專題10.6事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1相互獨立事件的判斷】 3【題型2相互獨立事件的概率】 4【題型3條件概率】 4【題型4全概率公式】 5【題型5貝葉斯公式】 5【題型6條件概率與其他知識綜合】 61、事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解兩個事件相互獨立的含義(2)理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率2023年新高考I卷：第21題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第12題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第6題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第18題，17分2024年天津卷：第13題，5分2024年上海卷：第8題，5分2025年天津卷：第13題，5分2025年上海卷：第13題，5分從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的重點、熱點內容，主要考查相互獨立事件的概率、條件概率與全概率公式等，一般以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時也會在解答題中作為一小問出現(xiàn)，與其他知識結合考查，難度中等，復習時需要加強這方面的練習.知識點1事件的相互獨立性1．事件的相互獨立性(1)定義對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.(2)性質若事件A與B相互獨立，則A與B，A與B，A與B也相互獨立.(3)推廣兩個事件的相互獨立性可以推廣到n(n>2，n∈N*)個事件的相互獨立性，即若事件A1，A2，…，An相互獨立，則這n個事件同時發(fā)生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.知識點2條件概率與全概率公式1．條件概率(1)條件概率的定義(2)性質設P(A)>0，Ω為樣本空間，則①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；③設B和B互為對立事件，則P(B|A)=1P(B|A).2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(B|A).3．全概率公式及應用(1)全概率公式(2)全概率公式的意義4．貝葉斯公式貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發(fā)生的原因，在運用貝葉斯公式時，一般已知和未知條件如下：(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P(Ai)已知;(2)事件B是已經發(fā)生的確定事實，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；(4)求解的目標是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P(Ai|B).5．求條件概率的常用方法(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解.6．利用全概率公式的思路(1)按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算.【方法技巧與總結】1．如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，轉化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.【題型1相互獨立事件的判斷】【例1】（2025·上海青浦·模擬預測）一個質地均勻的正四面體，四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4.任意擲一次該四面體，觀察它與地面接觸面上的數(shù)字，得到樣本空間Ω={1,2,3,4}，記事件A={1,2}，事件B={1,3}，事件C={1,4}，則（

）A．事件A,B,C兩兩獨立，事件A,B,C相互獨立B．事件A,B,C兩兩獨立，事件A,B,C不相互獨立C．事件A,B,C不兩兩獨立，事件A,B,C相互獨立D．事件A,B,C不兩兩獨立，事件A,B,C不相互獨立【變式11】（2025·湖南·模擬預測）甲，乙兩人在玩擲骰子游戲，各擲一次，設得到的點數(shù)分別為x,y，A表示事件“x>4”，B表示事件“y為奇數(shù)”，C表示事件“x+y>8”，D表示事件“x+y=7”，則相互獨立的事件是（

）A．A與C B．B與C C．C與D D．B與D【變式12】（2025·上海奉賢·三模）如果A,B分別是A,B的對立事件，下列選項中不能判斷件A與事件B相互獨立的是（A．P(A∩B)=P(A)?P(B) B．P(A∩C．P(B|A)=P(A) D．P(B|A)=P(B)【變式13】（2025·廣東湛江·一模）在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是錯誤選項，甲、乙兩名同學都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個選項．設事件M=“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”，事件N=“甲、乙兩人所選選項完全不同”，事件X=“甲、乙兩人所選選項完全相同”，事件Y=“甲、乙兩人均未選擇B選項”，則（

）A．事件M與事件N相互獨立 B．事件X與事件Y相互獨立C．事件M與事件Y相互獨立 D．事件N與事件Y相互獨立【題型2相互獨立事件的概率】【例2】（2025·山西臨汾·三模）公共汽車上有3名乘客，在沿途的4個車站隨機下車，3名乘客下車互不影響，則恰有2名乘客在第4個車站下車的概率是（

）A．13 B．19 C．364【變式21】（2025·湖南·三模）已知事件A，B是相互獨立事件，且PA=23，PBA．112 B．12 C．512【變式22】（2025·廣東肇慶·二模）小王數(shù)學期末考試考了90分，受到爸爸表揚的概率為12，受到媽媽表揚的概率也為12，假設小王受爸爸表揚和受媽媽表揚獨立，則小王被表揚的概率為（A．12 B．14 C．34【變式23】（2025·山東濟南·模擬預測）某AI訓練平臺使用強化學習算法訓練機器人完成迷宮任務．機器人每次訓練有以下規(guī)則：若上一輪成功，本輪成功率為p；若上一輪失敗，本輪成功率降為p2．已知首輪成功率為23，且前兩輪都成功的概率為12A．2764 B．932 C．49【題型3條件概率】【例3】（2025·江西·三模）從甲、乙、丙、丁、戊5人中任選3人組成展示小組，則在甲被選中的條件下，乙被選中的概率為（

