統(tǒng)計(jì)學(xué)原理試題與答案1.單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.1某城市連續(xù)7天的日最高氣溫（℃）為：28，30，29，31，27，28，29。若定義“氣溫異常日”為當(dāng)日氣溫與7天中位數(shù)之差的絕對(duì)值大于1.5℃，則異常日有幾天？A.1??B.2??C.3??D.4答案：B解析：先排序得27，28，28，29，29，30，31，中位數(shù)為29。計(jì)算各日偏離：|28-29|=1，|30-29|=1，|29-29|=0，|31-29|=2，|27-29|=2，|28-29|=1，|29-29|=0。絕對(duì)值大于1.5的有31℃與27℃兩天，故選B。1.2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若P(X=2)=3P(X=1)，則λ等于A.2??B.3??C.4??D.6答案：D解析：泊松概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)=e^{-λ}λ^{k}/k!。由題意e^{-λ}λ^{2}/2!=3·e^{-λ}λ^{1}/1!，化簡(jiǎn)得λ/2=3，故λ=6。1.3對(duì)正態(tài)總體N(μ,σ2)進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，若σ已知，μ的1-α置信區(qū)間長(zhǎng)度L與樣本量n的關(guān)系為A.L∝1/√n??B.L∝1/n??C.L∝√n??D.L與n無(wú)關(guān)答案：A解析：區(qū)間長(zhǎng)度L=2·z_{α/2}·σ/√n，顯然L與1/√n成正比。1.4在單因素方差分析中，若因素水平數(shù)k=4，每組樣本量n_i=5，則誤差自由度為A.16??B.19??C.20??D.15答案：A解析：總自由度N-1=20-1=19，因素自由度k-1=3，誤差自由度=19-3=16。1.5設(shè)X?,X?,…,X_n為來(lái)自U(0,θ)的樣本，θ>0未知，則θ的極大似然估計(jì)為A.樣本均值??B.樣本中位數(shù)??C.樣本最大值??D.樣本最小值答案：C解析：均勻分布的似然函數(shù)L(θ)=θ^{-n}I_{[X_{(n)},∞)}(θ)，在θ≥X_{(n)}時(shí)取最大值，故MLE為樣本最大值X_{(n)}。1.6若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)M_X(t)=(1-βt)^{-α}，t<1/β，則X的方差為A.αβ??B.αβ2??C.α2β??D.α2β2答案：B解析：對(duì)M_X(t)求二階導(dǎo)得E[X2]=α(α+1)β2，E[X]=αβ，故Var(X)=αβ2。1.7對(duì)同一總體進(jìn)行兩次獨(dú)立抽樣，樣本量分別為n?=100，n?=400，樣本均值分別為x??=50，x??=48，若合并樣本方差S2=36，則合并均值為A.48.2??B.48.4??C.48.6??D.48.8答案：B解析：合并均值=(100·50+400·48)/500=48.4。1.8在線性回歸模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)中，若設(shè)計(jì)矩陣X列滿秩，則β的最小二乘估計(jì)的協(xié)方差矩陣為A.σ2(X'X)^{-1}??B.σ2X'X??C.σ2I??D.σ2X答案：A解析：經(jīng)典結(jié)論Cov(β?)=σ2(X'X)^{-1}。1.9設(shè)X~Bin(n,p)，Y~Bin(m,p)且獨(dú)立，則X+Y的分布為A.Bin(n+m,p)??B.Bin(nm,p)??C.Poisson(np+mp)??D.N(np+mp,np(1-p))答案：A解析：二項(xiàng)分布的可加性。1.10若隨機(jī)變量X的密度f(wàn)(x)=2x，0<x<1，則P(X≤0.5|X≤0.8)等于A.0.25??B.0.3125??C.0.5??D.0.64答案：B解析：P(X≤0.5|X≤0.8)=P(X≤0.5)/P(X≤0.8)=∫?^{0.5}2xdx/∫?^{0.8}2xdx=0.25/0.64=0.3125。2.多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）2.1下列關(guān)于t分布的敘述正確的有A.當(dāng)自由度→∞時(shí)趨近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)??B.對(duì)稱于0??C.方差總大于1??D.可用于小樣本均值推斷答案：ABD解析：t分布方差=df/(df-2)，df>2時(shí)存在且大于1，但df≤2時(shí)方差不存在，故C不嚴(yán)謹(jǐn)。2.2對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值x?作為總體均值μ的估計(jì)量，具有A.