12/12專題1.2數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)、函數(shù)以及解析幾何的創(chuàng)新綜合應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢(shì)鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級(jí)題感”與應(yīng)變能力近三年：數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合是數(shù)列的一大考試形式，主要集中于數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與三角函數(shù)，數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合預(yù)測(cè)2026年：考向01概率統(tǒng)計(jì)中求對(duì)應(yīng)的數(shù)列遞推公式，考向02數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率中有關(guān)奇偶項(xiàng)問題考向03數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合考向04數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合考向05數(shù)列與解析幾何相結(jié)合考向01概率統(tǒng)計(jì)中求對(duì)應(yīng)的數(shù)列遞推公式數(shù)列遞推公式在統(tǒng)計(jì)概率中，只要是要找到的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從容利用數(shù)列的構(gòu)造成等比數(shù)列或者是等差數(shù)列的形式，對(duì)于這種形式即可。1．某圖書館對(duì)學(xué)生借閱圖書是否按時(shí)歸還的情況開展調(diào)查，經(jīng)過一段時(shí)間的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一次借閱圖書，按時(shí)歸還的概率為；從第二次借閱開始，若前一次按時(shí)歸還，則本次按時(shí)歸還的概率為；若前一次未按時(shí)歸還，則本次按時(shí)歸還的概率為．記學(xué)生第次借閱按時(shí)歸還的概率為．(1)求；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記前次借閱中按時(shí)歸還的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．參考公式：若為離散型隨機(jī)變量，則．2．一個(gè)擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動(dòng)一次．若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳1站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r(shí)，游戲結(jié)束．（骰子一種由均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6）(1)求的值，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示（直接寫出結(jié)論，不用證明）；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求玩該游戲獲勝的概率．3．某科研小組研發(fā)了一款新式無人機(jī)，其生產(chǎn)過程有4道工序，前3道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道工序是出廠檢測(cè)，包括智能檢測(cè)與人工檢測(cè)，其中智能檢測(cè)為次品的會(huì)自動(dòng)淘汰，合格的進(jìn)入流水線進(jìn)行人工檢測(cè).已知該新式無人機(jī)在生產(chǎn)中前3道工序的次品率分別為，，.(1)若某批次生產(chǎn)了這款新式無人機(jī)1000架，記X為該批次經(jīng)過前3道工序合格的架數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；(2)已知某批次的新式無人機(jī)智能檢測(cè)顯示合格率為，在智能檢測(cè)合格的前提下，求人工隨機(jī)抽檢一架新式無人機(jī)恰好為合格品的概率；(3)該科研小組為了慶祝獲得研究成果，舉行聯(lián)歡晚會(huì)，晚會(huì)期間，該小組組織了一個(gè)現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：參與游戲的幸運(yùn)觀眾，每次都要有放回地含有10張紅色卡片和10張綠色卡片的箱子中隨機(jī)抽取一張，指揮無人機(jī)運(yùn)送匹克球，直到獲得獎(jiǎng)品為止，每次游戲開始時(shí)，甲箱中有足夠多的匹克球，乙箱中沒有球，若抽到紅色卡片，則從甲箱中運(yùn)一個(gè)匹克球到乙箱；若抽到綠色卡片，則從甲箱中運(yùn)兩個(gè)匹克球到乙箱，當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達(dá)到9個(gè)，下一輪直接達(dá)到11個(gè)，獲得優(yōu)惠券，游戲結(jié)束；當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達(dá)到10個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品大禮包一個(gè)，獲得大禮包時(shí)游戲結(jié)束.求游戲結(jié)束時(shí)，幸運(yùn)觀眾獲得優(yōu)惠券的概率.考向02數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率中有關(guān)奇偶項(xiàng)問題1．圍棋棋盤上共有361個(gè)交叉點(diǎn)，圍棋術(shù)語稱之為361目，兩人玩圍棋，誰占的目數(shù)多誰贏．因?yàn)槟繑?shù)不能均分，故先落子的一方占便宜．為解決這一問題，規(guī)定比賽結(jié)束后先落子的一方貼給后落子的一方目．抽簽猜得黑棋的一方先落子．即便這樣先落子的一方還是占些便宜．甲、乙兩個(gè)圍棋選手水平相當(dāng)，據(jù)以往比賽經(jīng)驗(yàn)，他二人執(zhí)黑先落子的一方獲勝的概率是，后落子一方獲勝的概率是，沒有平局．甲、乙兩人再次比賽，并規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人多兩局時(shí)，比賽結(jié)束．第一局由抽簽結(jié)果是甲執(zhí)黑先落子，以后每局交替執(zhí)黑先落子．設(shè)第局結(jié)束的概率為．(1)求的值；(2)求的表達(dá)式及；(3)求甲、乙兩人比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．2．一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)分別為的4個(gè)小球，每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球并記錄編號(hào)后放回袋中，當(dāng)連續(xù)兩次摸出的小球編號(hào)相同時(shí)，停止摸球，設(shè)停止摸球時(shí)已摸球的次數(shù)為.記第次摸到的小球編號(hào)為.