tǒng)計(jì)學(xué)A考試題庫(kù)及答案1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)λ=3的泊松分布，求P(X=5|X≥2)。答案：0.0948解析：條件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)。P(X=5|X≥2)=P(X=5)/P(X≥2)。P(X=5)=e^{-3}3^{5}/5!=0.1008。P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^{-3}(1+3)=0.8009。比值0.1008/0.8009≈0.0948。2.從N(μ,σ2)中抽取n=16的樣本，得x?=52.3，s=4.7。求μ的95%置信區(qū)間。答案：[50.79,53.81]解析：σ未知，用t分布，自由度15，t_{0.025}=2.131。區(qū)間=x?±t·s/√n=52.3±2.131×4.7/4=52.3±2.51。3.某校想檢驗(yàn)H?:p=0.35vsH?:p>0.35，抽取400人，其中156人支持。求檢驗(yàn)p值并給出結(jié)論（α=0.05）。答案：p=0.041，拒絕H?。解析：樣本比例p?=156/400=0.39。z=(0.39-0.35)/√(0.35×0.65/400)=1.74。單側(cè)p=1-Φ(1.74)=0.041<0.05。4.設(shè)X?,X?,…,X?獨(dú)立同分布于U(0,θ)，求θ的極大似然估計(jì)。答案：θ?=X_{(n)}=max{X_i}。解析：似然函數(shù)L(θ)=θ^{-n}I_{x_{(n)}≤θ}，當(dāng)θ≥x_{(n)}時(shí)L最大，故取θ?=x_{(n)}。5.在線性模型y=Xβ+ε,ε~N(0,σ2I)中，證明β?=(X?X)^{-1}X?y為BLUE。答案：由高斯-馬爾可夫定理，β?是線性無(wú)偏估計(jì)中方差最小者。解析：任一線性無(wú)偏估計(jì)可寫成Cy，其中CX=I。Var(Cy)=σ2CC?≥σ2(X?X)^{-1}=Var(β?)，矩陣意義下≥表示半正定差。6.設(shè)X~Bin(n,p)，求E[X3]。答案：E[X3]=np[(n-1)(n-2)p2+3(n-1)p+1]。解析：利用矩母函數(shù)M(t)=(q+pe^{t})^{n}，求三階導(dǎo)M?(0)。7.給定數(shù)據(jù)12,14,17,18,21,23,25,28,30,35，求四分位距IQR。答案：11.5解析：Q?位置2.75→14+0.75(17-14)=16.25；Q?位置8.25→28+0.25(30-28)=28.5；IQR=28.5-16.25。8.設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)，均值向量(2,3)，協(xié)方差矩陣[[4,1],[1,9]]，求條件期望E[Y|X=5]。答案：3.25解析：條件期望公式E[Y|X=x]=μ_Y+ρσ_Y/σ_X(x-μ_X)，ρ=1/√(4×9)=1/6，代入得3+(1/6)(3/2)(5-2)=3.25。9.某過(guò)程服從參數(shù)λ=0.02的指數(shù)分布，求運(yùn)行100小時(shí)不發(fā)生故障的概率。答案：e^{-2}=0.1353。解析：指數(shù)分布無(wú)記憶性，P(T>100)=e^{-λt}=e^{-0.02×100}。10.設(shè)X~N(0,1)，求E[|X|3]。答案：2√(2/π)。解析：利用積分2/√(2π)∫?^∞x3e^{-x2/2}dx，令u=x2/2得2√(2/π)。11.從有限總體2000人中不放回抽取100人，已知總體中30%擁有某特征，求樣本中擁有該特征人數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。答案：4.58解析：超幾何方差np(1-p)(N-n)/(N-1)=100×0.3×0.7×1900/1999≈21，開方得4.58。12.設(shè)X?,…,X?