吉林省長春市汽車經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第六中學2026屆高二上數(shù)學期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在四面體中，，，，點為的中點，，則（）A. B.C. D.2．如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，中點，在線段上，則與平面的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點的位置而定3．已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（）A. B.C. D.5．已知點為雙曲線的左頂點，點和點在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.6．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（）A. B.C. D.8．已知是橢圓右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.9．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.10．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知l，m是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則12．已知，，點為圓上任意一點，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，，過的直線l與C交于A，B兩點（點A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為______.14．如圖：雙曲線的左右焦點分別為，，過原點O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點，其中P在右支上，且，則的面積為___________.15．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.16．在報名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務(wù)獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數(shù)為__________.(結(jié)果用數(shù)值表示)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達516億元人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務(wù)的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6，對服務(wù)的滿意率為0.75，其中對商品和服務(wù)都滿意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”?對服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.18．（12分）已知，（1）若，p且q為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍19．（12分）已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且它的一條漸近線方程為.（1）求橢圓的焦點坐標；（2）求雙曲線的標準方程20．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，（1）證明：；（2）設(shè)平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值21．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項公式.22．（10分）已知圓臺的上下底面半徑分別為，母線長為．求：（1）圓臺的高；（2）圓臺的體積注：圓臺體積公式：，其中，S分別為上下底面面積，h為圓臺的高

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用插點的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線向量的運用.【詳解】.故選：B.2、B【解析】構(gòu)造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【詳解】連接，，.因為在直三棱柱中，M，N分別是，AB的中點，所以∥.因為平面內(nèi)，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因為，平面，平面，所以平面∥平面.又因為P點在線段上，所以∥平面.故選：B.3、B【解析】求出，進而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B4、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據(jù)光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實軸長之比為，故選：D5、C【解析】設(shè)點在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點，故方程為.代入雙曲線方程，得點的坐標為.同理可得，點的坐標為.故的面積為,選C.6、A【解析】由，結(jié)合基本不等式可得，由此可得，由此說明“”是“”的充分條件，再通過舉反例說明“”不是“”的必要條件，由此確定正確選項.【詳解】∵，∴（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），∴（當且僅當時等號成立），若，則，∴，所以“”是“”的充分條件，當時，，此時，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.7、D【解析】利用正弦定理邊化角，角化邊計算即可.【詳解】由正弦定理邊化角得，，再由正弦定理角化邊得，即故選：D.8、A【解析】結(jié)合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設(shè)左焦點為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A9、A【解析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結(jié)果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查分步計數(shù)乘法原理的應(yīng)用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.10、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D11、B【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系分析選項A,C,D，由平面與平面垂直的判定定理判定選項D.【詳解】選項A.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項B.由，，則，故正確.選項C.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項D.由,,則可能相交，可能平行，故不正確.故選：B12、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點為圓上任意一點，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當時，取得最大值為22.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及求得直線的斜率.【詳解】橢圓，由于在軸上方且直線的斜率存在，所以直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，且，由，消去并化簡得，設(shè)，，則①，②，由于，所以③，由①②③解得所以直線的方程為，斜率為.故答案為：14、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對稱性計算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過原點O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點，由雙曲線的對稱性知，P，Q關(guān)于原點O對稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2415、【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，整理可得，，解得，因此，.故答案為：.16、18【解析】由題設(shè)，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應(yīng)用組合數(shù)求出選取方法數(shù).【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出，即可回答是否有的把握認為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系；（2）由題意可得的可能值為0，1，2，3，分別可求其概率，可得分布列，進而可得數(shù)學期望.【詳解】（1）服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200，因為，所以能有的把握認為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都滿意的概率為，且的取值可以是0，1，2，3.；；；.的分布列為：0123所以.【點睛】本題主要考查獨立檢驗以及離散性隨機變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】(1)解一元二次不等式可得命題p，q所對集合，再求交集作答.(2)求出命題q所對集合，再利用集合的包含關(guān)系列式計算作答.【小問1詳解】解不等式得：，則命題p所對集合，當時，解不等式得：，則命題q所對集合，由p且q為真命題，則，所以實數(shù)x的取值范圍是.【小問2詳解】解不等式得：，則命題q所對集合，因p是q的充分條件，則，于是得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.19、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓方程及其參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)c，即可得焦點坐標.（2）由漸近線及焦點坐標，可設(shè)雙曲線方程為，再由雙曲線參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)，即可得雙曲線標準方程.【小問1詳解】由題設(shè)，，又，所以橢圓的焦點坐標為.【小問2詳解】由題設(shè)，令雙曲線為，由（1）知：，可得，所以雙曲線的標準方程為.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設(shè)平面MND的一個法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個法向量，因為，設(shè)l與平面MND所成角為，則21、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列通項公式求基本量d，進而寫出通項公式.（2）由（1）得，應(yīng)用累加法、錯位相減法及等比數(shù)