(1)求與；(2)設(shè)，求與；(3)當(dāng)時(shí)，為隨機(jī)變量，若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，求考向03數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合對(duì)于數(shù)列與三角函數(shù)的結(jié)合中，一般考察利用三角函數(shù)的周期問題去考察數(shù)列的求和，例如對(duì)于1．定義：對(duì)于數(shù)列，若存在，對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，為數(shù)列的一個(gè)周期.已知數(shù)列，，.(1)用定義證明：數(shù)列是周期數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和（結(jié)果用分段函數(shù)表示）；(3)已知數(shù)列有形如的通項(xiàng)公式，求常數(shù)，并證明：2．已知函數(shù)，其中.(1)若，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，（i）判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（ii）若有公比的等比數(shù)列滿足，求的值.3．在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；(3)證明：.4．設(shè)次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式．已知為切比雪夫多項(xiàng)式．(1)求的解析式；(2)求證：；(3)若，求證：．考向04數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合數(shù)列與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，一般查考的是壓軸題，主要是利用導(dǎo)數(shù)的一些不等式鏈的放縮，以及數(shù)列的放縮相結(jié)合，從而達(dá)到想要的不等式的證明目的。常見的函數(shù)不等式鏈為，以及，，對(duì)數(shù)列的放縮常見的是裂項(xiàng)相消放縮以及等比數(shù)列放縮。1．，都存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”．已知．(1)證明：存在源數(shù)列；(2)①若恒成立，求的取值范圍；②記的源數(shù)列為，前項(xiàng)和為．證明：．2．已知是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則稱為上的非負(fù)函數(shù)．(1)判斷是否為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，并說明理由；(2)已知為正整數(shù)，為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，記的最大值為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)已知且，函數(shù)，若為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，為（2）中的等差數(shù)列，求證：．考向05數(shù)列與解析幾何相結(jié)合數(shù)列與解析幾何的結(jié)合中，主要考察數(shù)列的基本基本性質(zhì)的基本應(yīng)用，利用圓錐曲線的基本性質(zhì)，主要利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本結(jié)構(gòu)，以及等差，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本結(jié)構(gòu)，或者是利用等差等比數(shù)列的等差等比中項(xiàng)去。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，已知直線，按如下方法構(gòu)造點(diǎn)列（其中）：過拋物線上的點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線交拋物線于點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)的值，并求直線的方程；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明：對(duì)任意；(3)數(shù)列的前項(xiàng)積為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．2．已知雙曲線（，）的漸近線方程為，且過點(diǎn).按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為（為常數(shù)且）的直線與的下支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求的坐標(biāo)；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其公比（用表示）；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，為定值.（建議用時(shí)：60分鐘）1．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)．依此類推，稱得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”．(1)若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，求的值；(2)若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，記，證明：是等比數(shù)列，并求出其公比；(3)若，記函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)（），函數(shù)的圖象在處的切線與軸相交的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求．2．已知函數(shù)，記為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的從小到大的第個(gè)零點(diǎn).(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)，將數(shù)列，中的所有項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列若，，求k的最大值.3．記數(shù)列前k項(xiàng)的最大值依次構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，稱數(shù)列為的“生成子列”，數(shù)列所有項(xiàng)組成的集合為A．(1)已知數(shù)列為7，6，5，8，求數(shù)列；(2)若，且A中恰有5個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，的“生成子列”的前n項(xiàng)和為，從中任取Y個(gè)數(shù)，記其中能被2整除且不能被4整除的個(gè)數(shù)為X，①若，求X的數(shù)學(xué)期望；②若，求使取得最大值時(shí)的m值．4．張明在暑假為了鍛煉身體，制定了一項(xiàng)堅(jiān)持晨跑的計(jì)劃：30天晨跑訓(xùn)練．規(guī)則如下：張明從第1天開始晨跑，若第天晨跑，則他第天晨跑的概率為，且他不能連續(xù)兩天沒有晨跑．設(shè)他第天晨跑的概率為．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若都是離散型隨機(jī)變量，則，記張明前天晨跑的天數(shù)為，求．