）A．23 B．12 C．25【變式31】（2025·甘肅白銀·三模）若P(A)=45,P(B∣A)=A．35 B．711 C．911【變式32】（2025·河北·三模）除夕夜吃餃子是中華民族的傳統(tǒng)習俗，若一盤餃子共有三種餡，其中豬肉三鮮水餃有6個，素三鮮水餃有7個，羊肉大蔥水餃有7個，現(xiàn)從盤中夾取3個餃子，在取到的都是同種餡的條件下，取到的都是羊肉大蔥水餃的概率是（

）A．718 B．7228 C．338【變式33】（2025·遼寧·三模）某高中開發(fā)了三個不同的“美育”課程和兩個不同的“勞動教育”課程，甲同學從五門課程中任選了兩門，已知有一門是“美育”課程，則另一門也是“美育”課程的概率為（

）A．310 B．13 C．35【題型4全概率公式】【例4】（2025·廣東深圳·模擬預測）近期某市推進“光儲充一體化”充電站建設，現(xiàn)有A充電站配備2個超級快充樁和3個普通充電樁，B充電站配備1個超級快充樁和3個普通充電樁，為優(yōu)化資源配置，系統(tǒng)隨機從A站調度1個充電樁至B站，隨后技術人員從B站隨機選取2個充電樁進行升級調試，記“選取的兩個充電樁均為普通樁”為事件B，則PB=（A．625 B．1350 C．725【變式41】（2025·湖南湘潭·一模）跑步運動越來越受大眾喜愛．據(jù)統(tǒng)計，某校有高一、高二、高三三個年級，這三個年級中喜歡跑步運動的教師分別占該年級教師人數(shù)的40%，30%，35%，且這三個年級的教師人數(shù)之比為3：3：4，現(xiàn)從這三個年級中隨機抽一名教師，則該教師喜歡跑步的概率為（

）A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36【變式42】（2025·云南紅河·模擬預測）播種用的一批一等葫蘆種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結出50顆以上果實的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，則這批種子所生長出的葫蘆秧結出50顆以上果實的概率為（）A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825【變式43】（2025·廣東汕頭·二模）某學校有A、B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8，則王同學第2天去A餐廳用餐的概率為（