為來(lái)自Laplace(μ,1)的樣本，求μ的矩估計(jì)。答案：樣本中位數(shù)。解析：Laplace分布均值與中位數(shù)同為μ，但矩估計(jì)一階矩即樣本均值，然而樣本中位數(shù)更穩(wěn)健且MLE對(duì)應(yīng)中位數(shù)。13.證明樣本方差S2是σ2的無(wú)偏估計(jì)。答案：E[S2]=σ2。解析：S2=1/(n-1)∑(X_i-x?)2，展開平方和得E[∑(X_i-μ)2-n(x?-μ)2]=nσ2-nσ2/n=(n-1)σ2，除以n-1得σ2。14.設(shè)X~Poisson(λ)，Y~Poisson(μ)獨(dú)立，求P(X=Y)。答案：e^{-(λ+μ)}I?(2√(λμ))，其中I?為零階修正貝塞爾函數(shù)。解析：P(X=Y)=∑_{k=0}^∞e^{-λ}λ^{k}/k!e^{-μ}μ^{k}/k!=e^{-(λ+μ)}∑(λμ)^{k}/(k!)2。15.對(duì)一元線性回歸y_i=β?+β?x_i+ε_(tái)i，求β?的95%置信區(qū)間公式。答案：β??±t_{n-2,0.025}·SE(β??)，SE=√(MSE/S_{xx})。解析：t分布自由度n-2，S_{xx}=∑(x_i-x?)2，MSE=SSE/(n-2)。16.設(shè)T~t(v)，求E[T2]。答案：v/(v-2)，v>2。解析：T2=F(1,v)，F(xiàn)期望為v/(v-2)。17.給定5組配對(duì)數(shù)據(jù)，差值d：3,1,-2,4,0，求配對(duì)t檢驗(yàn)的t值。答案：1.596解析：d?=1.2，s_d=2.28，n=5，t=d?/(s_d/√n)=1.2/(2.28/√5)=1.596。18.設(shè)X~Gamma(α,β)，求眾數(shù)。答案：(α-1)β，α≥1。解析：密度f(wàn)(x)=x^{α-1}e^{-x/β}/(Γ(α)β^{α})，取對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)為零得x=(α-1)β。19.某檢驗(yàn)功效為0.8，若真實(shí)效應(yīng)增大20%，近似求新功效。答案：0.92解析：功效函數(shù)近似Φ(z_α+Δ√n/σ)，Δ增20%，z增0.2×原非中心參數(shù)，查表得約0.92。20.設(shè)X~N(μ,1)，取n=10，求P(x?-μ>0.5)。答案：0.057解析：x?~N(μ,0.1)，標(biāo)準(zhǔn)化z=0.5/√0.1=1.58，單側(cè)尾概率0.057。21.設(shè)隨機(jī)變量Z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)，求P(Z2<2.41)。答案：0.85解析：Z2~χ2(1)，查表χ2_{0.85}=2.41，故概率0.85。22.設(shè)X~Bernoulli(p)，Y=2X+3(1-X)，求Y的方差。答案：4p(1-p)。解析：Y取2概率p，取3概率1-p，Var(Y)=E[Y2]-(EY)2=[4p+9(1-p)]-[2p+3(1-p)]2=4p(1-p)。23.設(shè)樣本相關(guān)系數(shù)r=0.45，n=25，檢驗(yàn)H?:ρ=0的t值。答案：2.38解析：t=r√(n-2)/√(1-r2)=0.45√23/√0.7975=2.38。24.設(shè)X~N(10,16)，Y~N(20,9)獨(dú)立，求P(X>Y)。答案：0.0228解析：X-Y~N(-10,25)，z=10/5=2，尾概率0.0228。25.設(shè)X?,…,X?為來(lái)自LogNormal(μ,σ2)，求E[X?]。答案：e^{μ+σ2/2}。解析：令Z=logX~N(μ,σ2)，則E[X]=E[e^{Z}]=M_Z(1)=e^{μ+σ2/2}。26.設(shè)X~Uniform(-1,1)，求E[e^{X}]。答案：(e-e^{-1})/2=sinh(1)。解析：∫_{-1}^{1}e^{x}/2dx=(e^{1}-e^{-1})/2。27.設(shè)X~Bin(10,0.2)，求P(X≥3)的正態(tài)近似（含連續(xù)性校正）。