5．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：對(duì)任意的且，都有：．（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）6．已知圓，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，設(shè)D為PQ的中點(diǎn)，且D的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，已知OM，直線l，ON的斜率，k，成等比數(shù)列，記以O(shè)M，ON為直徑的圓的面積分別為，，試探究是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由．7．已知漸近線為的雙曲線過點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于異于的點(diǎn)，記的面積為.(1)求雙曲線的方程；(2)求；(3)證明：.8．在正三棱臺(tái)中，，Q是AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面.；(2)若，求直線AC與平面所成角的正弦值；(3)若一只電子貓從點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地沿著棱去向相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)在次運(yùn)動(dòng)后電子貓仍停留在下底面的概率為，求．9．為紀(jì)念中國(guó)人民抗日戰(zhàn)爭(zhēng)暨世界反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)勝利80周年，某校組織相關(guān)知識(shí)的答題競(jìng)賽，每名參賽選手都賦予5分的初始積分，每答對(duì)一題加1分，每答錯(cuò)一題減1分.已知小明每道題答對(duì)的概率為，答錯(cuò)的概率為，且每道題答對(duì)與否互不影響.(1)求小明答4道題后積分小于5的概率；(2)設(shè)小明答5道題后積分為，求；(3)若小明一直答題，直到積分為0或10時(shí)停止，記小明的積分為時(shí)最終積分為10的概率為，則，，證明：為等比數(shù)列.

專題1.2數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)、函數(shù)以及解析幾何的創(chuàng)新綜合應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢(shì)鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級(jí)題感”與應(yīng)變能力近三年：數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合是數(shù)列的一大考試形式，主要集中于數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與三角函數(shù)，數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合預(yù)測(cè)2026年：考向01概率統(tǒng)計(jì)中求對(duì)應(yīng)的數(shù)列遞推公式，考向02數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率中有關(guān)奇偶項(xiàng)問題考向03數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合考向04數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合考向05數(shù)列與解析幾何相結(jié)合考向01概率統(tǒng)計(jì)中求對(duì)應(yīng)的數(shù)列遞推公式數(shù)列遞推公式在統(tǒng)計(jì)概率中，只要是要找到的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從容利用數(shù)列的構(gòu)造成等比數(shù)列或者是等差數(shù)列的形式，對(duì)于這種形式即可。1．某圖書館對(duì)學(xué)生借閱圖書是否按時(shí)歸還的情況開展調(diào)查，經(jīng)過一段時(shí)間的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一次借閱圖書，按時(shí)歸還的概率為；從第二次借閱開始，若前一次按時(shí)歸還，則本次按時(shí)歸還的概率為；若前一次未按時(shí)歸還，則本次按時(shí)歸還的概率為．記學(xué)生第次借閱按時(shí)歸還的概率為．(1)求；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記前次借閱中按時(shí)歸還的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．參考公式：若為離散型隨機(jī)變量，則．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）利用全概率公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合構(gòu)造數(shù)列法、等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)兩點(diǎn)分布，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式、題中所給公式、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意可知：，，；（2）由題意可知：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此，顯然適合，故；（3）記前次借閱中，第次按時(shí)歸還為，由題意可知：服從兩點(diǎn)分布，且，所以，，由題中所給公式可得：.2一個(gè)擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動(dòng)一次．若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳1站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失敗）時(shí)，游戲結(jié)束．（骰子一種由均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6）(1)求的值，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示（直接寫出結(jié)論，不用證明）；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求玩該游戲獲勝的概率．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意及相互獨(dú)立事件的概率公式可求解.（2）先由（1），構(gòu)造出；再根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明.（3）玩該游戲獲勝即為跳到第99站，先根據(jù)（2）中結(jié)論及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出；再利用疊加法及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意可知：每次骰子之間是相互獨(dú)立的；棋子開始在第0站是必然事件，所以.棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以.棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為；②前兩次擲骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以.棋子跳到第n（）站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為；②棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為.故；（2）由（1）知：，所以.又因?yàn)?，所以?，2，…，99）是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）得：.所以，所以玩該游戲獲勝的概率為.3某科研小組研發(fā)了一款新式無人機(jī)，其生產(chǎn)過程有4道工序，前3道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道工序是出廠檢測(cè)，包括智能檢測(cè)與人工檢測(cè)，其中智能檢測(cè)為次品的會(huì)自動(dòng)淘汰，合格的進(jìn)入流水線進(jìn)行人工檢測(cè).已知該新式無人機(jī)在生產(chǎn)中前3道工序的次品率分別為，，.(1)若某批次生產(chǎn)了這款新式無人機(jī)1000架，記X為該批次經(jīng)過前3道工序合格的架數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；(2)已知某批次的新式無人機(jī)智能檢測(cè)顯示合格率為，在智能檢測(cè)合格的前提下，求人工隨機(jī)抽檢一架新式無人機(jī)恰好為合格品的概率；(3)該科研小組為了慶祝獲得研究成果，舉行聯(lián)歡晚會(huì)，晚會(huì)期間，該小組組織了一個(gè)現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：參與游戲的幸運(yùn)觀眾，每次都要有放回地含有10張紅色卡片和10張綠色卡片的箱子中隨機(jī)抽取一張，指揮無人機(jī)運(yùn)送匹克球，直到獲得獎(jiǎng)品為止，每次游戲開始時(shí)，甲箱中有足夠多的匹克球，乙箱中沒有球，若抽到紅色卡片，則從甲箱中運(yùn)一個(gè)匹克球到乙箱；若抽到綠色卡片，則從甲箱中運(yùn)兩個(gè)匹克球到乙箱，當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達(dá)到9個(gè)，下一輪直接達(dá)到11個(gè)，獲得優(yōu)惠券，游戲結(jié)束；當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達(dá)到10個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品大禮包一個(gè)，獲得大禮包時(shí)游戲結(jié)束.求游戲結(jié)束時(shí)，幸運(yùn)觀眾獲得優(yōu)惠券的概率.【答案】(1)950架(2)(3).【分析】（1）先由獨(dú)立事件的概率公式求解一架新式無人機(jī)經(jīng)過前3道工序后是合格品的概率，再由二項(xiàng)分布求解期望即可；（2）根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算即可；（3）設(shè)乙箱中有個(gè)球的概率為，結(jié)合全概率公式，找到遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行求解，最終求出即可.【詳解】（1）設(shè)新式無人機(jī)經(jīng)過前3道工序后是合格品的概率為，則，由條件，可得，所以的數(shù)學(xué)期望為（架）.（2）設(shè)新式無人機(jī)智能檢測(cè)合格為事件，人工檢測(cè)合格為事件，則，，所以，即人工隨機(jī)抽檢一架新式無人機(jī)恰好為合格品的概率約為.（3）設(shè)乙箱中有個(gè)球的概率為，第一次抽到紅色卡片，新式無人機(jī)運(yùn)送1個(gè)匹克球，概率為，即，乙箱中有2個(gè)球，有兩類情況，所以，乙箱中有個(gè)球的情況有：（i）無人機(jī)已運(yùn)送個(gè)球，又抽到綠色卡片，其概率為；（ii）無人機(jī)已運(yùn)送個(gè)球，又抽到紅色卡片，其概率為；所以，且，所以，所以，即當(dāng)時(shí)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，又，所以當(dāng)時(shí)也成立，所以，，，，上述各式相加得，又，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)上式也成立，所以，所以，，即游戲結(jié)束時(shí)獲得優(yōu)惠券的概率為.考向02數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率中有關(guān)奇偶項(xiàng)問題1圍棋棋盤上共有361個(gè)交叉點(diǎn)，圍棋術(shù)語稱之為361目，兩人玩圍棋，誰占的目數(shù)多誰贏．因?yàn)槟繑?shù)不能均分，故先落子的一方占便宜．為解決這一問題，規(guī)定比賽結(jié)束后先落子的一方貼給后落子的一方目．抽簽猜得黑棋的一方先落子．即便這樣先落子的一方還是占些便宜．甲、乙兩個(gè)圍棋選手水平相當(dāng)，據(jù)以往比賽經(jīng)驗(yàn)，他二人執(zhí)黑先落子的一方獲勝的概率是，后落子一方獲勝的概率是，沒有平局．甲、乙兩人再次比賽，并規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人多兩局時(shí)，比賽結(jié)束．第一局由抽簽結(jié)果是甲執(zhí)黑先落子，以后每局交替執(zhí)黑先落子．設(shè)第局結(jié)束的概率為．(1)求的值；(2)求的表達(dá)式及；(3)求甲、乙兩人比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）由第一局不可能結(jié)束比賽得到．：第二局結(jié)束后，需要一方連勝兩局，則差為2，分甲連勝兩局和乙連勝兩局得解；（2）分析奇偶性，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，每局后比分差變化為，奇數(shù)局結(jié)束后差必為奇數(shù)，即為1或，無法得到2，比賽不可能結(jié)束，從而得到．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，前局每?jī)删侄际瞧骄?，求出前兩局是平局的概率，利用等比?shù)列的通項(xiàng)公式得到；分為偶數(shù)和為奇數(shù)，利用等比數(shù)列求和公式求解.（3）若前兩局是1：1，其概率為，從此刻開始直到比賽結(jié)束，進(jìn)行局?jǐn)?shù)的期望與0：0開始進(jìn)行局?jǐn)?shù)的期望相同，從而求得.【詳解】（1）因?yàn)榈谝痪纸Y(jié)束后，雙方比分只能是或，差為1，不滿足“差兩局”的結(jié)束條件，所以．第二局結(jié)束后，需要一方連勝兩局，差為2，當(dāng)甲連勝兩局：第一局甲先，甲贏的概率為，第二局乙先，甲贏的概率為，概率為；當(dāng)乙連勝兩局，第一局甲先，乙贏的概率為，第二局乙先，乙贏的概率為，概率為，則（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，每局后比分差變化為，奇數(shù)局結(jié)束后差必為奇數(shù)，即為1或，無法得到2，比賽不可能結(jié)束，此時(shí)．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，前局每?jī)删侄际瞧骄郑皟删质瞧骄值母怕蕿?