考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由誘導公式化簡，即可得到結果.【詳解】.故選：D2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)分式不等式求解出集合，然后根據(jù)集合交集的定義進行求解即可.【詳解】由，解得：或，即：或.又，可得：.故選：C3.已知偶函數(shù)的圖象過點，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】將點代入原方程計算可得，再分及驗證即可得.【詳解】由過點，則，解得，當時，，則，符合；當時，，則為奇函數(shù)，不符合；故.故選：C.4.已知函數(shù)與的圖象在處的切線重合，則（）A. B.e C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，分別求出兩個切線方程，再根據(jù)切線方程重合列方程，即可求解.【詳解】對求導可得，所以在處的切線斜率，又,所以切線方程為，整理得，對求導可得，所以在處的切線斜率，又,所以切線方程為，整理得，所以，即，所以.故選：A5.設函數(shù)，則“”是“有三個不同的零點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先證是有三個不同零點的必要條件，再舉特例說明不是有三個不同零點的充分條件.【詳解】因為所以，因為有三個不同的零點，必有兩個極值點，所以有兩個不同的根，所以，所以，又因為有兩個極值點，但的兩個極值不一定異號，例如時，，，此時只有兩個不同零點，所以是有三個不同零點的必要不充分條件；故選：B.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由角的變換：，，結合同角三角函數(shù)關系式及兩角差的正弦公式求解.【詳解】由，且，得；由，得.由，，得：.因為，所以，所以.因為，所以.故選：A.7.如圖為函數(shù)的圖象，則的圖象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值排除法可得答案.【詳解】當時，，由原圖可得，所以的圖象經(jīng)過點，結合選項可排除A,B,C.故選：D8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有4個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)的取值范圍求解出的取值范圍，進而根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求解的取值范圍，從而求解的取值范圍即可.【詳解】因為且，可得：，由于函數(shù)區(qū)間上恰又個零點，即在區(qū)間上恰又個解，因此可得：，解得：.又，由，得：，由此可得：，即得：.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，且，利用作差法比較大小結合不等式的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以，故，故A正確；對于B，因為，所以，當時，，故B錯誤；對于C，因為，所以，故，故C正確；對于D，因為，所以，故，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間上有兩個極值點C.的圖象關于點中心對稱 D.直線與的圖象相切【答案】BD【解析】【分析】先由余弦函數(shù)對稱性性質(zhì)得，進而求出參數(shù)，即求得函數(shù)解析式，接著由和在上不單調(diào)即可判斷A；由結合極值點定義即可求解判斷B；由即可判斷C；利用導數(shù)工具結合三角函數(shù)性質(zhì)求切點，根據(jù)解的情況即可判斷D.【詳解】函數(shù)圖象關于直線對稱，則，則，又，所以，所以函數(shù)，若，則，因為在上不單調(diào)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，A錯誤；令，故若，則在區(qū)間上有兩個極值點為，B正確；因為，故的圖象關于點中心對稱，C錯誤；，設直線與的圖象相切于點，則或，所以或，當時，即切點為，將切點代入直線得，則，所以直線與的圖象相切，切點為；當時，即切點為，將切點代入直線得，則整數(shù)k無解，不成立；綜上直線與的圖象相切于點，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)的定義域為，滿足，且，則（）A. B. C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】分別賦值可求出，判斷AB，利用換元法求出的解析式，根據(jù)奇偶函數(shù)定義判斷CD.【詳解】令，代入可得，解得或；若，代入，可得，即，而，矛盾，故，令，則，即，由可知，故A正確；令，，代入，可得，即，故B正確；再令，則，即，令，則，所以，即，令，則，所以不是偶函數(shù)，故C錯誤；令，則定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則______.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系計算即可.【詳解】易知，因為，所以，則，.故答案為：.13.若函數(shù)且的圖象關于直線對稱，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)反函數(shù)的求法，求得函數(shù)的反函數(shù)為，列出方程，求得，得到，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)的反函數(shù)為，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，可得，可得，所以，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.14.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】利用正余弦定理和余弦定理，結合三角恒等變換得到，由化簡后再利用基本不等式即可得解.【詳解】由余弦定理得，兩式相減得，因為，所以，即，由正弦定理可得，即，所以，即，在中，不同時為，因為，故，所以，因為，所以，則，故，則，，當且僅當，即時，等號成立，則的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）借助三角恒等變換公式可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)性質(zhì)計算即可得；（2）由題意可得，再計算出所處象限，則可得，最后利用兩角差的余弦公式計算即可得.【小問1詳解】，令，，則，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】，則，由，則，又，故，則，則.16.記的三個內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，且的外接圓半徑為，求的面積.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合正弦的和角公式計算即可；（2）利用正弦定理求出，結合余弦定理求出，利用三角形面積公式計算即可.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，又，則，所以，即，化簡得，又，，所以，又，所以.【小問2詳解】設外接圓的半徑為，則，所以，由余弦定理得，結合，，即，解得，則，所以.17.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若當時，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值，無極大值（2）【解析】【分析】（1）由題已知，可得函數(shù)解析式，先求函數(shù)的導數(shù)，得出單調(diào)區(qū)間，再判斷出極值．（2）當和時，由導數(shù)可知在上單調(diào)遞增，知，滿足題意；當時，可知在上單調(diào)遞減，可知，不合題意；由此可得的取值范圍；【小問1詳解】當時，故.當時；當時所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；∴當時有極小值，無極大值.【小問2詳解】因為，所以令，令，則；（i）當，即時，恒成立，，則在上單調(diào)遞增，又，恒成立，滿足題意；（ii）當，即或時，令，解得：，；當時，，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，恒成立，滿足題意；當時，，又，，；當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當時，，不合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）當時，證明：有且僅有一個零點；（2）若曲線與相切．（ⅰ）求a；（ⅱ）當時，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知，根據(jù)其單調(diào)性結合零點存在性定理，即可證；（2）（i）利用導數(shù)幾何意義求切線方程，由切線重合列方程求參數(shù)；（ii）設并應用導數(shù)研究函數(shù)值符號，即可證.【小問1詳解】當時，，顯然是增函數(shù)，而，故在區(qū)間上有零點，結合的單調(diào)性可知，在R上有且僅有一個零點．【小問2詳解】（?。┎环劣浨悬c為，則，由，故切線方程為，即，令其與重合，故，則，若，顯然有，這與題設條件矛盾，若，由可知二者不在處相切，矛盾，故，于是，經(jīng)驗證符合題意，綜上，；（ⅱ）設，則，由可知，設，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，故，于是．19已知函數(shù).（1）當時，求在上的最大值；（2）若是上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間，即可求解最大值；（2）求出導函數(shù)，結合，按照和分類討論，分別研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得的范圍；（3）由（1）知，又，所以，，累加證明左邊；由（2）可知，令，累加可得，將其變形結合等比數(shù)列求和公式利用放縮法證明右邊，即可得證.【小問1詳解】若，則，，當時，