）A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4【題型5貝葉斯公式】【例5】（2025·湖南邵陽·二模）有甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件，加工的次品率分別為6%、5%、3%，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙、丙3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的30%、40%A．2147 B．2047 C．1847【變式51】（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領域讓貝葉斯公式：PAB=PBAPA．0.1% B．0.4% C．2.4%【變式52】（2025·北京朝陽·模擬預測）現(xiàn)有一種檢驗方法，對患X疾病的人化驗結果99%呈陽性，對未患X疾病的人化驗結果99.9%呈陰性．我們稱檢驗為陽性的人中未患病比例為誤診率．已知一地區(qū)X疾病的患病率為0.0004，則這種檢驗方法在該地區(qū)的誤診率為（A．0.716 B．0.618 C．0.112 D．0.067【變式53】（2025·江西南昌·一模）假設甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為（）A．37150 B．975 C．1837【題型6條件概率與其他知識綜合】【例6】（2025·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）2025年，世界首屆人形機器人運動會在東京舉行.頂尖機器人競技場面震撼，刷新人類對未來體育的認知.現(xiàn)某高校一學生和智能機器人進行一場“網球”比賽，規(guī)則如下：比賽采用三局兩勝制（率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利且比賽結束），已知該同學第一局獲勝的概率為13，從第二局開始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為12；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為(1)該同學在以2:1獲得比賽勝利的條件下，求他連勝兩局的概率；(2)記整場比賽該同學的獲勝局數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望.【變式61】（2025·湖南·模擬預測）近日，2025年湖南省城市足球聯(lián)賽（被球迷稱為“湘超”）如火如荼地進行，引發(fā)廣泛關注．某地區(qū)隨機抽取了部分市民，調查他們對賽事的關注情況，得到如下表格：性別不關注賽事關注賽事男性25150女性5075(1)列出2×2列聯(lián)表并根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否認為關注“湘超”賽事與性別有關？(2)現(xiàn)從被調查的關注賽事的市民中，按照性別比例采用分層抽樣的方法隨機抽取3名市民參加“湘超”賽事知識問答．已知男性、女性市民順利完成知識問答的概率分別為34，1附：χ2α0.10.050.0250.010.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828【變式62】（2025·全國·模擬預測）在卡塔爾世界杯的開幕式上中國元素隨處可見．從體育場建設到電力保障，從賽場內的裁判到賽場外的吉祥物，……，中國制造為世界杯提供了強有力的支持．國內也再次掀起足球熱潮．某地足球協(xié)會組建球隊參加業(yè)余比賽．該足球隊教練組對球員的使用是依據(jù)數(shù)據(jù)分析，為了調查球員乙對球隊的貢獻，作出如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計（乙參加過的比賽均分出了勝負）：乙球隊總計勝負未參加比賽30b70參加比賽c10f總計70en(1)根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為該球隊勝利與乙球員參賽有關聯(lián)？(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲球員能夠勝任邊鋒、中鋒、后腰以及后衛(wèi)四個位置，且出場率分別為：0.2,0.4,0.3,0.1，當出任邊鋒、中鋒、后腰以及后衛(wèi)時，球隊輸球的概率依次為：0.4，0.3，0.4，0.2．則：①當甲球員參加比賽時，求球隊某場比賽輸球的概率；②當甲球員參加比賽時，在球隊輸了某場比賽的條件下，求甲球員擔任邊鋒的概率；③如果你是教練員，應用概率統(tǒng)計有關知識，該如何使用甲球員？附表及公式：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2【變式63】（2025·河南·模擬預測）某商場舉辦購物抽獎活動，在一個不透明的袋子中放入24個大小、材質都相同的小球，小球有紅和藍兩種顏色，每個小球上都畫有符號“○”或“×”，不同顏色和符號的小球個數(shù)如下表所示．從袋中隨機摸出一個球，記事件A為“摸出紅球”，事件B為“摸出畫○的球”．紅球藍球畫○610畫×26(1)求PA和P(2)該商場規(guī)定在一次抽獎中，每人有放回地摸兩次球，每次只摸出一個球，根據(jù)兩次摸出球的顏色和符號是否相同設置三種獎項，等級從高到低依次為：顏色和符號均相同為一等獎；僅顏色相同或僅符號相同為二等獎；顏色和符號均不相同為三等獎．（?。┮浴敖Y果發(fā)生的可能性越小，獎項等級越高”為標準，請你判斷該獎項設置是否合理；（ⅱ）若按（?。┲械臉藴蕦ι鲜鋈N結果重新設置獎項，并且一等獎獎勵4a元，二等獎獎勵2a元，三等獎獎勵a元，要使一次抽獎的獎金期望值不超過340元，則a的最大值為多少？一、單選題1．（2025·甘肅白銀·三模）已知隨機事件A,B發(fā)生的概率分別為PA=0.3，PB=0.6，若PBA．0.5 B．23 C．0.12 2．（2025·海南?？凇つM預測）小明、小剛兩位同學進行射擊比賽，小明擊中靶心的概率為13，小剛擊中靶心的概率為23，比賽規(guī)則如下：每次由一人進行射擊，若擊中靶心，下一輪由另一人射擊，若沒有擊中靶心，則繼續(xù)進行射擊，問4輪射擊中，小明在恰好射擊3次的概率是（A．29 B．727 C．793．（2025·海南·模擬預測）小明參加一場弓箭比賽，需要連續(xù)射擊三個靶子，每次射箭結果互不影響，已知他射中這三個靶子的概率分別為x，x，13，若他恰好射中兩個靶子的概率是16，那么他三個靶子都沒射中的概率是（A．13 B．25 C．384．（2025·海南·模擬預測）某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學共同在一個社區(qū)進行民意調查，參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為2:3，其中甲班的女生占35，乙班中女生占25．則該社區(qū)居民遇到一位進行民意調查的同學恰好是女生的概率為（A．38 B．625 C．7125．（2025·河北石家莊·三模）已知隨機事件A、B，B表示事件B的對立事件，PA=0.4，PBA．事件A與B一定是對立事件B．PC．PD．若事件A、B相互獨立，則P6．（2025·江西·模擬預測）兒童牙齒是否健康與早晚是否都刷牙有關.據(jù)調查，某幼兒園大約有60%的學生牙齒健康，大約有30%的學生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的學生中約有70%A．3970 B．3170 C．26357．（2025·全國·模擬預測）已知三臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺車床加工的次品率分別為5%，2%，4%，加工出來的零件混放在一起，且第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)目之比為4:5:11，現(xiàn)任取一個零件，記事件A=“零件由第1臺車床加工”，B=“零件為次品”，則P(A|B)=A．15 B．110 C．5378．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2個紅球和3個黑球，乙箱中有n個紅球和3個黑球（所有球除顏色外完全相同），某學生先從甲箱中隨機取出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出1個球，記“從甲箱中取出的球恰有i個紅球”為事件Aii=0,1,2，“從乙箱中取出的球是黑球”為事件B，則PAA．與n有關的常量 B．與n有關的變量C．與n無關的定值，且為114 D．與n無關的定值，且為二、多選題9．（2025·云南玉溪·模擬預測）已知A，B為隨機事件，且PA=0.5，PBA．若A,B互斥，則PA∪B=0.9 B．若A,BC．若PAB=0.5，則PBA=0.310．（2025·河北·模擬預測）已知有甲?乙兩個盒子，甲中有3個白球，2個黑球，乙中有1個白球，3個黑球．從甲中取出一個球放入乙中，再從乙中取出一個球放入甲中．記事件A=“從甲中取出的球為白球”；事件B=“從乙中取出的球為白球”；事件C=“甲中最后有3個白球”．下列說法正確的是（

