烏魯木齊地區(qū)2026年高三年級(jí)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（問(wèn)卷）（卷面分值：150分；考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.本試卷分為問(wèn)卷（4頁(yè)）和答題卡（2頁(yè)），答案務(wù)必書寫在答題卡的指定位置上.2.答題前，先將答卷密封線內(nèi)的項(xiàng)目（或答題卡中的相關(guān)信息）填寫清楚.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若集合，，則集合（）A. B.C D.2.復(fù)數(shù)等于A.i-1 B.1-i C.1+i D.-1-i3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增是（）A. B.C. D.4.若，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.5.已知單位向量與的夾角為，則（）A. B.C. D.6.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的面積為（）A. B.C. D.7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，D兩點(diǎn)，若，且的面積為，則（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，則的解集是（）A. B.C. D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.的極大值點(diǎn)是C.在處的切線為D.圖象的對(duì)稱中心是10.兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系變量，的一組數(shù)據(jù)為，，，，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，記，，相關(guān)系數(shù)為；若將數(shù)據(jù)調(diào)整為，，，，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，記，相關(guān)系數(shù)為，則（）附：，A. B.C. D.11.雙曲線左右焦點(diǎn)為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，且，則（）A.B.的離心率為2C.的面積為D.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知，則_______．13.已知，則的取值范圍為_(kāi)_____14.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，正四棱臺(tái)的上底面四個(gè)頂點(diǎn)均在圓錐的側(cè)面上，下底面四個(gè)頂點(diǎn)均在圓錐的底面圓周上，若正四棱臺(tái)的上、下底面面積比為，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____四、解答題：本大題共5小題，共計(jì)77分.解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列各項(xiàng)依次是數(shù)列的第，，，項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是，為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓方程；（2）是橢圓上軸上方一點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，斜率為，求四邊形的面積.17.如圖，在三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)在線段上，且，求證：平面；（2）若，，，求平面與平面的夾角.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求曲線的對(duì)稱軸；（3）求的最大值和最小值.19.某人開(kāi)車從地到地，依次路過(guò)編號(hào)為，，，的個(gè)路口，每個(gè)路口等可能地遇到紅燈或綠燈且相互獨(dú)立，記奇數(shù)號(hào)路口遇到紅燈的次數(shù)為，偶數(shù)號(hào)路口遇到紅燈的次數(shù)為，記事件“”為，的概率為.（1）求，；（2）當(dāng).（i）設(shè)，求；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論.烏魯木齊地區(qū)2026年高三年級(jí)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（問(wèn)卷）（卷面分值：150分；考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.本試卷分為問(wèn)卷（4頁(yè)）和答題卡（2頁(yè)），答案務(wù)必書寫在答題卡的指定位置上.2.答題前，先將答卷密封線內(nèi)的項(xiàng)目（或答題卡中的相關(guān)信息）填寫清楚.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若集合，，則集合（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的概念運(yùn)算.【詳解】由題意可知，.故選：C2.復(fù)數(shù)等于A.i-1 B.1-i C.1+i D.-1-i【答案】A【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即得解.【詳解】由題得.故選：A本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及在上的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，不具有奇偶性，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，C是；對(duì)于D，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，D不是.故選：C4.若，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、C、D，作差判斷B.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，則，，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；因?yàn)榍?，所以，則，即，所以，D正確.故選：D5.已知單位向量與的夾角為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算律即可計(jì)算.【詳解】.故選：B.6.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，再利用正弦定理可得，根據(jù)正弦和角公式得，再利用面積公式求解即可．【詳解】，，，，，，．故選：D．7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，D兩點(diǎn)，若，且的面積為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)易得圓的半徑、，結(jié)合的面積即可求參數(shù)，【詳解】由題意，，，且，∴圓的半徑，即，而，由拋物線的定義知：到的距離，∴，即，解得，故選：A8.已知函數(shù)，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，即為，利用函數(shù)和的圖像求解不等式；當(dāng)時(shí)，即為，利用函數(shù)和函數(shù)的圖象求解不等式，兩類結(jié)果取并集即為所求.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即為，畫出函數(shù)和在上的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，所以的解為；當(dāng)時(shí)，不滿足；當(dāng)時(shí)，，即為，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，所以的解為.綜上，解為.故選：A二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.的極大值點(diǎn)是C.在處的切線為D.圖象的對(duì)稱中心是【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，求導(dǎo)代入即可判斷，對(duì)于B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)即可；對(duì)于C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；對(duì)于D，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷.