多元統(tǒng)計(jì)學(xué)多元統(tǒng)計(jì)分析試題A卷及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.在多元正態(tài)分布中，若隨機(jī)向量X～N?(μ,Σ)，則下列哪一項(xiàng)最能刻畫其密度函數(shù)的核心結(jié)構(gòu)？A.(x?μ)?Σ?1(x?μ)B.|Σ|C.tr(Σ)D.Σ?1μ答案：A解析：多元正態(tài)密度指數(shù)部分為馬氏距離二次型(x?μ)?Σ?1(x?μ)，它決定了等密度橢球面的形狀與方向。2.主成分分析中，第k主成分得分y?=a??x，若要求Var(y?)最大，則a?應(yīng)滿足：A.a?為Σ第k大特征值對(duì)應(yīng)特征向量B.a?為單位向量且與前面所有a?正交C.A與B同時(shí)成立D.只需a?為單位向量答案：C解析：主成分載荷向量需依次最大化方差且彼此正交，故必須同時(shí)滿足“單位長(zhǎng)度+正交+特征向量”三條件。3.設(shè)樣本協(xié)方差陣S的特征值為λ?≥λ?≥…≥λ?≥0，則累計(jì)貢獻(xiàn)率到第k個(gè)主成分定義為：A.Σ????λ?/Σ????λ?B.λ?/λ?C.Σ????λ?2D.λ?/tr(S)答案：A解析：累計(jì)貢獻(xiàn)率衡量前k個(gè)主成分解釋總方差的比例，用特征值之和比計(jì)算。4.在系統(tǒng)聚類中，類間距離采用“離差平方和增量”的是：A.最短距離法B.最長(zhǎng)距離法C.Ward法D.重心法答案：C解析：Ward準(zhǔn)則最小化合并后類內(nèi)平方和增量，等價(jià)于類間離差平方和。5.若對(duì)同一數(shù)據(jù)分別用k=3和k=5做k-means聚類，則一般而言：A.k=3的SSE更大B.k=3的SSE更小C.SSE與k無(wú)關(guān)D.無(wú)法比較答案：A解析：SSE隨聚類數(shù)k增加單調(diào)不增，k=3時(shí)SSE≥k=5時(shí)SSE。6.典型相關(guān)分析中，第一對(duì)典型變量(u?,v?)的相關(guān)系數(shù)ρ?滿足：A.ρ?=λ?，其中λ?為交叉協(xié)方差陣的最大奇異值B.ρ?=λ?2C.ρ?=tr(Σ??)D.ρ?=|Σ??Σ??|答案：A解析：典型相關(guān)系數(shù)即交叉協(xié)方差陣奇異值，第一對(duì)對(duì)應(yīng)最大奇異值。7.設(shè)X(n×p)為中心化數(shù)據(jù)矩陣，則樣本協(xié)方差陣S可表示為：A.X?X/(n?1)B.XX?/(n?1)C.X?X/nD.XX?/n答案：A解析：樣本協(xié)方差定義要求除以n?1，且X行向量為觀測(cè)，故S=X?X/(n?1)。8.若判別分析中兩個(gè)總體協(xié)方差陣相等，則Bayes規(guī)則退化為：A.線性判別B.二次判別C.核密度判別D.最近鄰判別答案：A解析：等協(xié)方差陣時(shí)二次項(xiàng)抵消，判別函數(shù)呈線性。9.在多元方差分析MANOVA中，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Λ=|E|/|E+H|稱為：A.WilksΛB.Pillai跡C.HotellingT2D.Roy最大根答案：A解析：WilksΛ為行列式比，用于檢驗(yàn)均值向量差異。10.若p=5，樣本量n=20，則樣本協(xié)方差陣S的自由度為：A.20B.19C.15D.95答案：B解析：樣本協(xié)方差自由度為n?1=19。二、填空題（每空3分，共30分）11.設(shè)x?,…,x?i.i.d.來(lái)自N?(μ,Σ)，則μ的極大似然估計(jì)為________，Σ的極大似然估計(jì)為________。答案：x?=1/nΣx?；S?=1/nΣ(x??x?)(x??x?)?解析：MLE在多元正態(tài)下樣本均值與樣本協(xié)方差（除以n）為閉式解。12.主成分分析中，若前兩個(gè)主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85%，則可將原始p維數(shù)據(jù)降至________維，信息損失約________%。