）A．PB|A=2C．PA|B=311．（2025·貴州·模擬預測）在遵義市獨竹漂表演中，選手需要完成“獨立平衡”和“繞標滑行”兩個項目才能完成表演（如圖）.已知某選手完成“獨立平衡”項目的概率為0.9；該選手完成“獨立平衡”，則完成“繞標滑行”的概率為0.8；該選手未完成“獨立平衡”，則完成“繞標滑行”的概率為0.4.設事件A為該選手完成“獨立平衡”，事件B為該選手完成“繞標滑行”，則下列選項正確的是（

）

A．PB．A與B相互獨立C．PD．P三、填空題12．（2025·甘肅甘南·模擬預測）乒乓球比賽現(xiàn)采用五局三勝制，即最多打五局，誰先贏三局誰勝．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，甲在每局比賽中獲勝的概率為35，乙在每局比賽中獲勝的概率為25，各局比賽結果相互獨立．已知前兩局比賽中，甲、乙各勝1局，則最終乙獲勝的概率為13．（2025·浙江寧波·一模）已知甲袋中有大小質地完全相同的3個紅球和3個黑球，乙袋中有大小質地完全相同的2個紅球和3個黑球，現(xiàn)隨機地選擇一個袋子，并從中不放回地依次隨機摸出兩個球，則在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到的也是紅球的概率是.14．（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為運動量達標，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望E(X)=.四、解答題15．（2025·上海金山·三模）有兩個罐子，A罐中放有3個白球和2個黑球，B罐中放有5個白球．(1)若從A罐有放回的摸2個球，求摸到相同顏色球的概率；(2)若從A罐不放回的摸2個球，求第二次摸到白球的概率；(3)現(xiàn)在從兩個罐子各摸一個球并交換，這樣交換2次后，記A罐中黑球的個數(shù)為X，求X的分布和數(shù)學期望．16．（2025·全國·模擬預測）隨著鄭欽文獲得2024年巴黎奧運會網球女單冠軍，中國各地再度掀起網球熱．某小區(qū)舉行“賀歲杯”網球錦標賽，甲、乙、丙、丁四位網球愛好者順利挺進四強，四強對陣形勢為：甲對丙，乙對丁，勝者進決賽，決賽勝者獲冠軍．已知甲勝乙、丙的概率均為23，乙勝丁的概率為35，甲勝丁的概率為(1)求甲獲得冠軍的概率；(2)如果甲、乙順利挺進決賽，并且決賽采用五盤三勝制（即先贏三盤者獲勝，并結束比賽），甲每盤獲勝的概率為2317．（2025·廣東·模擬預測）為了研究生活習慣M與患有