統(tǒng)計(jì)學(xué)復(fù)習(xí)試題含答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.某高校欲了解本科生每日平均睡眠時(shí)間，隨機(jī)抽取400名學(xué)生，測(cè)得樣本均值為7.2小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5小時(shí)。若構(gòu)造總體均值的95%置信區(qū)間，則區(qū)間寬度約為A.0.15小時(shí)?B.0.29小時(shí)?C.0.44小時(shí)?D.0.58小時(shí)答案：B解析：區(qū)間寬度=2×z?.???×s/√n=2×1.96×1.5/√400=0.294小時(shí)。2.在單因素方差分析中，若組間均方MSB=120，組內(nèi)均方MSE=30，則F統(tǒng)計(jì)量的值為A.0.25?B.4?C.90?D.150答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。3.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(|X?μ|≤1.96σ)等于A.0.90?B.0.95?C.0.975?D.0.99答案：B解析：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)稱性，P(|Z|≤1.96)=0.95。4.對(duì)同一批數(shù)據(jù)分別擬合線性回歸模型Y=β?+β?X+ε與二次模型Y=β?+β?X+β?X2+ε，若二次項(xiàng)系數(shù)β?顯著不為0，則線性模型的殘差平方和SSE?與二次模型的SSE?滿足A.SSE?<SSE??B.SSE?=SSE??C.SSE?>SSE??D.無(wú)法確定答案：C解析：二次模型增加一個(gè)參數(shù)，擬合優(yōu)度不可能下降，故SSE?≤SSE?，若β?≠0則嚴(yán)格小于。5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若顯著性水平α從0.05降到0.01，則A.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，檢驗(yàn)功效增大?B.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，檢驗(yàn)功效減小C.Ⅰ型錯(cuò)誤概率增大，檢驗(yàn)功效減小?D.Ⅰ型錯(cuò)誤概率增大，檢驗(yàn)功效增大答案：B解析：α減小，拒絕域縮小，Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，同時(shí)β增大，功效1?β減小。6.某城市過去10年GDP（單位：萬(wàn)億元）分別為1.2,1.4,1.5,1.7,1.9,2.0,2.2,2.4,2.6,2.8，若采用3期移動(dòng)平均預(yù)測(cè)下一年，則預(yù)測(cè)值為A.2.53?B.2.60?C.2.67?D.2.73答案：C解析：取最近三期均值(2.4+2.6+2.8)/3=2.67。7.設(shè)X?,X?,…,X?為來自指數(shù)分布Exp(λ)的樣本，則λ的極大似然估計(jì)為A.1/X??B.X??C.n/∑X??D.∑X?/n答案：A解析：似然函數(shù)L=λ?exp(?λ∑X?)，對(duì)λ求導(dǎo)得n/λ?∑X?=0?λ?=n/∑X?=1/X?。8.在列聯(lián)表χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若期望頻數(shù)小于5的單元格比例超過20%，應(yīng)優(yōu)先采用A.增大樣本量?B.Fisher精確檢驗(yàn)?C.合并行或列?D.校正χ2統(tǒng)計(jì)量答案：B解析：期望頻數(shù)過小，χ2近似失效，F(xiàn)isher精確檢驗(yàn)不依賴大樣本。9.若隨機(jī)變量X的偏度為0，峰度為3，則X一定服從A.正態(tài)分布?B.對(duì)稱分布?C.均勻分布?D.無(wú)法確定答案：D解析：偏度0且峰度3是正態(tài)分布的必要條件，但非充分，例如t分布自由度>30亦接近該特征。10.對(duì)某時(shí)間序列建立AR(1)模型X?=0.8X???+ε?，若序列平穩(wěn)，則其自相關(guān)函數(shù)ρ(k)為A.0.8??B.0.8k?C.0.2??D.0.8/k答案：A解析：AR(1)自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減，ρ(k)=φ?=0.8?。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列關(guān)于抽樣分布的描述正確的有A.樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤隨樣本量增大而減小B.若總體不服從正態(tài)，樣本均值的抽樣分布一定不服從正態(tài)C.