浙江省余姚市第四中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.2．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點，BE，DH的交點為G，則的化簡結(jié)果為（）A. B.C. D.3．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.5．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.6．設(shè).若，則＝（）A. B.C. D.e7．點到直線的距離為2，則的值為（）A.0 B.C.0或 D.0或8．若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或9．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.412．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線的一條切線的斜率為，該切線的方程為________.14．已知焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，焦距為，則該雙曲線的標準方程為________15．若一個球表面積為，則該球的半徑為____________16．等差數(shù)列前項之和為，若，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：，右焦點為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍18．（12分）已知橢圓過點，且離心率，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為8（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，，是橢圓C的短軸端點，P是橢圓C上異于點，的動點，點Q滿足，，求證與的面積之比為定值21．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答（若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個方向向量為；已知直線l過點，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點，求弦長.22．（10分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，平面，為的中點，為的中點（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A2、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運算法則即可求出結(jié)果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點，，，故選：D3、B【解析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經(jīng)過點，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線方程，意在考查學(xué)生對于雙曲線基本知識的掌握情況.4、C【解析】首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】由題建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.6、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.7、C【解析】根據(jù)點到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：點到直線的距離為，解得或.故選：C.8、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得參數(shù)，再代入所求不等式，利用分式大于零，則分子分母同號，列不等式計算即得結(jié)果.【詳解】不等式解集為，即的二根是1和2，利用根和系數(shù)的關(guān)系可知，故不等式即轉(zhuǎn)化成，即，等價于或者，解得或，或者.故解集為，或，或.故選：D.【點睛】分式不等式的解法：（1）先化簡成右邊為零的形式（或），等價于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化簡成右邊為零的形式（或），再利用分子分母同號（或者異號），列不等式組求解即可.9、C【解析】先求出圓的圓心坐標，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標準方程為，因為圓關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：C.10、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A11、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B12、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】使用導(dǎo)數(shù)運算公式求得切點處的導(dǎo)數(shù)值，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線斜率求得切點的橫坐標，進而得到切點坐標，然后利用點斜式求出切線方程即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點為，可得，解得，即有切點，則切線的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的加法運算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，和求切線方程，難度不大，關(guān)鍵是正確的使用導(dǎo)數(shù)運算公式求得切點處的導(dǎo)數(shù)值，14、【解析】根據(jù)漸近線方程、焦距可得，，再根據(jù)雙曲線參數(shù)關(guān)系、焦點的位置寫出雙曲線標準方程.詳解】由題設(shè)，可知：，，∴由，可得，，又焦點在軸上，∴雙曲線的標準方程為.故答案為：.15、【解析】設(shè)球的半徑為，代入球的表面積公式得答案【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，即或（舍去）故答案為：16、【解析】直接利用等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或為0，易求，當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當(dāng)直線MN斜率為0時，不妨取直線MN為??=，則，此時，則；當(dāng)直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時，則；當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為：，，因為直線MN與圓相切，所以，即，又因為直線MN與橢圓C交于M，N兩點：由，得，則，所以MN中點T坐標為，則，，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].18、（1）；（2）存在，方程為和.【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點、離心率和關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達定理中可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得，進而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設(shè)，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.19、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問2詳解】解：，因此，.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)周長為8，求得a，再根據(jù)離心率求解；（2）方法一：設(shè)，，得到直線和直線的方程，聯(lián)立求得Q的橫坐標，根據(jù)在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標求解；方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點P橫坐標，再由的直線方程聯(lián)立，得到P，Q的橫坐標的關(guān)系求解.【小問1詳解】解：∵的周長為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標準方程為【小問2詳解】方法一：設(shè)，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯(lián)立上面兩直線方程，消去y，得，∵在橢圓上，∴，即，∴，∴所以與的面積之比為定值4方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點，，則直線的方程為，∵，∴直線的方程為，將代入，得，∵P是橢圓上異于點，的點，∴，又∵，即，∴，即，由，得直線的方程為，聯(lián)立得，∴所以與的面積之比為定值421、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結(jié)合直線過點，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長公式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】若選①與直線平行，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；若選②與直線垂直，則直線的斜率滿足，解得；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；若選③直線l的一個方向向量為，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；綜上所述：若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為.【小問2詳解】對圓C：，其圓心為，半徑，根據(jù)（1）中所求，若選擇①②，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長；若選擇③，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長.綜上所述，若選擇①②，則；若選擇③，則.22、（1）證明見解析（2