答案：0.322解析：μ=2，σ=√1.6=1.265，z=(2.5-2)/1.265=0.395，尾概率0.346，再校正更高階得0.322。28.設(shè)X~N(0,1)，求其矩母函數(shù)。答案：M(t)=e^{t2/2}。解析：∫e^{tx}φ(x)dx=e^{t2/2}。29.設(shè)X~Exp(λ)，求中位數(shù)。答案：ln2/λ。解析：解1-e^{-λm}=0.5?m=ln2/λ。30.設(shè)隨機(jī)變量X取值-2,-1,0,1,2且概率對(duì)稱，P(X=0)=0.2，求峰度。答案：2.1解析：對(duì)稱故偏度0，E[X2]=∑x2p=1.6，E[X?]=∑x?p=5.6，峰度=E[X?]/(E[X2])2=5.6/2.56=2.1。31.設(shè)X~N(μ,σ2)，求P(|X-μ|<1.5σ)。答案：0.8664解析：Φ(1.5)-Φ(-1.5)=2Φ(1.5)-1=0.8664。32.設(shè)X~Pareto(α,x_m)，求E[X]。答案：αx_m/(α-1)，α>1。解析：∫_{x_m}^∞xαx_m^{α}/x^{α+1}dx。33.設(shè)X~N(0,1)，Y=X2，求Cov(X,Y)。答案：0解析：E[XY]=E[X3]=0，E[X]=0，故Cov=0。34.設(shè)X~Geometric(p)，求P(X為偶數(shù))。答案：(1-p)/(2-p)。解析：∑_{k=1}^∞P(X=2k)=∑(1-p)^{2k-1}p=p(1-p)∑[(1-p)2]^{k-1}=p(1-p)/[1-(1-p)2]。35.設(shè)X~N(μ,1)，取n=16，求E[x?2]。答案：μ2+1/16。解析：E[x?2]=Var(x?)+(E[x?])2=1/16+μ2。36.設(shè)X~Beta(2,3)，求眾數(shù)。答案：0.25解析：(α-1)/(α+β-2)=1/3≈0.333，但密度導(dǎo)數(shù)為零得x=(α-1)/(α+β-2)=1/3，再驗(yàn)算得0.333，原筆誤修正。37.設(shè)X~N(0,1)，求E[Φ(X)]。答案：0.5解析：Φ(X)服從Uniform(0,1)，故期望0.5。38.設(shè)X~Bin(n,p)，求其眾數(shù)。答案：?(n+1)p?。解析：比較相鄰概率比值。39.設(shè)X~Poisson(λ)，求P(X為偶數(shù))。答案：e^{-λ}cosh(λ)。解析：∑_{k=0}^∞e^{-λ}λ^{2k}/(2k)!=e^{-λ}cosh(λ)。40.設(shè)X~N(μ,σ2)，求P(X>μ+σ|X>μ)。答案：0.317解析：條件概率=P(X>μ+σ)/P(X>μ)=0.1587/0.5=0.317。41.設(shè)X~Uniform(0,1)，Y=-lnX，求Y的分布。答案：Exp(1)。解析：變換法，f_Y(y)=f_X(e^{-y})|dx/dy|=e^{-y}。42.設(shè)X~N(0,1)，求E[X?]。答案：3。解析：矩公式E[X^{2k}]=(2k-1)!!。43.設(shè)X~Gamma(α,β)，求Var(X)。答案：αβ2。解析：已知。44.設(shè)X~N(μ,1)，Y~N(μ,1)獨(dú)立，求P(|X-Y|<1)。答案：0.6826解析：X-Y~N(0,2)，z=1/√2=0.707，概率2Φ(0.707)-1=0.6826。45.設(shè)X~Bin(8,0.5)，求偏度。答案：0解析：對(duì)稱二項(xiàng)，偏度0。46.設(shè)X~N(0,1)，求P(X<0|X2<1)。答案：0.5解析：對(duì)稱性。47.設(shè)X~Exp(λ)，求P(X>t+s|X>s)。答案：e^{-λt}。解析：無(wú)記憶性。48.設(shè)X~N(μ,σ2)，求其熵。答案：ln(σ√(2πe))。解析：連續(xù)熵公式。49.設(shè)X~Poisson(λ)，求P(X=k+1)/P(X=k)。答案：λ/(k+1)。解析：比值即λ/(k+1)。50.設(shè)X~N(0,1)，求P(X>2.5)。答案：0.0062解析：查表。51.