，所以，故?dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，故.（3）若前兩局是1：1，其概率為，從此刻開始直到比賽結(jié)束，進(jìn)行局?jǐn)?shù)的期望與0：0開始進(jìn)行局?jǐn)?shù)的期望相同，所以，解得．2一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)分別為的4個(gè)小球，每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球并記錄編號(hào)后放回袋中，當(dāng)連續(xù)兩次摸出的小球編號(hào)相同時(shí)，停止摸球，設(shè)停止摸球時(shí)已摸球的次數(shù)為.記第次摸到的小球編號(hào)為.(1)求與；(2)設(shè)，求與；(3)當(dāng)時(shí)，為隨機(jī)變量，若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，求.【答案】(1)，(2)1，(3)答案詳見解析【分析】（1）解法一：利用獨(dú)立事件的乘法公式，討論每次摸球的編號(hào)即可解題；解法二：利用計(jì)數(shù)原理得到樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用古典概型可得答案.（2）解法一：建立起關(guān)于的遞推公式，再求出通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出的前項(xiàng)和；解法二：摸球次停止，意思是除了最后2次摸球的編號(hào)一樣，其他的與前面一次摸球的編號(hào)都不一樣，利用這個(gè)規(guī)則，可直接歸納出，即可得答案.（3）利用“當(dāng)時(shí)，可分成兩種情況：當(dāng)時(shí)，與同為奇數(shù)或同為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，與一奇一偶”可建立起與的關(guān)系，進(jìn)一步可討論通項(xiàng)公式.【詳解】（1）解法一：，.解法二：，.（2）解法一：因?yàn)?，所以，則.若，則且，所以，即，所以，所以，即由（1）可知，所以當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)椋?，所以?解法二：.，所以，.（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)隨機(jī)變量滿足：若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則.設(shè).當(dāng)時(shí)，即為偶數(shù)，可得.當(dāng)時(shí)，即是偶數(shù)，可得.當(dāng)時(shí)，可分成兩種情況：當(dāng)時(shí)，與同為奇數(shù)或同為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，與一奇一偶.所以，即當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，即；當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.綜上可得，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，.考向03數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合對(duì)于數(shù)列與三角函數(shù)的結(jié)合中，一般考察利用三角函數(shù)的周期問題去考察數(shù)列的求和，例如對(duì)于1．定義：對(duì)于數(shù)列，若存在，對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，為數(shù)列的一個(gè)周期.已知數(shù)列，，.(1)用定義證明：數(shù)列是周期數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和（結(jié)果用分段函數(shù)表示）；(3)已知數(shù)列有形如的通項(xiàng)公式，求常數(shù)，并證明：【答案】(1)證明見解析(2)(3)，，，證明見解析【分析】（1）首先列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再證明即可；（2）由（1）可得，再對(duì)分類討論，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得；（3）將，，代入得到方程組，求出，設(shè)，說明的周期性及前項(xiàng)，即可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，，，，又，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列.（2）由（1）可知.當(dāng)是的倍數(shù)時(shí)，；當(dāng)除以余時(shí)，是的倍數(shù)，；當(dāng)除以余時(shí)，除以余，.所以.（3）因?yàn)?，，，分別代入，得，化簡(jiǎn)得，①+②得，與③聯(lián)立得，從而④，①-②得，與④聯(lián)立得，又，故，代入④得.從而.設(shè)，則，所以為數(shù)列的一個(gè)周期，又，，，所以，所以2．已知函數(shù)，其中.(1)若，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，（i）判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（ii）若有公比的等比數(shù)列滿足，求的值.【答案】(1)(2)（i）;（ii）【分析】（1）求出，代值計(jì)算即可；（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性以及最值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷；（ii）根據(jù)，轉(zhuǎn)化為方程，為該方程的根，由，得到，討論的范圍，得到值即可.【詳解】（1）由題可得：，所以，解得：（2）當(dāng)時(shí)，（i），則，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，由于，所以存在唯一零點(diǎn)，使得；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；所以，當(dāng)，由于，則，在上單調(diào)遞增，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由于，，在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在存在唯一零點(diǎn)，綜上，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；（ii）由，可得，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，所以，即，考慮方程，為該方程的根；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則其公比為，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，即，若時(shí)，由可得：，由于等比數(shù)列，所以，則當(dāng)時(shí)，，即，與矛盾，從而不符合題意；若時(shí)，由可得：，由于等比數(shù)列，所以，則當(dāng)時(shí)，，即，與矛盾，從而不符合題意；綜上，若有公比的等比數(shù)列滿足，則的值為3．