答案：2；15解析：貢獻(xiàn)率即保留方差比例，剩余15%視為信息損失。13.若兩個(gè)隨機(jī)向量X?,X?獨(dú)立，則Cov(X?,X?)=________。答案：零矩陣O解析：獨(dú)立必不相關(guān)，故交叉協(xié)方差為零矩陣。14.在k-means算法中，目標(biāo)函數(shù)SSE=Σ????Σ????z??||x??m?||2，其中z??∈{0,1}為________變量，m?為第j類的________。答案：隸屬；均值向量（質(zhì)心）解析：z??指示樣本i是否屬于類j，m?為類j的均值。15.典型相關(guān)分析要求兩組變量分別做________變換，使得變換后變量方差為________。答案：線性；1解析：典型變量需標(biāo)準(zhǔn)化，故要求變換后單位方差。16.若Σ=diag(4,2,1)，則馬氏距離(x?μ)?Σ?1(x?μ)=________當(dāng)x?μ=(1,1,1)?。答案：1/4+1/2+1=1.75解析：對(duì)角陣逆元為倒數(shù)，直接代入即可。17.在Fisher線性判別中，最佳投影方向w∝________，其中B為類間散度陣，W為類內(nèi)散度陣。答案：W?1(μ??μ?)解析：Fisher準(zhǔn)則最大化(w?Bw)/(w?Ww)，求導(dǎo)得解。18.若樣本協(xié)方差陣S的特征值為10,5,2,0.5，則條件數(shù)κ=________。答案：20解析：條件數(shù)=最大特征值/最小非零特征值=10/0.5=20。19.當(dāng)p>n時(shí)，樣本協(xié)方差陣S必為________定矩陣，其逆________存在。答案：半正；不解析：秩≤n<p，故奇異，逆不存在。20.在多元回歸模型Y=XB+E中，若E～N?×?(0,I??Σ)，則B的OLS估計(jì)B?=________，其vec(B?)的分布為________。答案：(X?X)?1X?Y；N(vec(B),(X?X)?1?Σ)解析：向量化后利用Kronecker積性質(zhì)。三、計(jì)算與證明題（共50分）21.（10分）給定二維數(shù)據(jù)矩陣X=[[2,1],[4,3],[6,5],[8,7]]，(1)求樣本均值x?與樣本協(xié)方差S；(2)求第一主成分方向及方差貢獻(xiàn)率。解：(1)x?=1/4Σx?=[5,4]?中心化矩陣X_c=[[?3,?3],[?1,?1],[1,1],[3,3]]S=X_c?X_c/(4?1)=1/3[[20,20],[20,20]]=[[6.67,6.67],[6.67,6.67]](2)求S特征值：|S?λI|=0?λ(λ?13.33)=0?λ?=13.33,λ?=0對(duì)應(yīng)λ?特征向量a?∝[1,1]?，單位化得a?=[0.707,0.707]?貢獻(xiàn)率=λ?/(λ?+λ?)=100%答案：x?=[5,4]?；S=[[6.67,6.67],[6.67,6.67]]；第一主成分方向[0.707,0.707]?，貢獻(xiàn)率100%。解析：數(shù)據(jù)完全共線，第二主成分方差為零。22.（10分）設(shè)兩個(gè)總體π?,π?分別服從N?(μ?,Σ),N?(μ?,Σ)，其中μ?=[0,0]?,μ?=[2,2]?,Σ=[[1,0.5],[0.5,1]]，先驗(yàn)概率相等，損失為0-1。(1)寫出Bayes線性判別函數(shù)；(2)對(duì)觀測(cè)x=[1,1]?分類并求后驗(yàn)概率。解：(1)線性判別函數(shù)δ?(x)=x?Σ?1μ???μ??Σ?1μ?+logπ?Σ?1=1/(1?0.25)[[1,?0.5],[?0.5,1]]=4/3[[1,?0.5],[?0.5,1]]δ?(x)=0?0+log0.5=?0.693δ?(x)=x?Σ?1μ???μ??Σ?1μ?+log0.5=[1,1]·4/3[[1,?0.5],[?0.5,1]]·[2,2]???[2,2]·4/3[[1,?0.5],[?0.5,1]]·[2,2]??0.693=4/3(2?1+2?1)??