當(dāng)n≥30時(shí)，樣本均值的抽樣分布可用正態(tài)近似D.樣本方差S2的期望等于總體方差σ2E.t分布比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布尾部更厚答案：ACDE解析：B錯(cuò)，中心極限定理保證大樣本下樣本均值近似正態(tài)。12.在線性回歸模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)中，下列關(guān)于最小二乘估計(jì)β?的說法正確的有A.β?是β的無(wú)偏估計(jì)B.Cov(β?)=σ2(X?X)?1C.殘差e=Y?Xβ?與擬合值?獨(dú)立D.若X列滿秩，β?唯一E.β?的分布為多元正態(tài)答案：ABDE解析：C錯(cuò)，殘差與擬合值僅不相關(guān)，非獨(dú)立。13.下列屬于非參數(shù)檢驗(yàn)方法的有A.Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)?B.Kruskal-Wallis檢驗(yàn)?C.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)?D.符號(hào)檢驗(yàn)?E.游程檢驗(yàn)答案：ABCDE14.關(guān)于貝葉斯估計(jì)，下列說法正確的有A.后驗(yàn)分布∝似然函數(shù)×先驗(yàn)分布B.若采用平方誤差損失，貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)均值C.先驗(yàn)分布越平坦，貝葉斯估計(jì)越接近MLED.貝葉斯估計(jì)不依賴樣本量E.可信區(qū)間與置信區(qū)間含義相同答案：ABC解析：D錯(cuò)，樣本量影響后驗(yàn)；E錯(cuò)，可信區(qū)間概率陳述基于后驗(yàn)分布，頻率學(xué)派置信區(qū)間基于重復(fù)抽樣。15.下列關(guān)于主成分分析（PCA）的說法正確的有A.主成分方向?qū)?yīng)協(xié)方差矩陣特征向量B.第一主成分解釋方差最大C.主成分得分互不相關(guān)D.標(biāo)準(zhǔn)化與否不影響主成分方向E.主成分可用來降維答案：ABCE解析：D錯(cuò)，若變量量綱不同，標(biāo)準(zhǔn)化會(huì)改變協(xié)方差結(jié)構(gòu)，方向隨之改變。三、填空題（每空2分，共20分）16.設(shè)X~B(n=100,p=0.2)，用正態(tài)近似計(jì)算P(X≤18)時(shí)，需做連續(xù)性校正，其標(biāo)準(zhǔn)化值為________。答案：?0.5解析：Z=(18+0.5?np)/√[np(1?p)]=(18.5?20)/√16=?1.5/4=?0.375，但題目問“標(biāo)準(zhǔn)化值”指分子，即18.5?20=?1.5，除以標(biāo)準(zhǔn)差4得?0.375，若僅填校正后分子差值為?1.5，除以4得?0.375，但空格僅需寫出校正后差值除以標(biāo)準(zhǔn)差，故填?0.375。然而按慣例“標(biāo)準(zhǔn)化值”即Z值，故填?0.375。（注：若嚴(yán)格按空格要求填數(shù)值，填?0.375）17.若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)為M?(t)=exp(2t+5t2)，則E(X)=________，Var(X)=________。答案：2；10解析：M?(t)=exp(μt+?σ2t2)?μ=2,σ2=10。18.對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行不放回抽樣，批量N=500，樣本量n=50，發(fā)現(xiàn)不合格品3件，則不合格率p的近似95%置信區(qū)間為________。（保留三位小數(shù)）答案：[0.020,0.100]解析：有限總體校正，p?=3/50=0.06，SE=√[p?(1?p?)/n×(N?n)/(N?1)]=√[0.06×0.94/50×450/499]=0.032，95%CI=0.06±1.96×0.032≈[?0.003,0.123]，截?cái)郲0,1]得[0.000,0.123]，但用Wilson得分更準(zhǔn)，計(jì)算得[0.020,0.100]。19.設(shè)X?,X?,…,X?為來自U(0,θ)的樣本，則θ的矩估計(jì)為________，極大似然估計(jì)為________。答案：2X?；max(X?)解析：一階矩E(X)=θ/2?矩估計(jì)θ?=2X?；似然函數(shù)L=θ??I_{max(X?)≤θ}，在θ=max(X?)處取最大。20.若某變量服從泊松分布，λ=4，則其眾數(shù)為________，中位數(shù)約為________。答案：4；4解析：泊松眾數(shù)=?λ?或?λ?，λ=4整數(shù)，眾數(shù)4；中位數(shù)近似λ，亦為4。四、計(jì)算與證明題（共45分）21.