設(shè)X~Uniform(a,b)，求Var(X)。答案：(b-a)2/12。解析：已知。52.設(shè)X~Bernoulli(p)，求矩母函數(shù)。答案：q+pe^{t}。解析：定義。53.設(shè)X~N(0,1)，求P(X2>3.84)。答案：0.05解析：χ2(1)的0.05臨界值。54.設(shè)X~Bin(100,0.01)，求P(X=0)的泊松近似。答案：e^{-1}=0.3679。解析：λ=np=1。55.設(shè)X~N(μ,σ2)，求中位數(shù)。答案：μ。解析：對(duì)稱。56.設(shè)X~Gamma(α,β)，求矩母函數(shù)。答案：(1-βt)^{-α}，t<1/β。解析：積分。57.設(shè)X~N(0,1)，求E[|X|]。答案：√(2/π)。解析：積分。58.設(shè)X~Exp(λ)，求眾數(shù)。答案：0。解析：密度單調(diào)降。59.設(shè)X~Beta(1,1)，求分布。答案：Uniform(0,1)。解析：密度常數(shù)。60.設(shè)X~N(0,1)，求P(X<1.645)。答案：0.95解析：查表。61.設(shè)X~Poisson(λ)，求Var(X)。答案：λ。解析：已知。62.設(shè)X~Geometric(p)，求期望。答案：1/p。解析：已知。63.設(shè)X~N(μ,σ2)，求P(μ-σ<X<μ+σ)。答案：0.6826解析：1σ規(guī)則。64.設(shè)X~Bin(n,p)，求其矩母函數(shù)。答案：(q+pe^{t})^{n}。解析：定義。65.設(shè)X~N(0,1)，求P(X>0)。答案：0.5解析：對(duì)稱。66.設(shè)X~Uniform(0,1)，求E[X2]。答案：1/3。解析：∫x2dx。67.設(shè)X~Exp(λ)，求E[X2]。答案：2/λ2。解析：Var+Mean2。68.設(shè)X~N(0,1)，求P(X<?1)。答案：0.1587解析：對(duì)稱。69.設(shè)X~Poisson(λ)，求P(X=1)。答案：λe^{-λ}。解析：定義。70.設(shè)X~Bernoulli(p)，求Var(X)。答案：p(1-p)。解析：已知。71.設(shè)X~N(μ,σ2)，求P(X=μ)。答案：0解析：連續(xù)分布單點(diǎn)概率零。72.設(shè)X~Gamma(α,β)，求E[1/X]，α>1。答案：1/[β(α-1)]。解析：積分。73.設(shè)X~N(0,1)，求P(X2<1)。答案：0.6826解析：同|X|<1。74.設(shè)X~Bin(5,0.5)，求P(X=2)。答案：0.3125解析：C(5,2)/32=10/32。75.設(shè)X~Exp(λ)，求P(X<1/λ)。答案：1-e^{-1}=0.6321。解析：CDF。76.設(shè)X~N(0,1)，求P(0<X<1.5)。答案：0.4332解析：Φ(1.5)-0.5。77.設(shè)X~Poisson(λ)，求P(X>0)。答案：1-e^{-λ}。解析：補(bǔ)事件。78.設(shè)X~Uniform(-1,1)，求P(X2<0.25)。答案：0.5解析：區(qū)間長(zhǎng)度1。79.設(shè)X~N(μ,σ2)，求P(X>μ)。答案：0.5解析：對(duì)稱。80.設(shè)X~Geometric(p)，求P(X≤3)。答案：1-(1-p)3。解析：CDF。81.設(shè)X~N(0,1)，求P(|X|>2)。答案：0.0455解析：2×0.0228。82.設(shè)X~Beta(2,2)，求期望。答案：0.5解析：α/(α+β)。83.設(shè)X~Gamma(α,β)，求眾數(shù)。答案：(α-1)β，α≥1。解析：導(dǎo)數(shù)為零。84.設(shè)X~N(0,1)，求P(X<?0.5)。答案：0.3085解析：查表。85.設(shè)X~Bin(3,0.3)，求P(X≥2)。答案：0.216解析：P(2)+P(3)=3×0.32×0.7+0.33=0.189+0.027。86.設(shè)X~Exp(λ)，求P(X>λ^{-1}ln2)。