在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；(3)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知等式得出，兩邊同時(shí)平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）由（1）可求得，，利用裂項(xiàng)求和法求出，然后利用裂項(xiàng)求和法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得所證不等式成立；（3）利用分析法可知，要證所證不等式成立，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）已知，即及，，化簡(jiǎn)得，又所以數(shù)列是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以，.又，所以，，.所以于是，，因?yàn)?，所以，?（3）定義，原不等式即下面證明，即，即證（*），設(shè)，則，于是在區(qū)間上是增函數(shù).因?yàn)?，有，不等式?）成立.故原不等式成立.4．設(shè)次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式．已知為切比雪夫多項(xiàng)式．(1)求的解析式；(2)求證：；(3)若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)的含義可得相關(guān)等式，即可求解；（2）由題設(shè)求出，繼而利用構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（3）利用時(shí)，，推出，即得．再由（2）可得，記得，繼而結(jié)合數(shù)列求和的方法即可求解.【詳解】（1）由于是切比雪夫多項(xiàng)式，故可設(shè)，則，且，得，比較系數(shù)得，，所以．（2）由題得，且，故，即，比較系數(shù)得，，，所以．要證明，只需證，只需證．令，則，令，則，等號(hào)僅在部分點(diǎn)處取得，所以在上單調(diào)遞增，易知，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．故，原式得證．（3）因?yàn)?，所以?shù)列是遞減數(shù)列，故．先證明當(dāng)時(shí)，．令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，所以．由（2）可得（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，故，原式得證．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是一到綜合題，涉及到新的知識(shí)點(diǎn)以及三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的相關(guān)應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在第三問中不等式的證明，解答時(shí)要注意當(dāng)時(shí)，的應(yīng)用，繼而利用數(shù)列求和進(jìn)行求解．考向04數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合數(shù)列與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，一般查考的是壓軸題，主要是利用導(dǎo)數(shù)的一些不等式鏈的放縮，以及數(shù)列的放縮相結(jié)合，從而達(dá)到想要的不等式的證明目的。常見的函數(shù)不等式鏈為，以及，，對(duì)數(shù)列的放縮常見的是裂項(xiàng)相消放縮以及等比數(shù)列放縮。1．，都存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”．已知．(1)證明：存在源數(shù)列；(2)①若恒成立，求的取值范圍；②記的源數(shù)列為，前項(xiàng)和為．證明：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)源數(shù)列的定義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，得函數(shù)值域，即可證；（2）①問題化為令，即恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求解右側(cè)的最大值，即可得范圍；②根據(jù)①得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和，即可證.【詳解】（1）由，得，即在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)且無限趨近于0時(shí)，趨向于正無窮大，即的值域?yàn)?，?duì)于可以取到任意正整數(shù)，且在上都有存在唯一自變量與之對(duì)應(yīng)，故對(duì)于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨設(shè)解為，即，則都存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即存在源數(shù)列．（2）①恒成立，即恒成立，令，即恒成立，令，則，令，則，僅在時(shí)取等號(hào)，即在上單調(diào)遞減，故，即在上單調(diào)遞增，故，故；②由①得，故，即，則，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，綜上：．2．已知是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則稱為上的非負(fù)函數(shù)．(1)判斷是否為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，并說明理由；(2)已知為正整數(shù)，為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，記的最大值為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)已知且，函數(shù)，若為區(qū)間上的非負(fù)函數(shù)，為（2）中的等差數(shù)列，求證：．【答案】(1)是上的非負(fù)函數(shù)，理由見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性可得，即可判斷結(jié)論.（2）通過分析函數(shù)單調(diào)性得，根據(jù)得，即可證明結(jié)論.（3）通過分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合得，通過構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法及裂項(xiàng)相消法求和可證明結(jié)論.【詳解】（1）是上的非負(fù)函數(shù).理由如下：因?yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故是上的非負(fù)函數(shù).（2）由，，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則.因?yàn)闉樯系姆秦?fù)函數(shù)，所以，解得，則.因?yàn)?，所以為等差?shù)列.（3）由，，得.因?yàn)榍?，所以由得，，解得，由得，，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.由為上的非負(fù)函數(shù)，得，則，.所以當(dāng)時(shí)，，，且，當(dāng),，所以.