·4/3(4?2+4?2)?0.693=8/3?8/3?0.693=?0.693兩函數(shù)值相等，判別邊界通過(guò)x=[1,1]?。(2)因x位于邊界，后驗(yàn)概率P(π?|x)=P(π?|x)=0.5答案：判別函數(shù)值均為?0.693；x=[1,1]?無(wú)法唯一分配，后驗(yàn)概率各0.5。解析：該點(diǎn)恰好落在判別超平面上。23.（10分）對(duì)三維數(shù)據(jù)，已知樣本協(xié)方差陣S=[[4,2,0],[2,3,1],[0,1,2]]，(1)求特征值與特征向量；(2)求第一主成分載荷及方差；(3)若只保留第一主成分，求重構(gòu)誤差（平方范數(shù)）。解：(1)解|S?λI|=0：det[[4?λ,2,0],[2,3?λ,1],[0,1,2?λ]]=0展開得?λ3+9λ2?23λ+14=0?(λ?1)(λ?2)(λ?6)=0特征值λ?=6,λ?=2,λ?=1對(duì)應(yīng)單位特征向量：a?=[0.816,0.577,0.058]?a?=[?0.408,0.577,0.707]?a?=[0.408,?0.577,0.707]?(2)第一主成分載荷即a?，方差=λ?=6(3)重構(gòu)誤差=Σ???3λ?=2+1=3答案：特征值6,2,1；第一載荷[0.816,0.577,0.058]?，方差6；重構(gòu)誤差3。解析：重構(gòu)誤差等于被舍棄成分特征值之和。24.（10分）設(shè)隨機(jī)向量X=[X?,X?]?服從二元正態(tài)，均值[0,0]?，協(xié)方差Σ=[[1,ρ],[ρ,1]]。(1)求X?+X?與X??X?的方差及相關(guān)系數(shù)；(2)證明當(dāng)ρ=0.5時(shí)，兩變量獨(dú)立。解：(1)Var(X?+X?)=Var(X?)+Var(X?)+2Cov=1+1+2ρ=2(1+ρ)Var(X??X?)=1+1?2ρ=2(1?ρ)Cov(X?+X?,X??X?)=Var(X?)?Var(X?)=0故相關(guān)系數(shù)ρ*=0(2)當(dāng)ρ=0.5時(shí)，Cov=0，且二元正態(tài)下不相關(guān)等價(jià)于獨(dú)立，故X?+X?與X??X?獨(dú)立。答案：Var(X?+X?)=2(1+ρ)，Var(X??X?)=2(1?ρ)，相關(guān)系數(shù)0；ρ=0.5時(shí)獨(dú)立。解析：線性組合正態(tài)且協(xié)方差為零即獨(dú)立。25.（10分）對(duì)n=50、p=4的數(shù)據(jù)做Ward聚類，得到某步合并后類內(nèi)平方和增量Δ=12.3，已知兩合并類的樣本量分別為n?=10,n?=15，求兩類重心之間的歐氏距離d。解：Ward準(zhǔn)則Δ=(n?n?)/(n?+n?)·d2?d2=Δ·(n?+n?)/(n?n?)=12.3·25/150=2.05?d=√2.05≈1.432答案：1.432解析：利用Ward增量與重心距離平方的正比關(guān)系反推。四、綜合應(yīng)用題（共50分）26.（15分）某電商對(duì)1000名用戶記錄5項(xiàng)行為指標(biāo)：瀏覽時(shí)長(zhǎng)X?、加購(gòu)次數(shù)X?、收藏次數(shù)X?、下單金額X?、復(fù)購(gòu)間隔X?。經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后得樣本相關(guān)陣R：[[1,0.82,0.78,0.65,0.30],[0.82,1,0.80,0.63,0.28],[0.78,0.80,1,0.61,0.25],[0.65,0.63,0.61,1,0.20],[0.30,0.28,0.25,0.20,1]](1)用主成分法取m=2，求載荷矩陣A；(2)計(jì)算共性方差及特殊方差估計(jì)；(3)對(duì)X?的共性方差進(jìn)行顯著性評(píng)述。解：(1)求R特征值：λ?=3.41,λ?=0.98,λ?=0.35,λ?=0.18,λ?=0.08前兩個(gè)特征向量（前兩項(xiàng)）：a?=[0.45,0.45,0.44,0.41,0.46]?a?=[?0.20,?0.25,?0.30,0.85,?0.25]?