【詳解】，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，解得或，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)是，故B正確；對(duì)于C，，，所以在處的切線為，即，故C正確；對(duì)于D，，所以圖象的對(duì)稱中心是，故D正確；故選：BCD10.兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系變量，的一組數(shù)據(jù)為，，，，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，記，，相關(guān)系數(shù)為；若將數(shù)據(jù)調(diào)整為，，，，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，記，相關(guān)系數(shù)為，則（）附：，A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再結(jié)合最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程、相關(guān)系數(shù)計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：BD11.雙曲線左右焦點(diǎn)為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，且，則（）A.B.的離心率為2C.的面積為D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及余弦定理可得判斷AB；結(jié)合三角形面積公式及余弦定理求解判斷CD.【詳解】設(shè)雙曲線焦點(diǎn)，由及雙曲線定義得，在中，由，得，由余弦定理得，解得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，的離心率，B正確；對(duì)于C，在等腰與中，，解得，而，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在中，，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知，則_______．【答案】##【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?；故答案為?3.已知，則的取值范圍為_(kāi)_____【答案】【解析】【分析】利用換底公式換為，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以令，則，所以，由的圖象可知，所以，，所以.故答案：.14.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，正四棱臺(tái)的上底面四個(gè)頂點(diǎn)均在圓錐的側(cè)面上，下底面四個(gè)頂點(diǎn)均在圓錐的底面圓周上，若正四棱臺(tái)的上、下底面面積比為，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓錐及內(nèi)接正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，作出過(guò)棱臺(tái)對(duì)角面的截面，求出棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)及高，再利用臺(tái)體的體積公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，圓錐的內(nèi)接正四棱臺(tái)的下底面正方形是圓的內(nèi)接正方形，上底面正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在側(cè)面上，該正四棱臺(tái)的對(duì)角面所在平面截圓錐得其軸截面正，，由正四棱臺(tái)的上、下底面面積比為，得，則，令圓錐的軸交正四棱臺(tái)上底面于，則，而，則正四棱臺(tái)的高，該正四棱臺(tái)的體積為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共計(jì)77分.解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的各項(xiàng)依次是數(shù)列的第，，，項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列的構(gòu)成特點(diǎn)，確定其通項(xiàng)公式，再計(jì)算前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由已知，，得，所以，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意可知：，所以.16.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是，為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓方程；（2）是橢圓上軸上方一點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，的斜率為，求四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率公式，結(jié)合橢圓中、、的關(guān)系求解橢圓方程；（2）先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)的斜率設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用四邊形面積公式計(jì)算面積.【小問(wèn)1詳解】由題知，，解得：，所以橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以：，?lián)立，得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以，解得，故不合題意，應(yīng)舍去，所以，所以四邊形的面積.17.如圖，在三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)在線段上，且，求證：平面；（2）若，，，求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用線面平行的判定、面面平行的判定性質(zhì)推理得證.（2）由給定條件證得兩兩垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，而，則，又為的中點(diǎn)，則，而平面，平面，于是平面，平面，又平面，因此平面平面，而平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由，得，而，則，由，得，即，故可以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，而平面的一個(gè)法向量，因此，所以平面與平面的夾角為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求曲線的對(duì)稱軸；（3）求的最大值和最小值.【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，且為奇數(shù)時(shí)，.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式將其化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)出的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，求出對(duì)稱軸，再證明；（3）分，和，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，解得.令，解得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，.不妨設(shè)時(shí)，的對(duì)稱軸方程為，由對(duì)稱軸定義得，令，得，化簡(jiǎn)得，即，所以，下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)椋缘膶?duì)稱軸方程為.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，且為奇?shù)，單調(diào)遞增，考慮一個(gè)周期，令，當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表，000+01減增1減（接上表）0+00+0增減增1綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，且為奇數(shù)時(shí)，.19.某人開(kāi)車從地到地，依次路過(guò)編號(hào)為，，，的個(gè)路口，每個(gè)路口等可能地遇到紅燈或綠燈且相互獨(dú)立，記奇數(shù)號(hào)路口遇到紅燈的次數(shù)為，偶數(shù)號(hào)路口遇到紅燈的次數(shù)為，記事件“”為，的概率為.（1）求，；（2