考向05數(shù)列與解析幾何相結(jié)合數(shù)列與解析幾何的結(jié)合中，主要考察數(shù)列的基本基本性質(zhì)的基本應(yīng)用，利用圓錐曲線的基本性質(zhì)，主要利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本結(jié)構(gòu)，以及等差，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本結(jié)構(gòu)，或者是利用等差等比數(shù)列的等差等比中項(xiàng)去。1已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，已知直線，按如下方法構(gòu)造點(diǎn)列（其中）：過拋物線上的點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線交拋物線于點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)的值，并求直線的方程；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明：對(duì)任意；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)，.(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接代入，再根據(jù)直線對(duì)稱即可得到答案；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，計(jì)算相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和直線斜率，化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得，再通過取對(duì)數(shù)計(jì)算即可；（3）根據(jù)換元法得在時(shí)恒成立，再分離參數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)即可得到最值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，則，當(dāng)時(shí)，，解得，則，則直線的直線方程為，又因?yàn)?，則其傾斜角為，則對(duì)稱后直線的傾斜角為，則直線的斜率為，所以直線方程為：，即.（2）由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則直線的斜率，化簡(jiǎn)得，配方可得：，取對(duì)數(shù)可得，由可得，，解得，由題意可得，，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，.（3）由（2）得：，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，可知：，故，令，可得，由恒成立，可得在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，令，得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是先分析出，可得，再換元分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得到答案.2．已知雙曲線（，）的漸近線方程為，且過點(diǎn).按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為（為常數(shù)且）的直線與的下支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求的坐標(biāo)；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其公比（用表示）；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，公比為；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)漸近線方程和所過定點(diǎn)即可求出雙曲線方程，再聯(lián)立直線即可求出答案；（2）寫出直線方程，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到，從而得到，再根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明；（3）轉(zhuǎn)化為證明，利用點(diǎn)差法得，結(jié)合合比性質(zhì)得，同理得，再根據(jù)（2）中結(jié)論即可證明.【詳解】（1）∵漸近線為．又過點(diǎn)，代入雙曲線的方程得，，即雙曲線的方程為，若，則過對(duì)應(yīng)的直線方程為，與雙曲線聯(lián)立得：或（舍去）．代入直線方程求得該直線與雙曲線得另一個(gè)交點(diǎn)．（2）過斜率為直線為：，與雙曲線聯(lián)立得：，因?yàn)?，則，由韋達(dá)定理得，.將代入直線方程，并取相反數(shù)得，①，②，得，由條件可知首項(xiàng)為，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．（3）要證明為定值，只需證明．與求面積時(shí)，都看作以為底，則原問題轉(zhuǎn)化為高相等，即需證明兩點(diǎn)到直線的距離相等，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明，即只需證明，以下為其證明.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得到兩式作差并整理得：，由合比的性質(zhì)得，③，同理可得④，由第（2）問的①②可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.④式可化為⑤，由③⑤兩式得到：.故，所以為定值.（建議用時(shí)：60分鐘）1已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)．依此類推，稱得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”．(1)若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，求的值；(2)若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，記，證明：是等比數(shù)列，并求出其公比；(3)若，記函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)（），函數(shù)的圖象在處的切線與軸相交的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求．【答案】(1)(2)證明見解析，2(3)【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)得出斜率，再利用點(diǎn)斜式得出直線方程，最后求出該直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）先求出在點(diǎn)處的切線，再求出該切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)得到與的關(guān)系；（3）先求出和其導(dǎo)函數(shù)，再求出該函數(shù)在處的切線，及該切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出，最后利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）解：由，得，因?yàn)?，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，則，所以．（2）證明：由，得，于是曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，則，由題意得到，所以，又，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（3）解：由已知條件可知：切點(diǎn)坐標(biāo)

