專題03三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（零點(diǎn)或根的問題）(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍實(shí)根問題，換元法令將函數(shù)化簡(jiǎn)為，在利用正弦函數(shù)的圖象來解決交點(diǎn)（根，零點(diǎn)）的問題.二、典型例題例題1．（2022·河南駐馬店·高一期中（文））已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第（2）問思路點(diǎn)撥：本小題要求第（2）問思路點(diǎn)撥：本小題要求時(shí)，方程有兩個(gè)根，求的取值范圍,可采用換元法解答過程：由（1）知，令，由，則，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象討論的的個(gè)數(shù).圖象可知：與的圖象在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】(1)(2)(1)顯然，又，所以，所以，又函數(shù)過點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以所求的函數(shù)的解析式為.(2)，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即與的圖像在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，作出函數(shù)的圖像如下：由圖像可知：與的圖像在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例題2．（2022·山東德州·高一期中）已知，，函數(shù)，直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，討論方程的根的情況．第（2）問思路點(diǎn)撥：本小題要求第（2）問思路點(diǎn)撥：本小題要求時(shí)，討論方程的根的情況,可采用換元法解答過程：由（1）知，令，由，則，則討論方程的根的情況，轉(zhuǎn)化為的根的情況.作出的圖象.1．當(dāng)或，即或時(shí)，有0個(gè)根；2．當(dāng)或，即或時(shí)，有1個(gè)根；3．當(dāng)或，即或時(shí)，有2個(gè)根；4．當(dāng)，即時(shí)，有3個(gè)根由圖象可知【答案】(1)(2)答案見解析(1)已知，，則，由于直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸．所以或0，所以，，所以．由于，所以，當(dāng)時(shí)，，所以(2)由題意得，因?yàn)?，所以，令，，則，如圖．1．當(dāng)或，即或時(shí)，有0個(gè)根；2．當(dāng)或，即或時(shí)，有1個(gè)根；3．當(dāng)或，即或時(shí)，有2個(gè)根；4．當(dāng)，即時(shí)，有3個(gè)根綜上，當(dāng)或時(shí)，有0個(gè)根；當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)根；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)根；時(shí)，有3個(gè)根．例題3．（2022·山東·日照青山學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；第（2）問思路點(diǎn)撥：方程在上的根從小到大依次為，求的值.可采用換元法解答過程：由（1）知，令第（2）問思路點(diǎn)撥：方程在上的根從小到大依次為，求的值.可采用換元法解答過程：由（1）知，令，由，則其中，；即，，，，.根據(jù)圖象作答轉(zhuǎn)化為：方程在有個(gè)解，作出圖象和問題轉(zhuǎn)化作圖象，找交點(diǎn)【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)(1)，；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)令，即；，，設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知：方程在有個(gè)解，其中，；即，，，，.三、題型歸類練1．（2022·河南駐馬店·高一期中（理））已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，且角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，的最小值為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).(1)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴，∵，∴，由時(shí)，的最小值為，得，即，∴，∴；(2)∵在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即與的圖象在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，由，則，即與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知：.2．（2022·遼寧·大連市第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，B，C分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在，上有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，（），求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求出的值．【答案】(1)(2)，(1)解：，，，，設(shè)函數(shù)的周期為T，則，，則，所以．故，故，所以．(2)由題意，函數(shù)在上有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，即曲線與在上有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn)．設(shè)，當(dāng)時(shí)，．則，，則，，，所以，即，即，所以．3．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（文））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T及的值；(2)若關(guān)于x的方程在上有2個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)最小正周期，；(2).(1)解：，則最小正周期，．(2)解：．，設(shè)，所以有兩個(gè)解，結(jié)合圖像可知故4．（2022·山東濰坊·高一期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍，并求的值．【答案】(1)最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)k的范圍為，為或.(1)因?yàn)?，所以的最小正周期，令，，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由題意，在上有且僅有兩個(gè)解，即與在上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，由，則，設(shè)，則，的圖象如下，由圖知：k的取值范圍為，設(shè)與在上的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，當(dāng)時(shí)關(guān)于對(duì)稱，即關(guān)于對(duì)稱，則；當(dāng)時(shí)關(guān)于對(duì)稱，即關(guān)于對(duì)稱，則；綜上，的值是或.5．（2022·遼寧·鞍山一中高一期中）已知函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，且為偶函數(shù)．(1)求函數(shù)和的解析式；(2)若對(duì)，．當(dāng)時(shí)，都有成立，求的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程在上恰有四個(gè)不等實(shí)根，，，，求的取值范圍和的值．【答案】(1)，(2).(3)，(1)由題意，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，，而，故，，，．(2)對(duì)，，，都有，，設(shè)，則在單調(diào)遞增．又，令，則，在遞增，故，．(3)，令，則，則恰有4個(gè)不等實(shí)根，，，，則，不妨設(shè)，函數(shù)，與函數(shù)的圖像恰有4個(gè)交點(diǎn)，如圖所示（略），在，，遞增，在，，遞減，，，，，，，，，．6．（2022·陜西·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象大致如圖．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間．(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)的圖象．若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)(1)根據(jù)圖象，可得，由，得．所以，由，得，所以．令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．(