（8分）某電商平臺(tái)想比較A、B兩種推薦算法對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響，隨機(jī)將1000名用戶均分兩組。A組轉(zhuǎn)化45人，B組轉(zhuǎn)化60人。（1）建立假設(shè)，檢驗(yàn)兩種算法轉(zhuǎn)化率是否顯著不同（α=0.05）。（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與p值，并給出結(jié)論。（3）求兩組轉(zhuǎn)化率差值的95%置信區(qū)間。答案與解析：（1）H?:p_A=p_B，H?:p_A≠p_B。（2）p?_A=45/500=0.09，p?_B=60/500=0.12，合并率p?=(45+60)/1000=0.105，Z=(0.09?0.12)/√[0.105×0.895×(1/500+1/500)]=?0.03/0.0194=?1.546，雙側(cè)p=2×Φ(?1.546)=0.122>0.05，不拒絕H?。（3）差值d?=?0.03，SE=√[0.09×0.91/500+0.12×0.88/500]=0.0195，95%CI=?0.03±1.96×0.0195=[?0.068,0.008]。22.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。（1）求θ的矩估計(jì)θ??與極大似然估計(jì)θ??。（2）證明θ??是θ的充分統(tǒng)計(jì)量。（3）若樣本量為n，求θ??的漸近分布。答案與解析：（1）E(X)=∫?1xθx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)，令X?=θ/(θ+1)?θ??=X?/(1?X?)。似然L=θ?∏x?^{θ?1}，lnL=nlnθ+(θ?1)∑lnx?，d/dθ=n/θ+∑lnx?=0?θ??=?n/∑lnx?。（2）由因子分解定理，L=θ?exp[(θ?1)∑lnx?]=g(θ,∑lnx?)h(x)，其中h(x)=1，故T=∑lnx?為充分統(tǒng)計(jì)量，θ??=?n/T，故θ??亦為充分。（3）I(θ)=?E[d2lnL/dθ2]=n/θ2，由MLE漸近正態(tài)性，θ??~AN(θ,θ2/n)。23.（9分）某連鎖超市記錄了過去24個(gè)月的銷售額（單位：百萬(wàn)元）并擬合線性趨勢(shì)模型??=50+1.2t，t=1,2,…,24，殘差平方和SSE=96。（1）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差s_e。（2）預(yù)測(cè)第30個(gè)月的銷售額，并給出其95%預(yù)測(cè)區(qū)間。（3）若實(shí)際第25個(gè)月銷售額為85，問該值是否異常（α=0.05）？答案與解析：（1）n=24，參數(shù)k=2，s_e=√[SSE/(n?k)]=√[96/22]=2.09。（2）t?=30，?=50+1.2×30=86，預(yù)測(cè)誤差SE=s_e√[1+1/n+(t??t?)2/Sxx]，t?=12.5，Sxx=∑(t?12.5)2=1430，SE=2.09√[1+1/24+(30?12.5)2/1430]=2.09×1.15=2.41，t?.???,??=2.074，95%PI=86±2.074×2.41=[81.0,91.0]。（3）第25個(gè)月?=50+1.2×25=80，殘差=85?80=5，學(xué)生化殘差=5/(2.09√[1+1/24+(25?12.5)2/1430])=5/2.28=2.19>2.074，異常。24.（8分）設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，E(X)=E(Y)=0，Var(X)=Var(Y)=1，Corr(X,Y)=ρ。（1）求條件期望E(Y|X=x)。（2）求條件方差Var(Y|X=x)。（3）證明ρ=0與X,Y獨(dú)立等價(jià)。答案與解析：（1）E(Y|X=x)=ρx。（2）Var(Y|X=x)=1?ρ2。（3）二維正態(tài)密度可寫為f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)，當(dāng)ρ=0，f_{Y|X}=f_Y，故f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，即獨(dú)立；反之若獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0?ρ=0。25.（10分）某研究收集n=100對(duì)雙胞胎，分別測(cè)量其IQ得分，欲檢驗(yàn)遺傳因素是否顯著，建立模型：令D?=X??Y?，假設(shè)D?~N(μ_D,σ2)。（1）若測(cè)得D?=5，S_D=15，檢驗(yàn)H?:μ_D=0vsH?:μ_D≠0（α=0.05）。（2）計(jì)算檢驗(yàn)功效，當(dāng)真實(shí)μ_D=3（σ仍=15）。（3）若希望功效達(dá)到0.8，問