因?yàn)樗郧芯€的斜率所以切線的方程為令，得，即因?yàn)樗?已知函數(shù)，記為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的從小到大的第個(gè)零點(diǎn).(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)，將數(shù)列，中的所有項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列若，，求k的最大值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）結(jié)合題意表示關(guān)系式，再由等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）利用導(dǎo)數(shù)求解極值即可求得通項(xiàng)，從而求得通項(xiàng)，則當(dāng)，成立，即成立，亦即成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解最值從而求解.【詳解】（1）令，即，解得，.由題意可知，，，，因?yàn)椋浅?shù).所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）易知，令，解得，當(dāng)，即時(shí)，0，則，當(dāng)，即時(shí)，，則，因此當(dāng)，時(shí)，取得極值.由題意可知，，所以，，所以；當(dāng)，成立，即成立，亦即成立；設(shè)，則，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且，；因?yàn)椋?，，所以的最小值為；因此，成立，?dāng)且僅當(dāng)成立，解得，所以k的最大值是.3記數(shù)列前k項(xiàng)的最大值依次構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，稱數(shù)列為的“生成子列”，數(shù)列所有項(xiàng)組成的集合為A．(1)已知數(shù)列為7，6，5，8，求數(shù)列；(2)若，且A中恰有5個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，的“生成子列”的前n項(xiàng)和為，從中任取Y個(gè)數(shù)，記其中能被2整除且不能被4整除的個(gè)數(shù)為X，①若，求X的數(shù)學(xué)期望；②若，求使取得最大值時(shí)的m值．【答案】(1)7，7，7，8；(2)(3)①；②答案見解析【分析】（1）根據(jù)“生成子列”的定義即可求解；（2）根據(jù)中有5個(gè)元素結(jié)合數(shù)列單調(diào)性及“生成子列”定義可得：且，從而可得參數(shù)的取值范圍.（3）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)結(jié)合“生成子列”的定義可得其通項(xiàng)，從而可求，進(jìn)一步可求得以及取得最大值時(shí)的m值.【詳解】（1）當(dāng)數(shù)列為7，6，5，8時(shí)，根據(jù)定義有：，所以數(shù)列為：7，7，7，8；（2）因?yàn)?，所以，由得?dāng)時(shí)，數(shù)列遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，因?yàn)锳中有5個(gè)元素，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可知，且，即，解得，所以a的取值范圍是；（3）由題意得所以，所以，能被4整除，，不能被2整除，，能被2整除，不能被4整除，，不能被2整除，所以中能被2整除，但不能被4整除的有n個(gè)，①法一：由題意，所以.法二：X的取值范圍是，．，所以．②，令得即解得因?yàn)?，?dāng)時(shí)，或時(shí)，取得最大值當(dāng)時(shí)，時(shí)取得最大值.4．張明在暑假為了鍛煉身體，制定了一項(xiàng)堅(jiān)持晨跑的計(jì)劃：30天晨跑訓(xùn)練．規(guī)則如下：張明從第1天開始晨跑，若第天晨跑，則他第天晨跑的概率為，且他不能連續(xù)兩天沒有晨跑．設(shè)他第天晨跑的概率為．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若都是離散型隨機(jī)變量，則，記張明前天晨跑的天數(shù)為，求．【答案】(1)；(2)（或）；(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用概率的基本性質(zhì)即可求出的值；（2）通過分析與的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）利用期望的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)期望的定義求出.【詳解】（1）已知第1天一定晨跑，故，第2天晨跑的概率由第1天晨跑決定，故，第3天晨跑的情況分兩種：第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率為，第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率為，故.（2）由題意得，張明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率為，張明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率為，所以，即，則，所以，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由（1）得，，，所以，所以，則，所以，所以．（或）（3）記他前天中，第天晨跑的次數(shù)為．由題意得，服從兩點(diǎn)分布，且，因?yàn)?，且?duì)于離散型隨機(jī)變量，都有，所以，所以，所以所以.（或5．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：對(duì)任意的且，都有：．（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）分類討論與即可；（2）利用切線放縮不等式，得到，再利用放縮，再用累加法，即可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得或（舍），所以在上，，在上單調(diào)遞增，在上，，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）設(shè)，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減.因此在處取到最大值，，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.則對(duì)于任意整數(shù)，因?yàn)椋?，，則，故．6．已知圓，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，設(shè)D為PQ的中點(diǎn)，且D的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，已知OM，直線l，ON的斜率，k，成等比數(shù)列，記以O(shè)M，ON為直徑的圓的面積分別為，，試探究是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由．