載荷矩陣A=[√λ?a?,√λ?a?]=[[0.83,?0.20],[0.83,?0.25],[0.81,?0.30],[0.76,0.84],[0.85,?0.25]](2)共性方差h?2=Σ???2A??2得h2=[0.832+0.202,…]=[0.73,0.75,0.75,1.28,0.79]特殊方差ψ?=1?h?2注意X?的h?2>1，出現(xiàn)Heywood情形，需迭代調(diào)整。(3)X?共性方差0.73，說(shuō)明約73%的瀏覽時(shí)長(zhǎng)變異可由前兩公因子解釋，其余27%為獨(dú)特波動(dòng)，表明指標(biāo)受潛在“活躍度”因子影響顯著，但仍存在未被建模的隨機(jī)因素。答案：載荷矩陣如上；共性方差0.73,0.75,0.75,1.28,0.79；X?解釋度較高。解析：Heywood案例提示需增加因子數(shù)或采用其他估計(jì)法。27.（15分）為研究城市空氣質(zhì)量與氣象關(guān)系，收集n=60天的數(shù)據(jù)：Y=[PM2.5,O?]?為污染向量，X=[溫度,濕度,風(fēng)速]?為氣象向量。經(jīng)計(jì)算：Σ?_Y=[[120,45],[45,80]],Σ?_X=[[25,10,?5],[10,20,0],[?5,0,15]],Σ?_YX=[[30,20,?10],[25,15,?8]](1)求第一對(duì)典型變量(u?,v?)及典型相關(guān)系數(shù)；(2)解釋u?,v?的實(shí)際含義；(3)若某日X=[25,70,2]?，預(yù)測(cè)對(duì)應(yīng)u?得分。解：(1)構(gòu)造M?=Σ?_Y?1Σ?_YXΣ?_X?1Σ?_YX?計(jì)算得最大特征值ρ?2=0.68?ρ?=0.825對(duì)應(yīng)左特征向量α?∝[0.72,0.69]?，標(biāo)準(zhǔn)化后α?=[0.72,0.69]?右特征向量β?∝Σ?_X?1Σ?_YX?α?，歸一化得β?=[0.35,0.28,?0.18]?故u?=α??Y=0.72PM2.5+0.69O?v?=β??X=0.35溫度+0.28濕度?0.18風(fēng)速(2)u?高值表示污染綜合水平高，v?高值反映高溫高濕低風(fēng)的氣象條件，兩者正相關(guān)0.825，說(shuō)明靜穩(wěn)悶熱天氣易致污染。(3)標(biāo)準(zhǔn)化X：先減均值再除標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)已中心標(biāo)準(zhǔn)化，則u?預(yù)測(cè)=v?·ρ?=[0.35,0.28,?0.18]·[25,70,2]?=0.35·25+0.28·70?0.18·2=8.75+19.6?0.36=27.99答案：典型相關(guān)系數(shù)0.825；u?=0.72PM2.5+0.69O?，v?=0.35溫度+0.28濕度?0.18風(fēng)速；預(yù)測(cè)u?≈28.0。解析：典型相關(guān)揭示兩組變量間最大相關(guān)結(jié)構(gòu)。28.（20分）某金融機(jī)構(gòu)構(gòu)建信用評(píng)分模型，對(duì)m=2總體：違約(π?,n?=200)與正常(π?,n?=800)。估計(jì)得：x??=[30,40]?,x??=[50,60]?S_pooled=[[25,15],[15,20]](1)建立Fisher線性判別函數(shù)，并給出判別系數(shù)；(2)求判別效率指標(biāo)Δ2=(μ??μ?)?Σ?1(μ??μ?)的估計(jì)；(3)若新客戶的指標(biāo)x=[40,50]?，計(jì)算其判別得分及后驗(yàn)概率（先驗(yàn)按樣本比例）；(4)評(píng)估該模型的預(yù)期誤判率。解：(1)w∝S_pooled?1(x???x??)S_pooled?1=1/(25·20?152)[[20,?15],[?15,25]]=1/175[[20,?15],[?15,25]]x???x??=[?20,?20]?w=1/175[[20,?15],[?15,25]]·[?20,?20]=1/175[?