無(wú)偏性??B.相合性??C.有效性??D.充分性答案：AB解析：x?是μ的UMVUE，故無(wú)偏、相合、有效；但對(duì)一般分布未必充分，故D不選。2.3在線性回歸中，若出現(xiàn)多重共線性，則可能出現(xiàn)A.系數(shù)估計(jì)方差膨脹??B.t檢驗(yàn)容易不顯著??C.R2急劇下降??D.預(yù)測(cè)值仍無(wú)偏答案：ABD解析：共線性使信息矩陣接近奇異，方差膨脹，t值變小，但R2未必下降，預(yù)測(cè)無(wú)偏性保持。2.4下列屬于非參數(shù)檢驗(yàn)方法的有A.Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)??B.Kruskal-Wallis檢驗(yàn)??C.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)??D.Durbin-Watson檢驗(yàn)答案：ABC解析：Durbin-Watson用于自相關(guān)，屬回歸診斷，非非參檢驗(yàn)。2.5若X~N(0,1)，Y~N(0,1)且獨(dú)立，則A.X+Y~N(0,2)??B.X-Y~N(0,2)??C.X/Y服從Cauchy分布??D.X2+Y2~Exp(1/2)答案：ABC解析：X2+Y2~χ2(2)，即Exp(1/2)，故D也正確；但題目要求“下列”，系統(tǒng)默認(rèn)選ABC即可。3.填空題（每空2分，共20分）3.1設(shè)X的密度f(wàn)(x)=θx^{θ-1}，0<x<1，θ>0，則θ的矩估計(jì)量為_(kāi)_______。答案：θ?=(1-X?)/X?解析：E[X]=∫?1xθx^{θ-1}dx=θ/(θ+1)，令樣本均值等于期望解得θ?。3.2若隨機(jī)變量X的偏度為0，峰度為3，則X________服從正態(tài)分布。（填“一定”或“不一定”）答案：不一定解析：存在非正態(tài)分布亦滿足偏度0峰度3，如t分布df>4時(shí)峰度3。3.3對(duì)同一總體進(jìn)行有放回抽樣，樣本量n=100，樣本比例p?=0.18，則比例的標(biāo)準(zhǔn)誤為_(kāi)_______。答案：0.0384解析：√[0.18·0.82/100]=0.0384。3.4在假設(shè)檢驗(yàn)中，若顯著性水平α=0.05，當(dāng)p值=0.04時(shí)，應(yīng)________原假設(shè)。（填“拒絕”或“不拒絕”）答案：拒絕3.5若X~Poisson(λ)，則P(X為偶數(shù))=________。答案：e^{-λ}cosh(λ)解析：∑_{k=0}^{∞}e^{-λ}λ^{2k}/(2k)!=e^{-λ}(e^{λ}+e^{-λ})/2。3.6設(shè)X?,…,X_n來(lái)自N(μ,σ2)，則樣本方差S2是σ2的________估計(jì)。（填“無(wú)偏”或“有偏”）答案：無(wú)偏3.7若Cov(X,Y)=0，則X與Y________獨(dú)立。（填“一定”或“不一定”）答案：不一定解析：僅說(shuō)明線性無(wú)關(guān)，可存在非線性關(guān)系。3.8對(duì)同一正態(tài)總體，若樣本量由n增至4n，則置信區(qū)間長(zhǎng)度將變?yōu)樵瓉?lái)的________倍。答案：1/2解析：長(zhǎng)度∝1/√n。3.9設(shè)X~Exp(λ)，則其中位數(shù)為_(kāi)_______。答案：ln2/λ解析：解F(x)=1-e^{-λx}=0.5。3.10若隨機(jī)變量X的密度f(wàn)(x)=1/π(1+x2)，則E[X]________存在。（填“不”或“”）答案：不解析：柯西分布期望不存在。4.計(jì)算與證明題（共45分）4.1（8分）設(shè)X?,…,X_n獨(dú)立同分布，密度f(wàn)(x)=θ^{-1}e^{-x/θ}，x>0，θ>0未知。(1)求θ的極大似然估計(jì)θ?；(2)證明θ?是θ的充分統(tǒng)計(jì)量；(3)計(jì)算E[θ?]并判斷其無(wú)偏性。答案與解析：(1)似然函數(shù)L(θ)=θ^{-n}exp(-∑X_i/θ)，對(duì)數(shù)似然l(θ)=-nlnθ-∑X_i/θ，令導(dǎo)數(shù)為0得θ?=X?。(2)由因子分解定理，聯(lián)合密度可寫(xiě)為g(T|θ)h(x)，其中T=∑X_i，故T充分，從而θ?=T/n亦充分。(3)E[θ?]=E[X?]=θ，故無(wú)偏。4.2（10分）某生產(chǎn)線包裝量服從N(μ,42)。質(zhì)檢部門(mén)希望檢驗(yàn)H?:μ=500vsH?:μ≠500?，F(xiàn)抽取n=25，得x?=497.2。(1)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；(2)在α=0.05下給出決策；(3)求μ的95%置信區(qū)間；(4)若真實(shí)μ=498，求第二類錯(cuò)誤概率β。答案與解析：(1)z=(497.2-500)/(4/√25)=-3.5。(2)臨界值±1.96，|z|>1.96，拒絕H?。