北師大學附中2026屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.242．已知滿約束條件，則的最大值為（）A.0 B.1C.2 D.33．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線4．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.5．已知正實數(shù)a，b滿足，若不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在平面直角坐標系中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到準線的距離為（）A. B.C.1 D.7．若，則（）A.0 B.1C. D.28．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.9．已知的展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.710．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.11．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，12．已知等差數(shù)列，，則公差d等于（）A. B.C.3 D.-3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，經(jīng)過且法向量的平面方程為，經(jīng)過且方向向量的直線方程為閱讀上面材料，并解決下列問題：給出平面的方程，經(jīng)過點的直線的方程為，則直線l與平面所成角的余弦值為___________.14．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用“學習強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖（1）根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長和中位數(shù)；（2）宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個座談會,現(xiàn)從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？15．點到直線的距離為________.16．若橢圓和圓（c為橢圓的半焦距）有四個不同的交點，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：（）的離心率為，并且經(jīng)過點，（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點關(guān)于坐標原點的對稱點為，點為橢圓C上任意一點，直線的斜率分別為，，求證：為定值18．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍19．（12分）在中，其頂點坐標為.（1）求直線的方程；（2）求的面積.20．（12分）已知.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求在上的最小值.21．（12分）已知三角形的三個頂點是，，（1）求邊上的中線所在直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程22．（10分）已知，，分別是銳角內(nèi)角，，對邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B2、B【解析】作出給定不等式表示的平面區(qū)域，再借助幾何意義即可求出的最大值.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，，目標函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，作出直線，平移直線到直線，使其過點A時，的縱截距最小，最大，則，所以的最大值為1.故選：B3、D【解析】由雙曲線定義結(jié)合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得，當時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當時，，故點P的軌跡為一條射線.故選D.故選：D4、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.5、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號由題意，得，即對任意的實數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D6、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點、準線，再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【詳解】拋物線的焦點，準線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點到準線的距離為.故選：D7、D【解析】由復數(shù)的乘方運算求，再求模即可.【詳解】由題設(shè)，，故2.故選：D8、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項9、C【解析】利用賦值法確定展開式中各項系數(shù)的和以及二項式系數(shù)的和，利用比值為，列出關(guān)于的方程，解方程.【詳解】二項式的各項系數(shù)的和為，二項式的各項二項式系數(shù)的和為，因為各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，所以，.故選：C.10、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運算法則計算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因為，所以，因為，所以，所以,故選：B11、A【解析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和，是由特殊推導出一般性的結(jié)論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時，結(jié)論不正確，故D不正確.故選：A.12、B【解析】根據(jù)題意，利用公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列，，可得等差數(shù)列的公差.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)材料結(jié)合已知條件求得平面的法向量以及直線的方向向量，即可用向量法求得線面角.【詳解】因為平面的方程，不妨令，則，故其過點,設(shè)其法向量為，根據(jù)題意則，即，又平面的方程為，則，不妨取，則，則平面的法向量；經(jīng)過點的直線的方程為，不妨取，則，則該直線過點，則直線的方向向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.又，故，即直線l與平面所成角的余弦值為.故答案為：.14、（1）平均時長為，中位數(shù)為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個數(shù)，從而利用古典概型概率計算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設(shè)被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為，中位數(shù)為，，被抽查人員利用“學習強國”的時長中位數(shù)滿足，解得，即抽查人員利用“學習強國”的平均時長為6.8，中位數(shù)為【小問2詳解】解：組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標記為，，，將中的標記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率15、【解析】利用點到直線的距離公式即可得出【詳解】利用點到直線的距離可得：故答案為:16、【解析】當圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間時，橢圓和圓有四個不同的焦點，由此列不等式，解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個焦點，故圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間，即.由得，兩邊平方并化簡得，即①.由得，兩邊平方并化簡得，解得②.由①②得.故填.【點睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關(guān)系，考查橢圓離心率取值范圍的求法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)題意可列出關(guān)于的三個方程，解出即可得到橢圓C的方程；（2）根據(jù)對稱可得點坐標，再根據(jù)斜率公式可得，然后由點為橢圓C上的點得，代入化簡即可求出為定值【小問1詳解】由題意解得，.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】因為點關(guān)于坐標原點的對稱點為，所以的坐標為.，，所以，又因為點為橢圓C上的點，所以.18、【解析】由題設(shè)A是的真子集，結(jié)合已知集合的描述列不等式求a的范圍.【詳解】由“”是“”的充分不必要條件，即A是的真子集，又，，所以，可得，則實數(shù)a的取值范圍為19、（1）（2）【解析】（1）先求出AB的斜率，再利用點斜式寫出方程即可；（2）先求出，再求出C到AB的距離即可得到答案.【小問1詳解】由已知，，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】，C到直線AB的距離為，所以的面積為.20、（1）；（2）.【解析】(1）利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再利用點斜式方程即可求出切線方程；(2）根據(jù)極值點求出的值，根據(jù)導數(shù)值的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最小值.【小問1詳解】∵，，∴∴∴在處的切線為，即；【小問2詳解】∵，由題可知，∴，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，∵，，∴.21、（1）；（2）【解析】（1）先求出BC的中點坐標，再利用兩點式求出直線的方程；（2）先求出BC邊上的高所在直線的斜率，再利用點斜式求出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)線段的中點為因