江蘇南京玄武區(qū)2026屆數(shù)學高二上期末預(yù)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．德國數(shù)學家高斯是近代數(shù)學奠基者之一，有“數(shù)學王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學天才，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.992．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±123．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.414．下列說法錯誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為95．若，則（）A B.C. D.6．已知等比數(shù)列中，，則這個數(shù)列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.167．已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過且與橢圓相交于不同的兩點，、不在軸上，那么△的周長（）A.是定值B.是定值C.不是定值，與直線的傾斜角大小有關(guān)D.不是定值，與取值大小有關(guān)8．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.509．等比數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.410．設(shè)函數(shù)，則和的值分別為（）A.、 B.、C.、 D.、11．為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B.C. D.12．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應(yīng)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計算：________14．已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，且直線l與橢圓交于C，D兩點，若直線l直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為，，則的值為___________.15．在等比數(shù)列中，已知，則__________16．過點作圓的兩條切線，切點為A，B，則直線的一般式方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}滿足*（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn18．（12分）已知.（1）當，時，求中含項的系數(shù)；（2）用、表示，寫出推理過程19．（12分）如圖，在長方體中，，，，M為上一點，且（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，的面積為1.（1）求拋物線的標準方程；（2）設(shè)點是拋物線上異于點的一點，直線與直線交于點，過作軸的垂線交拋物線于點，求證：直線過定點.21．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）求的最大值；（2）求證：對于任意x∈(1,7),e1-x+22．（10分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】令，利用倒序相加原理計算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C2、D【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：3、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.4、C【解析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件，即可判斷；對于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件.故C錯誤；對于D：已知，且，所以（當且僅當，即時取等號）故D正確.故選：C5、D【解析】直接利用向量的坐標運算求解即可【詳解】因為，所以，故選：D6、A【解析】直接利用公式計算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，，所以，解得.故選：A7、B【解析】由直線過且與橢圓相交于不同的兩點，，且，為橢圓兩焦點，根據(jù)橢圓的定義即可得△的周長為，則答案可求【詳解】橢圓，橢圓的長軸長為，∴△的周長為故選：B8、A【解析】根據(jù)框圖逐項計算后可得正確的選項.【詳解】第一次循環(huán)前，；第二次循環(huán)前，；第三次循環(huán)前，；第四次循環(huán)前，；第五次循環(huán)前，此時滿足條件，循環(huán)結(jié)束，輸出S的值是18故選：A9、D【解析】利用等比數(shù)列的下標特點，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D10、D【解析】求得，即可求得、的值.【詳解】，則，則，故，.故選：D.11、B【解析】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，利用中位數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：B.12、C【解析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】用表示這個數(shù)列，依題意，，則，，第四個數(shù)即.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：.14、##0.25【解析】求出點A，B坐標，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線l與橢圓方程，借助韋達定理即可計算作答.【詳解】依題意，點，直線AB斜率為，因直線l直線AB，則設(shè)直線l方程為：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，設(shè)，則，有，因此，，所以的值為.故答案：15、32【解析】根據(jù)已知求出公比即可求出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以.故答案為：32.16、【解析】已知圓的圓心，點在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線的方程.【詳解】，圓心，點在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線是兩圓相交的公共弦所在直線，所以兩圓相減就是直線的方程，，所以直線的一般式方程為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：過圓外一點引圓的切線，那么以圓心和圓外一點連線段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點所在直線方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，再由等差數(shù)列的定義以及通項公式即可求解.（2）利用錯位相減法即可求解.【小問1詳解】（1），即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項為1，所以，即.【小問2詳解】令，所以，所以18、（1）（2），過程見解析【解析】（1）寫出函數(shù)的解析式，利用二項式定理可求得函數(shù)中含項的系數(shù)；（2）利用錯位相減法化簡函數(shù)的解析式，求出解析式中含項的系數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)公式化簡可得結(jié)果.【小問1詳解】解：當，時，，的展開式通項為，此時，函數(shù)中含項的系數(shù)之和為.【小問2詳解】解：因為，①則，②①②得，所以，，而為中含項的系數(shù)，而函數(shù)中含項的系數(shù)也可視為中含項的系數(shù)，故，且，故.19、（1）（2）【解析】（1）以A為原點，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解，（2）求出和的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】以A為原點，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系由，，，，所以，，，因此，，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，所以點到平面的距離【小問2詳解】由，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，由（1）知平面的法向量為，記二面角的平面角為，則，由圖可知二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為20、（1）（2）證明見解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程；(2)方法一：聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合條件三點共線，可證明直線過定點，方法二：聯(lián)立直線與拋物線方程，聯(lián)立直線與直線求，由垂直與軸列方程化簡，可證明直線過定點.【小問1詳解】因為點在拋物線上，所以，即，，因為，故解得，拋物線的標準方程為【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，所以，由（1）可知當時，，此時直線的方程為，若時，因為三點共線，所以，即，又因為，，化簡可得，又，進而可得，整理得，因為所以，此時直線的方程為，直線恒過定點又直線也過點，綜上：直線過定點解法二：設(shè)方程，得若直線斜率存在時斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線方程為直線過定點.若直線斜率不存在時，直線方程為所以P點坐標為，M點坐標為此時直線方程為過點綜上：直線過定點.【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；(2)強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出，討論其導數(shù)后可得原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最大值.（2）先證明任意的，總有，再利用放縮法和換元法將不等式成立問題轉(zhuǎn)化為任意恒成立，后者可利用導數(shù)證明.【小問1詳解】，當時，；當時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故.【小問2詳解】因為，故當時，，即，而在為減函數(shù)，故在上有，故任意的，總有.要證任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，由（1）可得，任意，有即，故即證：任意恒成立，設(shè)，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，設(shè)，則，而在為增函數(shù)，，故存在，使得，