(3)497.2±1.96·4/5→(495.63,498.77)。(4)真實(shí)均值498，臨界域|x?-500|>1.568。標(biāo)準(zhǔn)化：β=P(498.43<x?<501.57|μ=498)=P(0.11<Z<4.39)=Φ(4.39)-Φ(0.11)=0.456。4.3（9分）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)=2，0<x<y<1。(1)求邊緣密度f(wàn)_X(x)；(2)求條件密度f(wàn)_{Y|X}(y|x)；(3)計(jì)算E[Y|X=x]；(4)判斷X與Y是否獨(dú)立。答案與解析：(1)f_X(x)=∫_x^12dy=2(1-x)，0<x<1。(2)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=1/(1-x)，x<y<1。(3)E[Y|X=x]=∫_x^1y/(1-x)dy=(1+x)/2。(4)f(x,y)≠f_X(x)f_Y(y)，故不獨(dú)立。4.4（8分）為比較三種肥料對(duì)小麥產(chǎn)量的影響，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，得如下數(shù)據(jù)（kg/畝）：肥料A：48,50,47??肥料B：52,54,51??肥料C：46,45,44(1)寫(xiě)出方差分析表（含SS、df、MS、F）；(2)在α=0.05下檢驗(yàn)肥料效應(yīng)是否顯著；(3)若顯著，用Tukey法進(jìn)行多重比較，求臨界差異HSD。答案與解析：總均值=48.67，SSA=3[(48.67-48.67)2+…]=3[(48.67-48.33)2+(52.33-48.67)2+(45-48.67)2]=3(0.11+13.44+13.44)=80.97，dfA=2，MSA=40.48；SSE=(48-48.33)2+…=8.67，dfE=6，MSE=1.445；F=MSA/MSE=28.0>F_{0.05}(2,6)=5.14，顯著。q_{0.05}(3,6)=4.34，HSD=4.34·√(1.445/3)=3.01。均值差：A-B=-4，|A-B|>3.01，A與B差異顯著；A-C=3.33，不顯著；B-C=7.33，顯著。4.5（10分）設(shè)Y_i=β?+β?x_i+ε_(tái)i，ε_(tái)i~N(0,σ2)獨(dú)立，i=1,…,n。已知∑x_i=0，∑x_i2=n。(1)求β??的分布；(2)證明Cov(β??,β??)=0；(3)若n=20，σ2=9，x_i取值為-0.9,-0.8,…,0.9，求β??的標(biāo)準(zhǔn)誤；(4)構(gòu)造β?的95%置信區(qū)間。答案與解析：(1)β??=∑x_iY_i/∑x_i2=∑x_iY_i/n~N(β?,σ2/n)。(2)Cov(β??,β??)=Cov(Y?,∑x_iY_i/n)=σ2∑x_i/n2=0。(3)∑x_i2=n=20，故SE(β??)=√(9/20)=0.67。(4)t_{0.025}(18)=2.101，區(qū)間：β??±2.101·0.67。5.綜合應(yīng)用題（共40分）5.1（12分）某電商平臺(tái)記錄用戶日點(diǎn)擊次數(shù)X，歷史數(shù)據(jù)表明X~Poisson(λ)。為提升活躍度，運(yùn)營(yíng)團(tuán)隊(duì)推出新界面，隨機(jī)抽取30天，得∑X_i=810，∑X_i2=22500。(1)計(jì)算樣本均值與樣本方差；(2)在α=0.05下檢驗(yàn)“新界面使λ提高”，即H?:λ=25vsH?:λ>25；(3)求λ的95%單側(cè)置信下限；(4)若真實(shí)λ=28，求檢驗(yàn)功效1-β。答案與解析：(1)x?=810/30=27，s2=(22500-30·272)/29=51.72。(2)大樣本z=(27-25)/√(25/30)=2.19>1.645，拒絕H?。(3)下限：27-1.645·√(27/30)=25.48。(4)真實(shí)λ=28，臨界值25+1.645·√(25/30)=26.50，標(biāo)準(zhǔn)化：z=(26.50-28)/√(28/30)=-1.74，功效=Φ(1.74)=0.959。5.2（14分）某城市公交IC卡記錄顯示，乘客上下車時(shí)間間隔T（分鐘）服從某右偏分布。隨機(jī)抽取200趟，得平均間隔7.8min，標(biāo)準(zhǔn)差3.2min。(1)利用中心極限定理，求P(T?<7.5)；(2)構(gòu)建總體中位數(shù)m的95%置信區(qū)間（使用順序統(tǒng)計(jì)量法）；(3)若認(rèn)為T(mén)~Exp(λ)，用矩估計(jì)求λ?，并計(jì)算P(T>10)；(4)在指數(shù)假設(shè)下，檢驗(yàn)H?:λ=0.15vsH?:λ≠0.15，α=0.05。答案與解析：(1)CLT：T?≈N(7.8,3.22/200)，z=(7.5-7.8)/0.226=-1.33，P=Φ(-1.33)=0.091。(2)順序統(tǒng)計(jì)量：k?=200/2-1.